Le nombre e · Calcul différentiel de eˣ · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בפרק על הפונקציה המעריכית עבדנו עם בסיסים כמו $2$ ו- $\frac{1}{2}$ . בפרק הזה נכיר בסיס מיוחד: המספר $e$ .

נתחיל מחיסכון. מפקידים שקל אחד בבנק, בריבית של $100\%$ לשנה. כמה כסף יהיה בסוף השנה?

Activité interactive

פעם בשנה: כל הריבית מגיעה בסוף השנה. $(1+1)^1=2$ : יש $2$ שקלים.

פעמיים בשנה: חצי ריבית בכל פעם. $\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2.25$ . בחצי השנה השנייה יש ריבית גם על הריבית.

כל חודש: $\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}\approx 2.613$ . הסכום ממשיך לגדול.

כל יום: $\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}\approx 2.7146$ . הגידול כבר קטן.

כל שעה: $\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}\approx 2.7181$ . הסכום כמעט לא זז. הוא מתקרב למספר קבוע: $e$ .

מההתחלה

לחצו «הצעד הבא». מתחת לכל עמודה כתוב כמה פעמים בשנה מחשבים ריבית. הקו המקווקו הוא $e$ : העמודות מתקרבות אליו, ולא עוברות אותו.

Faire l'activité sur elev

מה יקרה אם הבנק יחשב ריבית כל שנייה?

Voir la réponse et le corrigé

הסכום יגדל עוד קצת, אבל לא יעבור את $e\approx 2.718$ . ככל שמחלקים יותר, מתקרבים יותר ל- $e$ .

המספר e

e\approx 2.718

מספר אי-רציונלי, כמו $\pi$ : הספרות שלו לא נגמרות.

$e$ הוא מספר, לא משתנה. לכן $e^2$ הוא מספר, בערך $7.39$ , ו- $3e$ הוא בערך $8.15$ .

e^0=1

כל מספר בחזקת אפס

e^1=e\approx 2.718

המספר עצמו

e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0.368

מעריך שלילי: אחד חלקי

חשבו במחשבון את $e^3$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

$e^3\approx 20.09$ . במחשבון: המקש $e^x$ , ואחריו $3$ .

הבסיס שהשיפוע שלו ב-0 הוא 1

כל גרף $y=a^x$ (עם $a>0$ ) עובר בנקודה $(0,1)$ . בנקודה הזאת מעבירים משיק, ומודדים את השיפוע שלו.

בבסיס $2$ השיפוע קטן מ- $1$ (בערך $0.69$ ). בבסיס $3$ הוא גדול מ- $1$ (בערך $1.10$ ). רק בבסיס $e$ השיפוע הוא בדיוק $1$ .

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא $e$ ? איך רואים את זה מהשיפועים?

Voir la réponse et le corrigé

בין $2$ ל- $3$ . בבסיס $2$ השיפוע קטן מ- $1$ , ובבסיס $3$ הוא גדול מ- $1$ . השיפוע $1$ נמצא באמצע: $2<e<3$ .

הפונקציה y = eˣ

x\in\mathbb{R}

מוגדרת לכל $x$

e^x>0

תמיד חיובית: הגרף כולו מעל ציר ה- $x$

e>1

עולה לכל $x$

x\to-\infty:\ e^x\to 0

אסימפטוטה אופקית $y=0$ , משמאל

$\ln$ הוא הלוגריתם בבסיס $e$ . לכן $e^x=k$ נפתרת כך: $x=\ln k$ (כאשר $k>0$ ). למשל $e^x=5$ נותן $x=\ln 5\approx 1.61$ .

שתי טעויות עם e.

e^2=2e

e^2=e\cdot e\approx 7.39

חזקה היא כפל של $e$ בעצמו, לא כפל ב- $2$ . $2e\approx 5.44$ בלבד.

e^{-x}<0

e^{-x}=\frac{1}{e^x}>0

מעריך שלילי לא נותן מספר שלילי. כל חזקה של $e$ חיובית.

Exercices

Exercice 1

חשבו את $e^2$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.39

Corrigé :

e^2=e\cdot e

כפל של $e$ בעצמו

e^2\approx 7.39

במחשבון

$e^2\approx 7.39$ . מי שכתב $5.44$ חישב $2e$ במקום $e^2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מה נכון לגבי המספר $e$ ?

$e=\frac{1}{2.718}$
$e$ הוא משתנה, כמו $x$
$e\approx 2.718$ , והספרות שלו לא נגמרות
$e=2.7$ בדיוק

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $e\approx 2.718$ , והספרות שלו לא נגמרות

Corrigé :

e\approx 2.718281\ldots

מספר אי-רציונלי

$e$ הוא מספר קבוע, בערך $2.718$ . $2.7$ הוא רק עיגול שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כאשר $n$ גדול מאוד, הביטוי $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ עובר את $e$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\left(1+\tfrac{1}{8760}\right)^{8760}\approx 2.7181<e

גם בחישוב כל שעה הסכום קטן מ- $e$

לא נכון. הביטוי מתקרב ל- $e$ מלמטה, ולא עובר אותו. זו בדיוק ההגדרה של $e$ דרך החיסכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הבנק מחשב ריבית ארבע פעמים בשנה. חשבו את $\left(1+\frac{1}{4}\right)^4$ . עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.44

Corrigé :

1+\tfrac14=1.25

הריבית בכל רבעון

1.25^4\approx 2.44

ארבע פעמים בשנה

$2.44$ : יותר מ- $2.25$ (פעמיים בשנה), ופחות מ- $e$ . מי שכתב $5$ חישב $1.25\cdot 4$ , כפל במקום חזקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

סדרו מהקטן לגדול.

$\frac{1}{e}$
$1$
$2$
$3$
$e^2$
$e$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\frac{1}{e}$ · $1$ · $2$ · $e$ · $3$ · $e^2$

Corrigé :

\tfrac1e\approx0.37 ,\ e\approx2.72 ,\ e^2\approx7.39

מחשבים כל אחד

$\frac{1}{e}$ קטן מ- $1$ כי $e>1$ . ו- $e$ נמצא בין $2$ ל- $3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לכל $x$ מתקיים $e^x>0$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

e>0 \Rightarrow e^x>0

בסיס חיובי בכל חזקה נותן מספר חיובי

נכון. גם $e^{-100}$ חיובי: הוא $\frac{1}{e^{100}}$ , מספר קטן מאוד, אבל לא שלילי ולא אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את המשוואה $e^x=5$ . עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.61

Corrigé :

\begin{aligned}e^x &= 5 \Rightarrow x \\ &= \ln 5\end{aligned}

הגדרת $\ln$

\ln 5\approx 1.61

במחשבון

$x=\ln 5\approx 1.61$ . מי שכתב $\frac{5}{e}$ חילק, אבל $e^x$ היא חזקה ולא כפל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מעבירים משיק לגרף של $y=2^x$ בנקודה $(0,1)$ . מה נכון לגבי השיפוע שלו?

הוא גדול מ- $1$
הוא בדיוק $1$
הוא קטן מ- $1$
הוא $0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C הוא קטן מ- $1$

Corrigé :

2<e

הבסיס קטן מ- $e$

m\approx 0.69

במעבדה: השיפוע בערך $0.69$

קטן מ- $1$ : רק לבסיס $e$ יש שיפוע $1$ ב- $(0,1)$ , ו- $2$ קטן מ- $e$ . השיפוע אינו $0$ : הגרף עולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו כל ביטוי לערך שלו.

$e^0$
$\ln e^3$
$e^{\ln 4}$
$e^{-1}$

$\frac{1}{e}$
$1$
$3$
$4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $e^0$ — $1$ · $\ln e^3$ — $3$ · $e^{\ln 4}$ — $4$ · $e^{-1}$ — $\frac{1}{e}$

Corrigé :

\begin{aligned}\ln e^3 &= 3 \\ \quad e^{\ln 4} &= 4\end{aligned}

$\ln$ ו- $e$ מבטלים זה את זה

$e^{-1}$ אינו $-e$ : מעריך שלילי הופך לשבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהי האסימפטוטה האופקית של $y=e^x-3$ ? כתבו את $y$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

x\to-\infty:\ e^x\to 0

משמאל $e^x$ נעלם

y\to 0-3=-3

ה- $-3$ נשאר

$y=-3$ . ה- $-3$ מזיז את הגרף כולו למטה, ואיתו את האסימפטוטה. מי שכתב $y=0$ שכח את ההזזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הפונקציה $y=e^{-x}$ יורדת לכל $x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

e^{-x}=\left(\tfrac{1}{e}\right)^x

בסיס בין $0$ ל- $1$

0<\tfrac1e<1

לכן יורדת

נכון. $e^{-x}$ היא שיקוף של $e^x$ בציר ה- $y$ . מי שראה רק $e$ (גדול מ- $1$ ) שכח את המינוס במעריך.

Vérifier la réponse sur elev

המספר e

הבסיס שהשיפוע שלו ב-0 הוא 1

הפונקציה y = eˣ

Exercices

La suite se pratique sur elev