La dérivée de eˣ

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ראינו שב-x=0x=0 השיפוע של exe^x הוא 11. ומה השיפוע בנקודות אחרות?

ב-x=2x=2 גובה הגרף של exe^x הוא בערך 7.397.39. מה שיפוע המשיק שם?

Voir la réponse et le corrigé

גם הוא בערך 7.397.39. בכל נקודה השיפוע של exe^x שווה לגובה: e2e^2.

(ex)′=ex(e^x)'=e^x

הנגזרת של exe^x היא exe^x עצמה.

כפל בקבוע וסכום

(k⋅ex)′=k⋅ex(k\cdot e^x)'=k\cdot e^x

קבוע כופל נשאר

(ex+x2)′=ex+2x(e^x+x^2)'=e^x+2x

סכום: גוזרים כל מחובר לבד

(ex+7)′=ex(e^x+7)'=e^x

קבוע מחובר נעלם

גזרו את f(x)=3ex−x2+5f(x)=3e^x-x^2+5, וחשבו את f′(0)f'(0).

כל מחובר לבד.

f′(x)=3ex−2xf'(x)=3e^x-2x

הקבוע 33 נשאר, x2x^2 נותן 2x2x, ו-55 נעלם

f′(0)=3e0−0=3\begin{aligned}f'(0) &= 3e^0-0 \\ &= 3\end{aligned}

e0=1e^0=1

גזרו את f(x)=2ex+4xf(x)=2e^x+4x.

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=2ex+4f'(x)=2e^x+4.

מכפלה: פולינום כפול eˣ

(u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'

כלל המכפלה

גזרו את f(x)=(x−3)exf(x)=(x-3)e^x.

u=x−3u=x-3 ו-v=exv=e^x.

f′(x)=1⋅ex+(x−3)⋅exf'(x)=1\cdot e^x+(x-3)\cdot e^x

כלל המכפלה

f′(x)=ex(1+x−3)f'(x)=e^x\big(1+x-3\big)

מוציאים exe^x גורם משותף

f′(x)=(x−2)exf'(x)=(x-2)e^x

מכנסים

תמיד מוציאים exe^x גורם משותף. אז קל לפתור f′(x)=0f'(x)=0: exe^x אף פעם לא אפס, ולכן רק הסוגריים מתאפסים.

גזרו את f(x)=x2exf(x)=x^2e^x, והוציאו גורם משותף.

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex=x(x+2)exf'(x)=2xe^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x.

מנה: eˣ בתוך שבר

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

כלל המנה

גזרו את f(x)=exxf(x)=\frac{e^x}{x}.

u=exu=e^x ו-v=xv=x, ו-x≠0x\neq 0.

f′(x)=ex⋅x−ex⋅1x2f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}

כלל המנה

f′(x)=(x−1)exx2f'(x)=\frac{(x-1)e^x}{x^2}

מוציאים exe^x במונה

גזרו את f(x)=xexf(x)=\frac{x}{e^x}.

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=1⋅ex−x⋅ex(ex)2=(1−x)exe2x=1−xexf'(x)=\frac{1\cdot e^x-x\cdot e^x}{(e^x)^2}=\frac{(1-x)e^x}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}.

משיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=ex+xf(x)=e^x+x בנקודה שבה x=0x=0.

שלושה צעדים: נקודה, שיפוע, ישר.

f(0)=e0+0=1\begin{aligned}f(0) &= e^0+0 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה: (0,1)(0,1)

f′(x)=ex+1⇒f′(0)=2\begin{aligned}f'(x) &= e^x+1 \Rightarrow f'(0) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−1=2(x−0)⇒y=2x+1\begin{aligned}y-1 &= 2(x-0) \Rightarrow y \\ &= 2x+1\end{aligned}

משוואת ישר דרך נקודה

שתי טעויות בגזירה.

(xex)′=1⋅ex(xe^x)'=1\cdot e^x
(xex)′=ex+xex(xe^x)'=e^x+xe^x

זו מכפלה. גוזרים כל גורם בתורו, ולא רק את הראשון.

(ex)′=xex−1(e^x)'=xe^{x-1}
(ex)′=ex(e^x)'=e^x

הכלל של xnx^n לא מתאים כאן: ה-xx נמצא במעריך, לא בבסיס.

Exercices

Exercice 1

מהי הנגזרת של f(x)=5ex−x3f(x)=5e^x-x^3?

  1. 5ex−3x5e^x-3x
  2. 5ex−3x25e^x-3x^2
  3. ex−3x2e^x-3x^2
  4. 5xex−1−3x25xe^{x-1}-3x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 5ex−3x25e^x-3x^2

Corrigé :

(5ex)′=5ex(5e^x)'=5e^x

הקבוע נשאר

(x3)′=3x2(x^3)'=3x^2

חזקה

5ex−3x25e^x-3x^2. ב-exe^x לא מורידים את המעריך: הוא לא xnx^n.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=4ex+x2f(x)=4e^x+x^2. חשבו את f′(0)f'(0).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=4ex+2xf'(x)=4e^x+2x

גוזרים

f′(0)=4⋅1+0=4\begin{aligned}f'(0) &= 4\cdot 1+0 \\ &= 4\end{aligned}

e0=1e^0=1

f′(0)=4f'(0)=4. מי שכתב 00 חשב ש-e0=0e^0=0, אבל e0=1e^0=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי הנגזרת של f(x)=(x+1)exf(x)=(x+1)e^x?

  1. (x+2)ex(x+2)e^x
  2. xexxe^x
  3. (x+1)ex(x+1)e^x
  4. exe^x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (x+2)ex(x+2)e^x

Corrigé :

f′(x)=1⋅ex+(x+1)exf'(x)=1\cdot e^x+(x+1)e^x

כלל המכפלה

=(x+2)ex=(x+2)e^x

גורם משותף

(x+2)ex(x+2)e^x. מי שבחר exe^x גזר רק את x+1x+1 ושכח את החלק השני של כלל המכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=(x−4)exf(x)=(x-4)e^x. בעבור איזה xx מתקיים f′(x)=0f'(x)=0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=ex+(x−4)ex=(x−3)ex\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-4)e^x \\ &= (x-3)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה וגורם משותף

ex≠0⇒x−3=0e^x\neq0 \Rightarrow x-3=0

רק הסוגריים מתאפסים

x=3x=3. מי שענה 44 איפס את ff עצמה ולא את הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

גוזרים את f(x)=x2exf(x)=x^2e^x. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=x2exf(x)=x^2e^x
f′(x)=2x⋅exf'(x)=2x\cdot e^x
f′(x)=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(x)=2x⋅exf'(x)=2x\cdot e^x → f′(x)=2xex+x2ex=x(x+2)exf'(x)=2xe^x+x^2e^x=x(x+2)e^x

Corrigé :

f′(x)=2xex+x2exf'(x)=2xe^x+x^2e^x

כלל המכפלה: שני חלקים

f′(x)=0⇒x=0 x=−2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני פתרונות

הגזירה שכחה את x2⋅(ex)′x^2\cdot(e^x)'. בגלל זה הפתרון x=−2x=-2 הלך לאיבוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=exxf(x)=\frac{e^x}{x}. חשבו את f′(2)f'(2). עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.85

Corrigé :

f′(x)=(x−1)exx2f'(x)=\frac{(x-1)e^x}{x^2}

כלל המנה

f′(2)=1⋅e24≈1.85f'(2)=\frac{1\cdot e^2}{4}\approx 1.85

On remplace (מציבים)

e24≈1.85\frac{e^2}{4}\approx 1.85. מי שכתב e22\frac{e^2}{2} חילק ב-xx ולא ב-x2x^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנגזרת של f(x)=xexf(x)=\frac{x}{e^x} היא 1ex\frac{1}{e^x}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(x)=ex−xexe2xf'(x)=\frac{e^x-xe^x}{e^{2x}}

כלל המנה

=1−xex=\frac{1-x}{e^x}

מצמצמים ב-exe^x

לא נכון. f′(x)=1−xexf'(x)=\frac{1-x}{e^x}. מי שגזר מונה לבד ומכנה לבד שכח את כלל המנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=(2x+1)exf(x)=(2x+1)e^x. השלימו.

f′(0)=f'(0)= ____ ; f′(x)=0f'(x)=0 כאשר x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(0)=f'(0)= 3 ; f′(x)=0f'(x)=0 כאשר x=x= -1.5

Corrigé :

f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex\begin{aligned}f'(x) &= 2e^x+(2x+1)e^x \\ &= (2x+3)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

f′(0)=32x+3=0⇒x=−1.5\begin{aligned}f'(0) &= 3 \\ \quad 2x+3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1.5\end{aligned}

מציבים ומאפסים

הנגזרת של 2x+12x+1 היא 22, לא 11. מי שכתב (2x+2)ex(2x+2)e^x קיבל x=−1x=-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו שיפוע המשיק לגרף של f(x)=ex−2xf(x)=e^x-2x בנקודה שבה x=0x=0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

f′(x)=ex−2f'(x)=e^x-2

גוזרים

f′(0)=1−2=−1\begin{aligned}f'(0) &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

השיפוע −1-1. מי שכתב 11 הציב ב-ff ולא ב-f′f': f(0)=1f(0)=1 הוא הגובה, לא השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהי משוואת המשיק לגרף של f(x)=ex+3xf(x)=e^x+3x בנקודה שבה x=0x=0?

  1. y=3x+1y=3x+1
  2. y=4xy=4x
  3. y=4x+1y=4x+1
  4. y=x+4y=x+4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=4x+1y=4x+1

Corrigé :

f(0)=1f(0)=1

נקודת ההשקה (0,1)(0,1)

f′(x)=ex+3⇒f′(0)=4\begin{aligned}f'(x) &= e^x+3 \Rightarrow f'(0) \\ &= 4\end{aligned}

השיפוע

y=4x+1y=4x+1

ישר דרך (0,1)(0,1)

y=4x+1y=4x+1. מי שבחר y=3x+1y=3x+1 שכח שגם exe^x תורם 11 לשיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה f(x)=xexf(x)=xe^x. בעבור איזה xx מתקיים f′(x)=0f'(x)=0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

f′(x)=ex+xex=(x+1)ex\begin{aligned}f'(x) &= e^x+xe^x \\ &= (x+1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

x+1=0⇒x=−1\begin{aligned}x+1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

exe^x לא מתאפס

x=−1x=-1. מי שענה 00 איפס את ff ולא את f′f'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

התאימו כל פונקציה לנגזרת שלה.

  • ex+x2e^x+x^2
  • xexxe^x
  • (x−1)ex(x-1)e^x
  • exx\frac{e^x}{x}
  • (x+1)ex(x+1)e^x
  • (x−1)exx2\frac{(x-1)e^x}{x^2}
  • ex+2xe^x+2x
  • xexxe^x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ex+x2e^x+x^2 — ex+2xe^x+2x · xexxe^x — (x+1)ex(x+1)e^x · (x−1)ex(x-1)e^x — xexxe^x · exx\frac{e^x}{x} — (x−1)exx2\frac{(x-1)e^x}{x^2}

Corrigé :

((x−1)ex)′=ex+(x−1)ex=xex\begin{aligned}\big((x-1)e^x\big)' &= e^x+(x-1)e^x \\ &= xe^x\end{aligned}

כלל המכפלה

שימו לב: xexxe^x מופיע פעם כפונקציה ופעם כנגזרת. הנגזרת של (x−1)ex(x-1)e^x היא xexxe^x, והנגזרת של xexxe^x היא (x+1)ex(x+1)e^x.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe