Volumes : prisme et pyramide

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלת הווקטורים בבגרות נגמרת לעתים קרובות בנפח. צריך שני דברים: שטח הבסיס וגובה.

V=S⋅hV=S\cdot h

מנסרה: SS שטח הבסיס, hh הגובה

V=13⋅S⋅hV=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h

פירמידה: שליש מהמנסרה

למנסרה ולפירמידה יש אותו בסיס ואותו גובה. פי כמה גדול נפח המנסרה?

Voir la réponse et le corrigé

פי 3.

שטח הבסיס בעזרת וקטורים

הבסיס הוא לרוב משולש. את השטח שלו מחשבים ב-12absin⁡α\frac{1}{2}ab\sin\alpha: aa ו-bb שתי צלעות, ו-α\alpha הזווית ביניהן.

ABCS
הפירמידה של הפרק: AB=4AB=4, AC=6AC=6, ∢BAC=60∘\sphericalangle BAC=60^\circ, AS=5AS=5, ASAS מאונך לבסיס.

הנפח של הפירמידה ABCSABCS

הבסיס ABCABC, והגובה ASAS.

SABC=12⋅4⋅6⋅sin⁡60∘=63\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 60^\circ \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

שתי צלעות והזווית ביניהן

h=AS=5\begin{aligned}h &= AS \\ &= 5\end{aligned}

ASAS מאונך למישור הבסיס

V=13⋅63⋅5=103≈17.32\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 5 \\ &= 10\sqrt{3}\approx 17.32\end{aligned}

למה ASAS הוא הגובה של הפירמידה?

Voir la réponse et le corrigé

כי נתון ש-ASAS מאונך למישור הבסיס ABCABC.

כשהגובה לא נתון

לפעמים צריך למצוא את הגובה. בפירמידה ישרה הוא יורד למרכז הבסיס, ומוצאים אותו בפיתגורס.

פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע

צלע הבסיס 88, המקצוע הצדדי 99. מצאנו כבר ש-SO=7SO=7.

SABCD=82=64\begin{aligned}S_{ABCD} &= 8^2 \\ &= 64\end{aligned}
V=13⋅64⋅7=4483≈149.33\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 64\cdot 7 \\ &= \frac{448}{3}\approx 149.33\end{aligned}

מנסרה ישרה

ABCDEF
מנסרה ישרה ABCDEFABCDEF. AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AD→=w‾\overrightarrow{AD}=\underline{w}.

הזווית מהמכפלה, ואז הנפח

∣u‾∣=5|\underline{u}|=5, ∣v‾∣=8|\underline{v}|=8, u‾⋅v‾=−20\underline{u}\cdot\underline{v}=-20, ∣w‾∣=6|\underline{w}|=6.

cos⁡A=−205⋅8=−12 ⇒ A=120∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{-20}{5\cdot 8} \\ &= -\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 120^\circ\end{aligned}

קודם הזווית של הבסיס

SABC=12⋅5⋅8⋅sin⁡120∘=103\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 120^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

sin⁡120∘=sin⁡60∘\sin 120^\circ=\sin 60^\circ

V=103⋅6=603≈103.92\begin{aligned}V &= 10\sqrt{3}\cdot 6 \\ &= 60\sqrt{3}\approx 103.92\end{aligned}

מקצוע צדדי של מנסרה ישרה הוא הגובה

תיבה שמידותיה 33, 44, 55. מה הנפח שלה? ומה הנפח של הפירמידה שנחתכת מהפינה שלה, שלושה מקצועות מקודקוד אחד?

Voir la réponse et le corrigé

התיבה: 6060. הפירמידה: 13⋅12⋅3⋅4⋅5=10\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot 5=10 — שישית מהתיבה.

בפירמידה משולשת אפשר לבחור כל פאה כבסיס. בוחרים את הפאה שהגובה אליה ידוע.

שתי טעויות בנפח.

VABCS=SABC⋅ASV_{ABCS}=S_{ABC}\cdot AS
VABCS=13⋅SABC⋅ASV_{ABCS}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot AS

בפירמידה יש שליש. בלעדיו, זה הנפח של מנסרה.

SABC=4⋅6⋅sin⁡60∘S_{ABC}=4\cdot 6\cdot\sin 60^\circ
SABC=12⋅4⋅6⋅sin⁡60∘S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 60^\circ

בשטח של משולש יש חצי.

Exercices

Exercice 1

שטח הבסיס של מנסרה ישרה 1212, וגובהה 55. מהו הנפח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

V=12⋅5=60\begin{aligned}V &= 12\cdot 5 \\ &= 60\end{aligned}

במנסרה אין שליש. 2020 הוא נפח של פירמידה עם אותו בסיס וגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

שטח הבסיס של פירמידה 1818, וגובהה 77. מהו הנפח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 42

Corrigé :

V=13⋅18⋅7=42\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 7 \\ &= 42\end{aligned}

בפירמידה מחלקים ב-33. 126126 הוא נפח של מנסרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך למישור הבסיס. AB=AC=6AB=AC=6, ∢BAC=90∘\sphericalangle BAC=90^\circ, AS=8AS=8. חשבו את נפח הפירמידה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

SABC=12⋅6⋅6=18\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6 \\ &= 18\end{aligned}

משולש ישר זווית

V=13⋅18⋅8=48\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 8 \\ &= 48\end{aligned}

שני «חלקים» שונים: חצי בשטח המשולש, ושליש בנפח. מי ששכח אחד מהם קיבל 9696 או 144144.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך לבסיס. AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, ∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5, u‾⋅v‾=10\underline{u}\cdot\underline{v}=10, AS=6AS=6. חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 17.32

Corrigé :

cos⁡A=104⋅5=12 ⇒ A=60∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{10}{4\cdot 5} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 60^\circ\end{aligned}

מהמכפלה לזווית

SABC=12⋅4⋅5⋅sin⁡60∘=53\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot\sin 60^\circ \\ &= 5\sqrt{3}\end{aligned}
V=13⋅53⋅6=103≈17.32\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 5\sqrt{3}\cdot 6 \\ &= 10\sqrt{3}\approx 17.32\end{aligned}

המכפלה 1010 נותנת את הקוסינוס. לשטח צריך את הסינוס: מי שכפל ב-cos⁡60∘\cos 60^\circ קיבל 1010.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDOS

פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. צלע הבסיס 66, וכל מקצוע צדדי 55. חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 31.75

Corrigé :

AO=32AO2=18\begin{aligned}AO &= 3\sqrt{2} \\ \quad AO^2 &= 18\end{aligned}
h=25−18=7\begin{aligned}h &= \sqrt{25-18} \\ &= \sqrt{7}\end{aligned}

פיתגורס במשולש SOASOA

V=13⋅36⋅7=127≈31.75\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 36\cdot\sqrt{7} \\ &= 12\sqrt{7}\approx 31.75\end{aligned}

הגובה לא נתון: מוצאים אותו קודם. המקצוע 55 הוא לא הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCDEF

מנסרה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות שצלעו 44. גובה המנסרה 1010. חשבו את הנפח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 69.28

Corrigé :

S=12⋅4⋅4⋅sin⁡60∘=43\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot\sin 60^\circ \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}
V=43⋅10=403≈69.28\begin{aligned}V &= 4\sqrt{3}\cdot 10 \\ &= 40\sqrt{3}\approx 69.28\end{aligned}

הזווית במשולש שווה צלעות היא 60∘60^\circ. מי שכתב 12⋅4⋅4=8\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8 חישב משולש ישר זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH חותכים את הפירמידה ABDEABDE (שלושה מקצועות מהקודקוד AA). איזה חלק מנפח הקובייה הוא נפח הפירמידה?

  1. 16\frac{1}{6}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 18\frac{1}{8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 16\frac{1}{6}

Corrigé :

V=13⋅a22⋅a=a36\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a \\ &= \frac{a^3}{6}\end{aligned}

הבסיס ABDABD חצי פאה, הגובה AEAE

חצי (משולש) כפול שליש (פירמידה) = שישית. 13\frac{1}{3} שוכח שהבסיס הוא רק חצי ריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מכפילים פי 22 את גובה הפירמידה ואת כל הצלעות של הבסיס שלה. הנפח גדל פי 44.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

S→4S,h→2hS\to 4S,\quad h\to 2h

שטח גדל בריבוע

V→13⋅4S⋅2h=8VV\to\frac{1}{3}\cdot 4S\cdot 2h=8V

שטח הבסיס גדל פי 44 וגם הגובה פי 22: יחד פי 88. מי שענה «נכון» שכח את הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך לבסיס. AB=3AB=3, AC=4AC=4, ∢BAC=90∘\sphericalangle BAC=90^\circ, AS=6AS=6. השלימו.

SABC=S_{ABC}= ____ ; V=V= ____ ; BC=BC= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : SABC=S_{ABC}= 6 ; V=V= 12 ; BC=BC= 5

Corrigé :

SABC=12⋅3⋅4=6\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}
V=13⋅6⋅6=12\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 6\cdot 6 \\ &= 12\end{aligned}
BC=9+16=5\begin{aligned}BC &= \sqrt{9+16} \\ &= 5\end{aligned}

פיתגורס בבסיס

AS=6AS=6 הוא גם הגובה וגם המספר של השטח — לא להתבלבל ביניהם בהצבה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נפח של פירמידה הוא 4040. הבסיס שלה משולש עם שתי צלעות 44 ו-66, והזווית ביניהן 30∘30^\circ. מהו גובה הפירמידה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

S=12⋅4⋅6⋅sin⁡30∘=6\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}
40=13⋅6⋅h ⇒ h=20\begin{aligned}40 &= \frac{1}{3}\cdot 6\cdot h\ \Rightarrow\ h \\ &= 20\end{aligned}

מבודדים את hh: כופלים ב-33 ומחלקים ב-SS. מי ששכח את השליש קיבל 406\frac{40}{6}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCS

חישבו נפח של פירמידה: בסיס משולש ישר זווית עם ניצבים 66 ו-44, וגובה 55. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

S=12⋅6⋅4⋅sin⁡90∘=12\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot\sin 90^\circ \\ &= 12\end{aligned}
V=12⋅5=60\begin{aligned}V &= 12\cdot 5 \\ &= 60\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : V=12⋅5=60V=12\cdot 5=60 → V=13⋅12⋅5=20V=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 5=20

Corrigé :

V=13⋅S⋅h=20\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot S\cdot h \\ &= 20\end{aligned}

6060 הוא נפח של מנסרה. בפירמידה מחלקים ב-33.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe