Droite perpendiculaire à un plan

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לכל ישר שנמצא במישור.

דוגמה: עמוד שעומד ישר על רצפה. הוא מאונך לכל קו שמסמנים על הרצפה מהבסיס שלו.

KLMNOSXYZ
SOSO מאונך למישור: הוא מאונך ל-OXOX, ל-OYOY, ל-OZOZ — ולכל ישר אחר במישור.

כדי לבדוק שעמוד ניצב לרצפה, צריך לבדוק כל קו על הרצפה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. מספיק שני קווים נחתכים — זה המשפט הבא.

התנאי המספיק

אם ישר מאונך לשני ישרים נחתכים במישור, אז הוא מאונך למישור — ולכן לכל ישר במישור.

ומה אם שני הישרים במישור מקבילים?

Voir la réponse et le corrigé

זה לא מספיק. ישר יכול להיות מאונך לשני ישרים מקבילים, ועדיין להיות נטוי למישור.

בשפה של וקטורים

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} הם שני וקטורים לא מקבילים במישור. הווקטור w‾\underline{w} מאונך למישור כאשר:

w‾⋅u‾=0w‾⋅v‾=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot\underline{u} &= 0\quad \\ \quad \underline{w}\cdot\underline{v} &= 0\end{aligned}

שתי המכפלות אפס — וגם זו וגם זו

ואז המכפלה של w‾\underline{w} עם כל וקטור במישור היא 00:

w‾⋅(au‾+bv‾)=a⋅0+b⋅0=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot(a\underline{u}+b\underline{v}) &= a\cdot 0+b\cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

מנסרה ישרה

במנסרה ישרה המקצועות הצדדיים מאונכים לבסיסים. כל מקצוע צדדי הוא גובה של המנסרה.

ABCDEF
מנסרה ישרה ABCDEFABCDEF: ADAD, BEBE, CFCF מאונכים לבסיס ABCABC.

במנסרה הישרה ABCDEFABCDEF, מהו AD→⋅BC→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}?

Voir la réponse et le corrigé

00. ADAD מאונך לבסיס ABCABC, ולכן לכל ישר בו — גם ל-BCBC, שלא עובר דרך AA.

הגובה של פירמידה

גובה הפירמידה הוא הקטע שיורד מהקודקוד במאונך למישור הבסיס.

בפירמידה ישרה כל המקצועות הצדדיים שווים. הגובה שלה יורד למרכז המעגל החוסם את הבסיס: בבסיס ריבועי — לנקודת החיתוך של האלכסונים.

ABCDOS
פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. SOSO הוא הגובה.

מוצאים את הגובה

אורך צלע הבסיס 88, ואורך המקצוע הצדדי 99.

AC=82 ⇒ AO=42\begin{aligned}AC &= 8\sqrt{2}\ \Rightarrow\ AO \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

חצי אלכסון הריבוע

SO⊥AOSO\perp AO

SOSO מאונך לבסיס, ולכן לכל ישר בו

SO2=SA2−AO2=81−32=49\begin{aligned}SO^2 &= SA^2-AO^2 \\ &= 81-32 \\ &= 49\end{aligned}

פיתגורס במשולש SOASOA

SO=7SO=7

בשאלה עם וקטורים: אם w‾\underline{w} הוא וקטור של גובה, אז w‾\underline{w} מאונך לכל וקטור בבסיס. כל מכפלה של w‾\underline{w} עם וקטור בבסיס היא 00.

הגובה של הפירמידה הוא לא המקצוע הצדדי.

h=SAh=SA
h=SOSO⊥ABCD\begin{aligned}h &= SO \\ \quad SO\perp ABCD\end{aligned}

המקצוע SASA נטוי. הגובה יורד במאונך לבסיס — ובפירמידה ישרה, למרכז הבסיס.

Exercices

Exercice 1

ישר שמאונך לשני ישרים מקבילים במישור — מאונך למישור.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

ℓ⊥a, ℓ⊥b, a∥b\ell\perp a,\ \ell\perp b,\ a\parallel b

שני הישרים נותנים כיוון אחד בלבד

התנאי המספיק דורש שני ישרים נחתכים. שני ישרים מקבילים הם בעצם כיוון אחד במישור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ישר שמאונך לשני ישרים נחתכים במישור — מאונך לכל ישר במישור.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

ℓ⊥a, ℓ⊥b ⇒ ℓ⊥P\ell\perp a,\ \ell\perp b\ \Rightarrow\ \ell\perp P

aa ו-bb נחתכים במישור PP: זה התנאי המספיק

זה התנאי המספיק. מכאן: הישר מאונך גם לישרים שלא עוברים דרך נקודת החיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCDEF

ABCDEFABCDEF מנסרה ישרה (DD מעל AA, EE מעל BB, FF מעל CC). איזו מכפלה אינה בהכרח 00?

  1. AD→⋅BC→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}
  2. AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
  3. AD→⋅AB→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}
  4. BE→⋅AC→\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AC}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}

Corrigé :

AD→, BE→⊥ABC\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{BE}\perp ABC

מקצועות צדדיים מאונכים לבסיס

AB→⋅AC→=∣AB∣⋅∣AC∣⋅cos⁡A\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB|\cdot|AC|\cdot\cos A

תלוי בזווית של הבסיס

מקצוע צדדי מאונך לכל ישר בבסיס, גם לישר שלא נוגע בו. אבל שני ישרים בתוך הבסיס — רק אם הזווית ביניהם ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCDEF

ABCDEFABCDEF מנסרה ישרה. AB=3AB=3, AC=4AC=4, ∢BAC=90∘\sphericalangle BAC=90^\circ, AD=12AD=12. חשבו את ∣BF→∣|\overrightarrow{BF}|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

BF→=BA→+AC→+CF→=−u‾+v‾+w‾\begin{aligned}\overrightarrow{BF} &= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF} \\ &= -\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}\end{aligned}

u‾=AB→\underline{u}=\overrightarrow{AB}, v‾=AC→\underline{v}=\overrightarrow{AC}, w‾=AD→\underline{w}=\overrightarrow{AD}

∣BF→∣2=9+16+144=169\begin{aligned}|\overrightarrow{BF}|^2 &= 9+16+144 \\ &= 169\end{aligned}

שלושת הווקטורים מאונכים זה לזה

∣BF→∣=13|\overrightarrow{BF}|=13

CF→=AD→\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AD}: מקצועות צדדיים של מנסרה הם וקטורים שווים. ו-w‾\underline{w} מאונך לבסיס, ולכן כל המכפלות שלו 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDOS

פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. אורך צלע הבסיס 66, וגובה הפירמידה 44. חשבו את אורך המקצוע הצדדי SASA. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.83

Corrigé :

AO=622=32AO2=18\begin{aligned}AO &= \frac{6\sqrt{2}}{2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \quad AO^2 &= 18\end{aligned}

חצי אלכסון

SA=18+16=34≈5.83\begin{aligned}SA &= \sqrt{18+16} \\ &= \sqrt{34}\approx 5.83\end{aligned}

פיתגורס במשולש SOASOA, הזווית ב-OO ישרה

הגובה יורד למרכז OO, לא לקודקוד. בפיתגורס משתמשים ב-AOAO, חצי האלכסון — לא בצלע 66.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCDOS

פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. אורך צלע הבסיס 44, ואורך כל מקצוע צדדי 66. חשבו את גובה הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.29

Corrigé :

AO=22AO2=8\begin{aligned}AO &= 2\sqrt{2} \\ \quad AO^2 &= 8\end{aligned}
SO=36−8=28≈5.29\begin{aligned}SO &= \sqrt{36-8} \\ &= \sqrt{28}\approx 5.29\end{aligned}

המקצוע SA=6SA=6 הוא היתר במשולש SOASOA. מחסרים, לא מחברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} שני וקטורים לא מקבילים בבסיס של פירמידה, ו-w‾\underline{w} וקטור הגובה שלה, ∣w‾∣=5|\underline{w}|=5. השלימו.

w‾⋅u‾=\underline{w}\cdot\underline{u}= ____ ; w‾⋅(2u‾−3v‾)=\underline{w}\cdot(2\underline{u}-3\underline{v})= ____ ; (u‾+w‾)⋅w‾=(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w}= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : w‾⋅u‾=\underline{w}\cdot\underline{u}= 0 ; w‾⋅(2u‾−3v‾)=\underline{w}\cdot(2\underline{u}-3\underline{v})= 0 ; (u‾+w‾)⋅w‾=(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w}= 25

Corrigé :

w‾⋅u‾=0\underline{w}\cdot\underline{u}=0

הגובה מאונך לבסיס

w‾⋅(2u‾−3v‾)=2⋅0−3⋅0=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot(2\underline{u}-3\underline{v}) &= 2\cdot 0-3\cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

וקטור בבסיס

(u‾+w‾)⋅w‾=0+∣w‾∣2=25\begin{aligned}(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w} &= 0+|\underline{w}|^2 \\ &= 25\end{aligned}

w‾⋅w‾\underline{w}\cdot\underline{w} הוא לא אפס: זה ריבוע האורך, 2525. רק המכפלה עם וקטורים בבסיס מתאפסת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCOS

פירמידה ישרה ABCSABCS שבסיסה משולש שווה צלעות. אורך צלע הבסיס 66, ואורך כל מקצוע צדדי 55. חשבו את גובה הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.61

Corrigé :

R=63=23R2=12\begin{aligned}R &= \frac{6}{\sqrt{3}} \\ &= 2\sqrt{3} \\ \quad R^2 &= 12\end{aligned}

רדיוס המעגל החוסם משולש שווה צלעות

h=25−12=13≈3.61\begin{aligned}h &= \sqrt{25-12} \\ &= \sqrt{13}\approx 3.61\end{aligned}

פיתגורס: מקצוע צדדי, רדיוס, גובה

הגובה יורד למרכז המעגל החוסם. המרחק מהמרכז לקודקוד הוא R=23R=2\sqrt{3}, לא חצי צלע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מיינו: מאונך למישור הבסיס בוודאות, או לא בהכרח?

  • מאונך בוודאות
  • לא בהכרח
  • אלכסון של פאה צדדית במנסרה ישרה
  • גובה של פירמידה
  • מקצוע צדדי של מנסרה ישרה
  • מקצוע צדדי של פירמידה ישרה
  • מקצוע צדדי של תיבה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקצוע צדדי של מנסרה ישרה — מאונך בוודאות · גובה של פירמידה — מאונך בוודאות · מקצוע צדדי של פירמידה ישרה — לא בהכרח · אלכסון של פאה צדדית במנסרה ישרה — לא בהכרח · מקצוע צדדי של תיבה — מאונך בוודאות

Corrigé :

AD⊥ABCAD\perp ABC

מנסרה ישרה: מקצוע צדדי מאונך לבסיס

SO⊥ABC,SA⊥̸ABCSO\perp ABC,\quad SA\not\perp ABC

פירמידה ישרה: הגובה מאונך, המקצוע הצדדי נטוי

בפירמידה ישרה הגובה מאונך לבסיס, אבל המקצועות הצדדיים נטויים. אל תבלבלו בין «פירמידה ישרה» ל«מקצוע ישר».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} במישור, ∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=4|\underline{v}|=4, u‾⋅v‾=6\underline{u}\cdot\underline{v}=6. הווקטור w‾\underline{w} מאונך למישור, ו-∣w‾∣=2|\underline{w}|=2. חשבו את ∣u‾+v‾+w‾∣|\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.4

Corrigé :

∣u‾+v‾+w‾∣2=9+16+4+2(u‾⋅v‾+u‾⋅w‾+v‾⋅w‾)|\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}|^2=9+16+4+2(\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}+\underline{v}\cdot\underline{w})
=29+2(6+0+0)=41=29+2(6+0+0)=41

w‾\underline{w} מאונך לשניהם

41≈6.40\sqrt{41}\approx 6.40

שלוש מכפלות מעורבות, כל אחת פעמיים. רק u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v} לא מתאפסת, כי u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} לא מאונכים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe