Longueurs, angles et aires

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

המכפלה הסקלרית היא כלי מדידה. בעזרתה מחשבים אורך של קטע, זווית ושטח — גם כשקשה לראות אותם בגוף.

אורך של וקטור

∣a‾∣=a‾⋅a‾|\underline{a}|=\sqrt{\underline{a}\cdot\underline{a}}

מעלים בריבוע, פותחים סוגריים, מוציאים שורש

ABCS
הפירמידה של הפרק: ∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=6|\underline{v}|=6, ∣w‾∣=5|\underline{w}|=5, ∢BAC=60∘\sphericalangle BAC=60^\circ, ASAS מאונך לבסיס.

האורך של BCBC

מביעים את BC→\overrightarrow{BC}, ומעלים בריבוע.

BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC}=\underline{v}-\underline{u}
∣BC→∣2=∣v‾∣2−2 u‾⋅v‾+∣u‾∣2|\overrightarrow{BC}|^2=|\underline{v}|^2-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}+|\underline{u}|^2

פותחים סוגריים

=36−24+16=28=36-24+16=28

u‾⋅v‾=12\underline{u}\cdot\underline{v}=12 מהטבלה

∣BC→∣=28=27≈5.29\begin{aligned}|\overrightarrow{BC}| &= \sqrt{28} \\ &= 2\sqrt{7}\approx 5.29\end{aligned}

שורש בסוף

בדקו את BCBC במשפט הקוסינוסים במשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

BC2=16+36−2⋅4⋅6⋅cos⁡60∘=28BC^2=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot\cos 60^\circ=28 ✓. זה אותו חישוב בדיוק.

הזווית בין שני וקטורים

cos⁡α=a‾⋅b‾∣a‾∣⋅∣b‾∣\cos\alpha=\frac{\underline{a}\cdot\underline{b}}{|\underline{a}|\cdot|\underline{b}|}

שלושה חישובים: המכפלה, שני האורכים, ואז החילוק.

הזווית ∢SBC\sphericalangle SBC

שני הווקטורים יוצאים מ-BB: BC→\overrightarrow{BC} ו-BS→\overrightarrow{BS}.

BC→⋅BS→=4\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BS}=4

חישבנו ביחידה הקודמת

∣BS→∣2=∣w‾−u‾∣2=25−0+16=41\begin{aligned}|\overrightarrow{BS}|^2 &= |\underline{w}-\underline{u}|^2 \\ &= 25-0+16 \\ &= 41\end{aligned}

u‾⋅w‾=0\underline{u}\cdot\underline{w}=0

cos⁡α=428⋅41≈0.118\cos\alpha=\frac{4}{\sqrt{28}\cdot\sqrt{41}}\approx 0.118

מחלקים במכפלת האורכים

α≈83.22∘\alpha\approx 83.22^\circ

במחשבון

הזווית יצאה קרובה ל-90∘90^\circ. איך יודעים בלי מחשבון שהיא חדה?

Voir la réponse et le corrigé

המכפלה BC→⋅BS→=4\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BS}=4 חיובית, ולכן cos⁡α>0\cos\alpha>0.

שטח של משולש

S△=12⋅∣a‾∣⋅∣b‾∣⋅sin⁡αS_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot|\underline{a}|\cdot|\underline{b}|\cdot\sin\alpha

a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b} יוצאים מאותו קודקוד

את sin⁡α\sin\alpha מוצאים מהזווית, במחשבון. או בלי לעגל: sin⁡α=1−cos⁡2α\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}.

השטח של המשולש SBCSBC

ממשיכים מהזווית שמצאנו.

sin⁡α=1−1628⋅41\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{16}{28\cdot 41}}
SSBC=12⋅28⋅41⋅sin⁡αS_{SBC}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{28}\cdot\sqrt{41}\cdot\sin\alpha
=1228⋅41−16=283≈16.82=\frac{1}{2}\sqrt{28\cdot 41-16}=\sqrt{283}\approx 16.82

הוכחה של מאונכות

כדי להוכיח ששני ישרים מאונכים: מביעים את שני הווקטורים, כופלים, ומקבלים 00.

ABCDEFGH
קובייה: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AE→=w‾\overrightarrow{AE}=\underline{w}. כל המכפלות ביניהם 00.

האלכסון AGAG מאונך ל-BDBD

אורך המקצוע aa.

AG→=u‾+v‾+w‾BD→=v‾−u‾\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad \overrightarrow{BD} &= \underline{v}-\underline{u}\end{aligned}

מביעים

AG→⋅BD→=u‾⋅v‾−∣u‾∣2+∣v‾∣2−v‾⋅u‾+w‾⋅v‾−w‾⋅u‾\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=\underline{u}\cdot\underline{v}-|\underline{u}|^2+|\underline{v}|^2-\underline{v}\cdot\underline{u}+\underline{w}\cdot\underline{v}-\underline{w}\cdot\underline{u}

פותחים

=0−a2+a2−0+0−0=0=0-a^2+a^2-0+0-0=0

לכן AG⊥BDAG\perp BD ✓

ובאותה קובייה: האם AG⊥ACAG\perp AC?

Voir la réponse et le corrigé

לא. (u‾+v‾+w‾)⋅(u‾+v‾)=a2+a2=2a2≠0(\underline{u}+\underline{v}+\underline{w})\cdot(\underline{u}+\underline{v})=a^2+a^2=2a^2\neq 0.

שלושה מקצועות של קובייה או של תיבה שיוצאים מאותו קודקוד: כל המכפלות ביניהם אפס. נוח לבחור אותם כ-u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}.

אורך של סכום אינו סכום האורכים.

∣a‾+b‾∣=∣a‾∣+∣b‾∣|\underline{a}+\underline{b}|=|\underline{a}|+|\underline{b}|
∣a‾+b‾∣=∣a‾∣2+2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2|\underline{a}+\underline{b}|=\sqrt{|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2}

השוויון נכון רק כשהווקטורים באותו כיוון. תמיד מעלים בריבוע.

Exercices

Exercice 1

∣a‾∣=3|\underline{a}|=3, ∣b‾∣=4|\underline{b}|=4, ו-a‾⊥b‾\underline{a}\perp\underline{b}. מהו ∣a‾+b‾∣|\underline{a}+\underline{b}|?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

∣a‾+b‾∣2=9+2⋅0+16=25\begin{aligned}|\underline{a}+\underline{b}|^2 &= 9+2\cdot 0+16 \\ &= 25\end{aligned}
∣a‾+b‾∣=5|\underline{a}+\underline{b}|=5

מאונכים: האיבר האמצעי 00, וזה בדיוק פיתגורס. 77 הוא סכום האורכים — לא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

∣a‾∣=5|\underline{a}|=5, ∣b‾∣=3|\underline{b}|=3, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. מהו ∣a‾+b‾∣|\underline{a}+\underline{b}|?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

a‾⋅b‾=5⋅3⋅12=7.5\begin{aligned}\underline{a}\cdot\underline{b} &= 5\cdot 3\cdot\frac{1}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}
∣a‾+b‾∣2=25+15+9=49\begin{aligned}|\underline{a}+\underline{b}|^2 &= 25+15+9 \\ &= 49\end{aligned}
∣a‾+b‾∣=7|\underline{a}+\underline{b}|=7

אל תשכחו להוציא שורש בסוף: 4949 הוא ריבוע האורך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

באותם נתונים (∣a‾∣=5|\underline{a}|=5, ∣b‾∣=3|\underline{b}|=3, 60∘60^\circ), מהו ∣a‾−b‾∣|\underline{a}-\underline{b}|? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.36

Corrigé :

∣a‾−b‾∣2=25−15+9=19\begin{aligned}|\underline{a}-\underline{b}|^2 &= 25-15+9 \\ &= 19\end{aligned}
∣a‾−b‾∣=19≈4.36|\underline{a}-\underline{b}|=\sqrt{19}\approx 4.36

רק האיבר האמצעי מחליף סימן. מי שכתב 25−15−925-15-9 קיבל 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

∣a‾∣=4|\underline{a}|=4, ∣b‾∣=6|\underline{b}|=6 ו-a‾⋅b‾=−12\underline{a}\cdot\underline{b}=-12. מהי הזווית בין הווקטורים (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 120

Corrigé :

cos⁡α=−124⋅6=−12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{-12}{4\cdot 6} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}
α=120∘\alpha=120^\circ

קוסינוס שלילי: זווית קהה

הסימן חשוב: cos⁡α=−12\cos\alpha=-\frac{1}{2} נותן 120∘120^\circ, לא 60∘60^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

∣a‾∣=2|\underline{a}|=2, ∣b‾∣=5|\underline{b}|=5 ו-a‾⋅b‾=7\underline{a}\cdot\underline{b}=7. מהי הזווית בין הווקטורים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45.57

Corrigé :

cos⁡α=72⋅5=0.7\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{7}{2\cdot 5} \\ &= 0.7\end{aligned}
α≈45.57∘\alpha\approx 45.57^\circ

מחלקים במכפלת האורכים: 72+5=1\frac{7}{2+5}=1 היה נותן 0∘0^\circ — סימן שמשהו לא בסדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש ABCABC: ∣AB→∣=6|\overrightarrow{AB}|=6, ∣AC→∣=5|\overrightarrow{AC}|=5 ו-AB→⋅AC→=15\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=15. חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12.99

Corrigé :

cos⁡A=1530=12 ⇒ A=60∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{15}{30} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 60^\circ\end{aligned}
S=12⋅6⋅5⋅sin⁡60∘=7.53≈12.99\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5\cdot\sin 60^\circ \\ &= 7.5\sqrt{3}\approx 12.99\end{aligned}

בשטח משתמשים ב-sin⁡\sin, לא ב-cos⁡\cos: 12⋅6⋅5⋅cos⁡60∘=7.5\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5\cdot\cos 60^\circ=7.5 היא הטעות הנפוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH אורך המקצוע 22. חשבו את אורך האלכסון AGAG בעזרת וקטורים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.46

Corrigé :

AG→=u‾+v‾+w‾\overrightarrow{AG}=\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

שלושה מקצועות מ-AA

∣AG→∣2=4+4+4+2(0+0+0)=12\begin{aligned}|\overrightarrow{AG}|^2 &= 4+4+4+2(0+0+0) \\ &= 12\end{aligned}

כל המכפלות בין המקצועות 00

∣AG→∣=12=23≈3.46\begin{aligned}|\overrightarrow{AG}| &= \sqrt{12} \\ &= 2\sqrt{3}\approx 3.46\end{aligned}

שלושה ריבועים, כי שלושה מקצועות; המכפלות המעורבות אפס. 8\sqrt{8} הוא אלכסון של פאה, לא של הקובייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH: AG⊥BEAG\perp BE.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AG→=u‾+v‾+w‾BE→=w‾−u‾\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad \overrightarrow{BE} &= \underline{w}-\underline{u}\end{aligned}
AG→⋅BE→=∣w‾∣2−∣u‾∣2=a2−a2=0\begin{aligned}\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE} &= |\underline{w}|^2-|\underline{u}|^2 \\ &= a^2-a^2 \\ &= 0\end{aligned}

המכפלות המעורבות אפס

לא סומכים על העין: מחשבים את המכפלה. 00 פירושו מאונכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

∣u‾∣=∣v‾∣=2|\underline{u}|=|\underline{v}|=2 ו-u‾⋅v‾=2\underline{u}\cdot\underline{v}=2. מהו ∣u‾−v‾∣|\underline{u}-\underline{v}|?

  1. 44
  2. 22
  3. 222\sqrt{2}
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 22

Corrigé :

∣u‾−v‾∣2=4−4+4=4\begin{aligned}|\underline{u}-\underline{v}|^2 &= 4-4+4 \\ &= 4\end{aligned}
∣u‾−v‾∣=2|\underline{u}-\underline{v}|=2

u‾⋅v‾=2\underline{u}\cdot\underline{v}=2 פירושו זווית 60∘60^\circ: המשולש שווה צלעות. 00 היה נכון רק אילו u‾=v‾\underline{u}=\underline{v}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCDEFGH

בתיבה ABCDEFGHABCDEFGH: AB=3AB=3, AD=4AD=4, AE=12AE=12. השלימו.

∣AG→∣=|\overrightarrow{AG}|= ____ ; AG→⋅AB→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB}= ____ ; AG→⋅AE→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AE}= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∣AG→∣=|\overrightarrow{AG}|= 13 ; AG→⋅AB→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB}= 9 ; AG→⋅AE→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AE}= 144

Corrigé :

AG→=u‾+v‾+w‾\overrightarrow{AG}=\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}
∣AG→∣=9+16+144=13\begin{aligned}|\overrightarrow{AG}| &= \sqrt{9+16+144} \\ &= 13\end{aligned}
AG→⋅u‾=∣u‾∣2=9\begin{aligned}\overrightarrow{AG}\cdot\underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 9\end{aligned}

v‾⋅u‾=w‾⋅u‾=0\underline{v}\cdot\underline{u}=\underline{w}\cdot\underline{u}=0

AG→⋅w‾=∣w‾∣2=144\begin{aligned}\overrightarrow{AG}\cdot\underline{w} &= |\underline{w}|^2 \\ &= 144\end{aligned}

מכפלה של האלכסון במקצוע היא ריבוע המקצוע, כי שני המקצועות האחרים מאונכים לו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

a‾⋅b‾=6\underline{a}\cdot\underline{b}=6, ∣a‾∣=3|\underline{a}|=3, ∣b‾∣=4|\underline{b}|=4. חישבו את הזווית בין הווקטורים. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

a‾⋅b‾=6\underline{a}\cdot\underline{b}=6
cos⁡α=63+4=67\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{6}{3+4} \\ &= \frac{6}{7}\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : cos⁡α=63+4=67\cos\alpha=\frac{6}{3+4}=\frac{6}{7} → cos⁡α=63⋅4=12\cos\alpha=\frac{6}{3\cdot 4}=\frac{1}{2}

Corrigé :

cos⁡α=12 ⇒ α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

במכנה מכפלת האורכים, כמו בהגדרה ∣a‾∣⋅∣b‾∣cos⁡α|\underline{a}|\cdot|\underline{b}|\cos\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ABCSE

בפירמידה של הפרק (∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=6|\underline{v}|=6, ∣w‾∣=5|\underline{w}|=5, ASAS מאונך לבסיס), EE היא אמצע BSBS. חשבו את ∣AE→∣|\overrightarrow{AE}|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.2

Corrigé :

AE→=12(u‾+w‾)\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{w})

אמצע הקטע: חצי הסכום

∣AE→∣2=14(16+0+25)=414\begin{aligned}|\overrightarrow{AE}|^2 &= \frac{1}{4}(16+0+25) \\ &= \frac{41}{4}\end{aligned}

u‾⋅w‾=0\underline{u}\cdot\underline{w}=0

∣AE→∣=412≈3.20|\overrightarrow{AE}|=\frac{\sqrt{41}}{2}\approx 3.20

גם 12\frac{1}{2} עולה בריבוע: 14\frac{1}{4}. מי שכפל ב-12\frac{1}{2} קיבל 20.5\sqrt{20.5}.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe