Étude d'une fonction avec eˣ

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבגרות, השאלה על ee מתחילה כמעט תמיד בחקירה: נותנים פונקציה, ומבקשים לחקור אותה סעיף אחרי סעיף.

11

תחום הגדרה

22

נקודות חיתוך עם הצירים

33

נקודות קיצון וסוגן

44

תחומי עלייה וירידה

55

אסימפטוטות אופקיות

66

סקיצה של הגרף

הדוגמה: f(x) = (x² − 3)eˣ

תחום: exe^x מוגדר לכל xx, וגם הפולינום. לכן התחום הוא כל xx.

ציר ה-yy: f(0)=(0−3)⋅1=−3f(0)=(0-3)\cdot 1=-3. ציר ה-xx: (x2−3)ex=0(x^2-3)e^x=0. אבל ex≠0e^x\neq 0, ולכן x2−3=0x^2-3=0, כלומר x=±3x=\pm\sqrt{3}.

למה מותר «לבטל» את exe^x במשוואה (x2−3)ex=0(x^2-3)e^x=0?

Voir la réponse et le corrigé

כי ex>0e^x>0 לכל xx. מכפלה מתאפסת רק כשאחד הגורמים מתאפס, ו-exe^x אף פעם לא מתאפס.

נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

גוזרים את f(x)=(x2−3)exf(x)=(x^2-3)e^x ומאפסים.

כלל המכפלה, וגורם משותף.

f′(x)=2x⋅ex+(x2−3)exf'(x)=2x\cdot e^x+(x^2-3)e^x

כלל המכפלה

f′(x)=(x2+2x−3)ex=(x+3)(x−1)ex\begin{aligned}f'(x) &= (x^2+2x-3)e^x \\ &= (x+3)(x-1)e^x\end{aligned}

גורם משותף ופירוק

x=−3x=1\begin{aligned}x &= -3 \\ \quad x &= 1\end{aligned}

ex≠0e^x\neq 0

למה ב-x=1x=1 יש מינימום ולא מקסימום?

Voir la réponse et le corrigé

משמאל ל-11 הנגזרת שלילית (ff יורדת), ומימין חיובית (ff עולה). ירידה ואחריה עלייה: מינימום.

אסימפטוטה אופקית

כאשר x→−∞x\to-\infty, exe^x שואף ל-00 מהר מאוד, מהר יותר משגדל x2−3x^2-3. לכן f(x)→0f(x)\to 0: אסימפטוטה y=0y=0 משמאל.

כאשר x→+∞x\to+\infty, שני הגורמים גדלים, ו-f(x)→∞f(x)\to\infty. מימין אין אסימפטוטה אופקית.

כלל אצבע: exe^x מנצח כל פולינום. כאשר x→−∞x\to-\infty, (פולינום)⋅ex→0\cdot e^x\to 0.

−6−5−4−3−2−11−6−5−4−3−2−112xyfy = 0AB
הסקיצה: משמאל הגרף נצמד ל-y=0y=0, עולה עד המקסימום AA, יורד דרך (0,−3)(0,-3) עד המינימום B(1,−2e)B(1,-2e), ועולה שוב. הוא חותך את ציר ה-xx ב-±3\pm\sqrt{3}.

זוגיות

f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)

זוגית: הגרף סימטרי לציר ה-yy

f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)

אי-זוגית: הגרף סימטרי לראשית

האם g(x)=e−x2g(x)=e^{-x^2} זוגית?

מציבים −x-x במקום xx.

g(−x)=e−(−x)2=e−x2=g(x)\begin{aligned}g(-x) &= e^{-(-x)^2} \\ &= e^{-x^2} \\ &= g(x)\end{aligned}

(−x)2=x2(-x)^2=x^2

g(−x)=g(x)g(-x)=g(x)

כן: gg זוגית

האם f(x)=(x2−3)exf(x)=(x^2-3)e^x זוגית?

Voir la réponse et le corrigé

לא. f(1)=−2ef(1)=-2e, אבל f(−1)=−2ef(-1)=-\frac{2}{e}. מספיקה דוגמה אחת שבה f(−x)≠f(x)f(-x)\neq f(x).

הסבירו מדוע הפונקציה חיובית לכל x

(x2+1)⋅ex>0(x^2+1)\cdot e^x>0

מכפלה של שני גורמים חיוביים: חיובית

min⁡g>0⇒g>0\min g>0 \Rightarrow g>0

הערך הכי נמוך חיובי: כל הערכים חיוביים

הסבירו מדוע g(x)=ex−xg(x)=e^x-x חיובית לכל xx.

מוצאים את המינימום.

g′(x)=ex−1=0⇒x=0\begin{aligned}g'(x) &= e^x-1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

ex=1e^x=1

x<0: g′<0,x>0: g′>0x<0:\ g'<0 ,\quad x>0:\ g'>0

יורדת, ואחר כך עולה: מינימום

g(0)=1>0g(0)=1>0

המינימום חיובי, ולכן g(x)≥1>0g(x)\ge 1>0 לכל xx

שתי טעויות בחקירה.

(x2−3)ex=0⇒ex=0\begin{aligned}(x^2-3)e^x &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 0\end{aligned}
(x2−3)ex=0⇒x2−3=0\begin{aligned}(x^2-3)e^x &= 0 \Rightarrow x^2-3 \\ &= 0\end{aligned}

ex=0e^x=0 אין לו פתרון. רק הפולינום מתאפס.

exx: x∈R\frac{e^x}{x}:\ x\in\mathbb{R}
exx: x≠0\frac{e^x}{x}:\ x\neq 0

exe^x מוגדר בכל מקום, אבל מכנה לא יכול להיות אפס.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=exx−2f(x)=\frac{e^x}{x-2}?

  1. x≠0x\neq 0
  2. x>2x>2
  3. כל xx
  4. x≠2x\neq 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x≠2x\neq 2

Corrigé :

x−2≠0x-2\neq 0

המכנה לא אפס

x≠2x\neq 2

התחום

x≠2x\neq 2. exe^x מוגדר לכל xx; את התחום מגביל המכנה בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^x. השלימו את נקודות החיתוך עם הצירים.

עם ציר ה-xx: x=x= ____ ; עם ציר ה-yy: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : עם ציר ה-xx: x=x= 2 ; עם ציר ה-yy: y=y= -2

Corrigé :

(x−2)ex=0⇒x=2\begin{aligned}(x-2)e^x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

ex≠0e^x\neq 0

f(0)=(0−2)⋅1=−2\begin{aligned}f(0) &= (0-2)\cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

מציבים x=0x=0

ב-f(0)f(0), e0=1e^0=1 ולא 00. מי שכתב y=0y=0 טעה בזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^x. בעבור איזה xx יש ל-ff נקודת קיצון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=ex+(x−2)ex=(x−1)ex\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-2)e^x \\ &= (x-1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

x=1x=1

הסוגריים מתאפסים

x=1x=1. מי שענה 22 מצא את החיתוך עם ציר ה-xx, לא את הקיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^x. מהם תחומי העלייה והירידה?

  1. עולה כאשר x<1x<1, יורדת כאשר x>1x>1
  2. יורדת כאשר x<2x<2, עולה כאשר x>2x>2
  3. עולה לכל xx
  4. יורדת כאשר x<1x<1, עולה כאשר x>1x>1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D יורדת כאשר x<1x<1, עולה כאשר x>1x>1

Corrigé :

f′(x)=(x−1)exf'(x)=(x-1)e^x

הנגזרת

x=0: f′<0x=2: f′>0\begin{aligned}x &= 0:\ f'<0 \\ \quad x &= 2:\ f'>0\end{aligned}

בודקים סימן

הגבול בין התחומים הוא נקודת הקיצון x=1x=1, לא החיתוך x=2x=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לגרף של f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^x יש אסימפטוטה אופקית y=0y=0 כאשר x→−∞x\to-\infty.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x→−∞: ex→0x\to-\infty:\ e^x\to 0

exe^x שואף לאפס

(x−2)ex→0(x-2)e^x\to 0

exe^x מנצח את הפולינום

נכון. אף ש-x−2→−∞x-2\to-\infty, הגורם exe^x שואף ל-00 מהר יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הפונקציה f(x)=ex2f(x)=e^{x^2} היא:

  1. לא זוגית ולא אי-זוגית
  2. אי-זוגית
  3. זוגית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C זוגית

Corrigé :

f(−x)=e(−x)2=ex2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= e^{(-x)^2} \\ &= e^{x^2} \\ &= f(x)\end{aligned}

מציבים −x-x

זוגית. מי שחשב «ee אף פעם לא זוגית» בדק את exe^x, אבל כאן המעריך x2x^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הפונקציה f(x)=ex−e−xf(x)=e^x-e^{-x} אי-זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=e−x−exf(-x)=e^{-x}-e^{x}

מציבים −x-x

=−(ex−e−x)=−f(x)=-(e^x-e^{-x})=-f(x)

מוציאים מינוס

נכון. f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). גם f(0)=0f(0)=0 מתאים: גרף אי-זוגי עובר בראשית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ל-f(x)=xe−xf(x)=xe^{-x} יש מקסימום. מהו ערך ה-yy שלו? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.37

Corrigé :

f′(x)=(1−x)e−x=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= (1-x)e^{-x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

הקיצון

f(1)=e−1≈0.37f(1)=e^{-1}\approx 0.37

On remplace (מציבים)

1e≈0.37\frac{1}{e}\approx 0.37. מי שענה 11 כתב את ה-xx של הנקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

למה f(x)=(x2+1)exf(x)=(x^2+1)e^x חיובית לכל xx?

  1. כי ff עולה לכל xx
  2. כי f(0)=1>0f(0)=1>0
  3. כי x2+1>0x^2+1>0 וגם ex>0e^x>0, ומכפלה של חיוביים חיובית
  4. כי ל-ff אין נקודות קיצון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כי x2+1>0x^2+1>0 וגם ex>0e^x>0, ומכפלה של חיוביים חיובית

Corrigé :

x2+1≥1>0x^2+1\ge 1>0

הגורם הראשון

ex>0e^x>0

הגורם השני

ערך אחד, f(0)=1f(0)=1, לא מוכיח דבר על כל xx. צריך נימוק שעובד לכל xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהו הערך הקטן ביותר של g(x)=ex−xg(x)=e^x-x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

g′(x)=ex−1=0⇒x=0\begin{aligned}g'(x) &= e^x-1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

הקיצון

g(0)=1−0=1\begin{aligned}g(0) &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

מינימום

11. ולכן g(x)≥1>0g(x)\ge 1>0 לכל xx. מי שענה 00 כתב את ה-xx של המינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

התאימו כל פונקציה לנקודות הקיצון שלה.

  • xexxe^x
  • xe−xxe^{-x}
  • x2exx^2e^x
  • ex−xe^x-x
  • מינימום ב-x=−1x=-1
  • מינימום ב-x=0x=0
  • מקסימום ב-x=−2x=-2, מינימום ב-x=0x=0
  • מקסימום ב-x=1x=1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : xexxe^x — מינימום ב-x=−1x=-1 · xe−xxe^{-x} — מקסימום ב-x=1x=1 · x2exx^2e^x — מקסימום ב-x=−2x=-2, מינימום ב-x=0x=0 · ex−xe^x-x — מינימום ב-x=0x=0

Corrigé :

(x2ex)′=x(x+2)ex(x^2e^x)'=x(x+2)e^x

שני אפסים: −2-2 ו-00

ב-x2exx^2e^x שתי נקודות: הנגזרת חיובית, שלילית, חיובית. מי שראה רק x=0x=0 שכח את x+2x+2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

חוקרים את f(x)=(x+1)exf(x)=(x+1)e^x. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=(x+2)exf'(x)=(x+2)e^x
f′(x)=0⇒x=−2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}
f(−2)=−e−2f(-2)=-e^{-2}
x<−2: f′(x)>0x<-2:\ f'(x)>0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x<−2: f′(x)>0x<-2:\ f'(x)>0 → x<−2: f′(x)<0x<-2:\ f'(x)<0

Corrigé :

f′(−3)=(−1)e−3<0f'(-3)=(-1)e^{-3}<0

מציבים x=−3x=-3

x<−2: f↓,x>−2: f↑x<-2:\ f\downarrow ,\quad x>-2:\ f\uparrow

מינימום ב-x=−2x=-2

משמאל ל-−2-2 הגורם x+2x+2 שלילי, ולכן ff יורדת שם. בודקים במספר, לא מנחשים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe