e puissance une expression

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לפעמים המעריך הוא לא xx לבד, אלא ביטוי: e3xe^{3x}, e−xe^{-x}, ex2−4xe^{x^2-4x}.

(eg(x))′=g′(x)⋅eg(x)\big(e^{g(x)}\big)'=g'(x)\cdot e^{g(x)}

כלל השרשרת: הנגזרת של המעריך, כפול אותה חזקה בדיוק.

(e3x)′=3e3x(e^{3x})'=3e^{3x}

הנגזרת של 3x3x היא 33

(e−x)′=−e−x(e^{-x})'=-e^{-x}

הנגזרת של −x-x היא −1-1

(ex2)′=2x ex2(e^{x^2})'=2x\,e^{x^2}

הנגזרת של x2x^2 היא 2x2x

גזרו את e5x−2e^{5x-2}.

Voir la réponse et le corrigé

5e5x−25e^{5x-2}. המעריך נשאר כמו שהוא, ובחוץ כופלים ב-55.

מה קובע את הסימן של הנגזרת

eg(x)e^{g(x)} תמיד חיובי. לכן לנגזרת g′(x)⋅eg(x)g'(x)\cdot e^{g(x)} יש אותו סימן כמו ל-g′(x)g'(x).

לפי הסימן של 2−2x2-2x: באיזה תחום f(x)=e2x−x2f(x)=e^{2x-x^2} עולה?

Voir la réponse et le corrigé

כאשר 2−2x>02-2x>0, כלומר x<1x<1. אין צורך לחשב את e2x−x2e^{2x-x^2}: הוא תמיד חיובי.

מכפלה עם e בחזקת ביטוי

גזרו את f(x)=xe−xf(x)=xe^{-x}.

כלל המכפלה, ובתוכו כלל השרשרת.

f′(x)=1⋅e−x+x⋅(−e−x)f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})

(e−x)′=−e−x(e^{-x})'=-e^{-x}

f′(x)=(1−x)e−xf'(x)=(1-x)e^{-x}

גורם משותף

משיק

y0=f(x0)y_0=f(x_0)

נקודת ההשקה

m=f′(x0)m=f'(x_0)

השיפוע

y−y0=m(x−x0)y-y_0=m(x-x_0)

משוואת המשיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=e2x−4f(x)=e^{2x-4} בנקודה שבה x=2x=2.

שלושת הצעדים.

f(2)=e0=1\begin{aligned}f(2) &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}

הנקודה (2,1)(2,1)

f′(x)=2e2x−4⇒f′(2)=2\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x-4} \Rightarrow f'(2) \\ &= 2\end{aligned}

כלל השרשרת

y−1=2(x−2)⇒y=2x−3\begin{aligned}y-1 &= 2(x-2) \Rightarrow y \\ &= 2x-3\end{aligned}

המשיק

באיזו נקודה המשיק y=2x−3y=2x-3 חותך את ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

2x−3=02x-3=0, כלומר x=1.5x=1.5: הנקודה (1.5,0)(1.5,0).

כשהנגזרת מובילה ל-eˣ = k

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)=e2x−4exf(x)=e^{2x}-4e^x.

e2x=(ex)2e^{2x}=(e^x)^2.

f′(x)=2e2x−4exf'(x)=2e^{2x}-4e^x

כלל השרשרת

f′(x)=2ex(ex−2)f'(x)=2e^x\big(e^x-2\big)

גורם משותף 2ex2e^x

ex=2⇒x=ln⁡2\begin{aligned}e^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

2ex2e^x לא מתאפס; פותרים עם ln⁡\ln

f(ln⁡2)=4−8=−4\begin{aligned}f(\ln 2) &= 4-8 \\ &= -4\end{aligned}

e2ln⁡2=4e^{2\ln 2}=4: מינימום (ln⁡2,−4)(\ln 2,-4)

אחרי הוצאת exe^x נשארת משוואה ex=ke^x=k. אם k>0k>0: x=ln⁡kx=\ln k. אם k≤0k\le 0: אין פתרון, כי ex>0e^x>0.

שתי טעויות של כלל השרשרת.

(e3x)′=e3x(e^{3x})'=e^{3x}
(e3x)′=3e3x(e^{3x})'=3e^{3x}

רק exe^x שווה לנגזרת שלו. כאן חסרה הנגזרת של המעריך, 33.

(ex2)′=x2ex2−1(e^{x^2})'=x^2e^{x^2-1}
(ex2)′=2xex2(e^{x^2})'=2xe^{x^2}

לא מורידים את המעריך כמו ב-xnx^n. כופלים בנגזרת שלו.

Exercices

Exercice 1

מהי הנגזרת של e4xe^{4x}?

  1. 4xe4x−14xe^{4x-1}
  2. e4xe^{4x}
  3. e4e^{4}
  4. 4e4x4e^{4x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 4e4x4e^{4x}

Corrigé :

(4x)′=4(4x)'=4

נגזרת המעריך

(e4x)′=4e4x(e^{4x})'=4e^{4x}

כלל השרשרת

4e4x4e^{4x}. מי שבחר e4xe^{4x} שכח לכפול בנגזרת של המעריך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=e3x−6f(x)=e^{3x-6}. חשבו את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=3e3x−6f'(x)=3e^{3x-6}

כלל השרשרת

f′(2)=3e0=3\begin{aligned}f'(2) &= 3e^0 \\ &= 3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

33. ב-x=2x=2 המעריך מתאפס ו-e0=1e^0=1. מי שכתב 11 שכח את הגורם 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי הנגזרת של f(x)=ex2−4xf(x)=e^{x^2-4x}?

  1. (x2−4x)ex2−4x−1(x^2-4x)e^{x^2-4x-1}
  2. e2x−4e^{2x-4}
  3. (2x−4)ex2−4x(2x-4)e^{x^2-4x}
  4. (2x−4)ex(2x-4)e^{x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (2x−4)ex2−4x(2x-4)e^{x^2-4x}

Corrigé :

(x2−4x)′=2x−4(x^2-4x)'=2x-4

נגזרת המעריך

f′(x)=(2x−4)ex2−4xf'(x)=(2x-4)e^{x^2-4x}

כפול אותה חזקה

המעריך נשאר x2−4xx^2-4x. רק בחוץ מופיעה הנגזרת שלו, 2x−42x-4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=ex2−6xf(x)=e^{x^2-6x}. בעבור איזה xx מתקיים f′(x)=0f'(x)=0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=(2x−6)ex2−6xf'(x)=(2x-6)e^{x^2-6x}

כלל השרשרת

2x−6=0⇒x=3\begin{aligned}2x-6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

החזקה לא מתאפסת

x=3x=3. מי שפתר x2−6x=0x^2-6x=0 איפס את המעריך, ולא את הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הפונקציה f(x)=e−xf(x)=e^{-x} יורדת לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=−e−xf'(x)=-e^{-x}

כלל השרשרת

−e−x<0-e^{-x}<0

מינוס כפול חיובי

נכון. הנגזרת שלילית לכל xx. מי שענה «לא» ראה רק את e>1e>1 ושכח את המינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו שיפוע המשיק לגרף של f(x)=e2xf(x)=e^{2x} בנקודה שבה x=0x=0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=2e2xf'(x)=2e^{2x}

כלל השרשרת

f′(0)=2f'(0)=2

On remplace (מציבים)

השיפוע 22, לא 11: הגרף של e2xe^{2x} תלול פי שניים מ-exe^x ב-(0,1)(0,1).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=ex−1f(x)=e^{x-1} בנקודה שבה x=1x=1. השלימו: y=mx+ny=mx+n.

m=m= ____ ; n=n= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : m=m= 1 ; n=n= 0

Corrigé :

f(1)=1 f′(1)=e0=1\begin{aligned}f(1) &= 1 \\ \ f'(1) &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y−1=1(x−1)⇒y=x\begin{aligned}y-1 &= 1(x-1) \Rightarrow y \\ &= x\end{aligned}

המשיק

המשיק הוא y=xy=x, ולכן n=0n=0. הוא עובר בראשית. מי שכתב n=1n=1 שכח להעביר את −1-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=e2x−6exf(x)=e^{2x}-6e^x. פתרו f′(x)=0f'(x)=0. עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.1

Corrigé :

f′(x)=2e2x−6ex=2ex(ex−3)\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}-6e^x \\ &= 2e^x(e^x-3)\end{aligned}

גורם משותף

ex=3⇒x=ln⁡3≈1.10\begin{aligned}e^x &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3\approx 1.10\end{aligned}

פותרים עם ln⁡\ln

x=ln⁡3≈1.10x=\ln 3\approx 1.10. מי שכתב ln⁡6\ln 6 שכח שהנגזרת של e2xe^{2x} היא 2e2x2e^{2x}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

גוזרים את f(x)=xe−2xf(x)=xe^{-2x}. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=1⋅e−2x+x⋅e−2xf'(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot e^{-2x}
f′(x)=(1+x)e−2xf'(x)=(1+x)e^{-2x}
f′(x)=0⇒x=−1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(x)=1⋅e−2x+x⋅e−2xf'(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot e^{-2x} → f′(x)=e−2x−2xe−2xf'(x)=e^{-2x}-2xe^{-2x}

Corrigé :

(e−2x)′=−2e−2x(e^{-2x})'=-2e^{-2x}

כלל השרשרת

f′(x)=(1−2x)e−2x⇒x=0.5\begin{aligned}f'(x) &= (1-2x)e^{-2x} \Rightarrow x \\ &= 0.5\end{aligned}

הפתרון הנכון

הטעות בשורה הראשונה: הנגזרת של e−2xe^{-2x} היא −2e−2x-2e^{-2x}, לא e−2xe^{-2x}. מכאן גם x=−1x=-1 שגוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהי משוואת המשיק לגרף של f(x)=xe−xf(x)=xe^{-x} בנקודה שבה x=0x=0?

  1. y=xy=x
  2. y=0y=0
  3. y=x+1y=x+1
  4. y=−xy=-x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=xy=x

Corrigé :

f(0)=0f(0)=0

הנקודה (0,0)(0,0)

f′(x)=(1−x)e−x⇒f′(0)=1\begin{aligned}f'(x) &= (1-x)e^{-x} \Rightarrow f'(0) \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע

y=xy=x

המשיק

y=xy=x. מי שבחר y=−xy=-x גזר את e−xe^{-x} כאילו הכל מוכפל ב-−1-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מיינו: איזו פונקציה עולה לכל xx, ואיזו יורדת לכל xx?

  • עולה לכל x
  • יורדת לכל x
  • −ex-e^x
  • 5−ex5-e^x
  • e−3xe^{-3x}
  • e0.5xe^{0.5x}
  • e2xe^{2x}
  • ex+xe^x+x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : e2xe^{2x} — עולה לכל x · e−3xe^{-3x} — יורדת לכל x · −ex-e^x — יורדת לכל x · ex+xe^x+x — עולה לכל x · 5−ex5-e^x — יורדת לכל x · e0.5xe^{0.5x} — עולה לכל x

Corrigé :

(e−3x)′=−3e−3x<0(ex+x)′=ex+1>0\begin{aligned}(e^{-3x})' &= -3e^{-3x}<0 \\ \quad (e^x+x)' &= e^x+1>0\end{aligned}

סימן הנגזרת

קובע סימן הנגזרת, לא הבסיס לבד. −ex-e^x ו-5−ex5-e^x יורדות כי יש מינוס לפני exe^x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ל-f(x)=ex2−2xf(x)=e^{x^2-2x} יש נקודת קיצון אחת. מהו ערך הפונקציה בנקודה הזאת? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.37

Corrigé :

f′(x)=(2x−2)ex2−2x=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= (2x-2)e^{x^2-2x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

מוצאים את xx

f(1)=e−1≈0.37f(1)=e^{-1}\approx 0.37

מציבים ב-ff

e−1≈0.37e^{-1}\approx 0.37. מי שענה 11 כתב את שיעור ה-xx, ולא את ערך הפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe