Le graphe de f et celui de f′

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה שחוזרת בבגרות: קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת, ונמקו.

f′(x)>0f'(x)>0

הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx: ff עולה

f′(x)<0f'(x)<0

הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx: ff יורדת

f′(x0)=0f'(x_0)=0

הגרף של f′f' חוצה את ציר ה-xx: ל-ff יש קיצון

לפי הגרף התחתון, באיזה תחום ff יורדת?

Voir la réponse et le corrigé

כאשר x<0x<0: שם f′(x)=xexf'(x)=xe^x שלילית. שימו לב: ב-x<−1x<-1 הגרף של f′f' יורד, ובין −1-1 ל-00 הוא עולה, אבל בשניהם הוא מתחת לציר, ו-ff יורדת.

לבחור את הגרף של הנגזרת

למה גרף I לא יכול להיות הגרף של f′f'?

Voir la réponse et le corrigé

גרף I מתאפס ב-x=0x=0. אבל הנגזרת מתאפסת ב-x=1x=1, במקסימום של ff. גרף I הוא ff עצמה.

שלוש בדיקות מהירות: איפה f′f' מתאפסת, מה הסימן שלה בכל צד, וערך אחד קל, למשל f′(0)f'(0).

פעולות על פונקציות: f + k, −f, |f|

f(x)+kf(x)+k

הזזה ב-kk למעלה: האסימפטוטה y=0y=0 עוברת ל-y=ky=k; הקיצון באותו xx

−f(x)-f(x)

שיקוף בציר ה-xx: מקסימום נהיה מינימום

∣f(x)∣|f(x)|

החלקים מתחת לציר ה-xx עולים למעלה, כמו במראה

−3−2−11−11xyfy = 0I
−3−2−11−11xy|f|y = 0II
בגרף I: f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x, עם מינימום (0,−1)(0,-1). בגרף II: ∣f(x)∣|f(x)|. החלק שהיה מתחת לציר עלה למעלה: המינימום נהיה מקסימום (0,1)(0,1), ובנקודה (1,0)(1,0) נוצר מינימום חדש.

לגרף של ∣f(x)∣|f(x)| יש אסימפטוטה אופקית? איזו?

Voir la réponse et le corrigé

כן, y=0y=0, כמו ל-ff. הערך המוחלט של מספר קרוב ל-00 גם הוא קרוב ל-00.

גם הנגזרת משתנה: (f+k)′=f′(f+k)'=f', אותה נגזרת, כי kk קבוע. ו-(−f)′=−f′(-f)'=-f': הסימנים מתהפכים.

ל-ff ול-g(x)=f(x)+3g(x)=f(x)+3 יש אותן נקודות קיצון?

Voir la réponse et le corrigé

אותו xx, כי לשתיהן אותה נגזרת. אבל ה-yy של gg גבוה ב-33.

שתי טעויות בקריאת גרפים.

f′↓  ⇒  f↓f' \downarrow \;\Rightarrow\; f\downarrow
f′<0  ⇒  f↓f'<0 \;\Rightarrow\; f\downarrow

ff יורדת כאשר הנגזרת שלילית, לא כאשר היא יורדת.

min⁡∣f∣=∣min⁡f∣\min|f|=|\min f|
min⁡∣f∣=0\min|f|=0

ל-f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x: min⁡f=−1\min f=-1, אבל הערך הכי נמוך של ∣f∣|f| הוא 00, בנקודת החיתוך עם ציר ה-xx.

Exercices

Exercice 1

−3−2−11−112xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). באיזה תחום ff עולה?

  1. לכל xx
  2. x>1x>1
  3. x<1x<1
  4. x>0x>0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x>1x>1

Corrigé :

x>1: f′(x)>0x>1:\ f'(x)>0

שם הגרף מעל ציר ה-xx

x<1: f′(x)<0x<1:\ f'(x)<0

שם הוא מתחת לציר

x>1x>1. שואלים איפה הגרף של f′f' מעל הציר, לא איפה הוא עולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

−112341xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). כמה נקודות קיצון יש ל-ff?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(−1)=0 f′(1)=0\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \\ \ f'(1) &= 0\end{aligned}

הגרף חוצה את הציר פעמיים

+→−, −→++\to- ,\ -\to+

בשתיהן הסימן מתחלף

שתיים. סופרים חציות של ציר ה-xx, לא את נקודות הקיצון של הגרף של f′f'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

−112341xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של f′(x)f'(x). מה יש לפונקציה ff בנקודה שבה x=1x=1?

  1. חיתוך עם ציר ה-xx
  2. נקודת מקסימום
  3. אין שם נקודה מיוחדת
  4. נקודת מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D נקודת מינימום

Corrigé :

x<1: f′<0x<1:\ f'<0

משמאל ff יורדת

x>1: f′>0x>1:\ f'>0

מימין ff עולה

מינימום: ירידה ואחריה עלייה. f′(1)=0f'(1)=0 לא אומר ש-f(1)=0f(1)=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

אם הגרף של f′f' יורד בתחום מסוים, אז ff יורדת באותו תחום.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(x)=xex −3<x<−1\begin{aligned}f'(x) &= xe^x \\ \ -3<x<-1\end{aligned}

דוגמה: f′f' יורדת שם

f′(x)<0f'(x)<0

אבל מה שקובע הוא הסימן

לא נכון. את העלייה והירידה של ff קובע הסימן של f′f'. נגזרת חיובית שיורדת אומרת ש-ff עדיין עולה, רק לאט יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

−3−2−11−112xyy = 0I
−3−2−11−112xyy = 0II
−3−2−11−112xyy = 0III
−3−2−11−112xyy = 0IV

נתונה f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^x. קבעו איזה מן הגרפים I-IV מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

  1. III
  2. IV
  3. I
  4. II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A III

Corrigé :

f′(x)=(x−1)exf'(x)=(x-1)e^x

גוזרים

f′(1)=0 f′(0)=−1\begin{aligned}f'(1) &= 0 \\ \ f'(0) &= -1\end{aligned}

מתאפסת ב-11, ושלילית ב-00

גרף III. גרף I הוא ff עצמה (מתאפס ב-22). גרף IV מתאפס ב-11, אבל עם סימנים הפוכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x, ו-g(x)=f(x)+3g(x)=f(x)+3. מהי האסימפטוטה האופקית של gg? כתבו את yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x→−∞: f(x)→0x\to-\infty:\ f(x)\to 0

האסימפטוטה של ff

g(x)→0+3=3g(x)\to 0+3=3

הזזה למעלה

y=3y=3. ההזזה מזיזה גם את האסימפטוטה. מי שענה y=0y=0 שכח אותה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ל-f(x)=xe−xf(x)=xe^{-x} יש מקסימום (1,1e)\left(1,\frac{1}{e}\right). מה יש ל-g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)?

  1. מינימום (−1,1e)\left(-1,\frac{1}{e}\right)
  2. מקסימום (1,−1e)\left(1,-\frac{1}{e}\right)
  3. מינימום (1,−1e)\left(1,-\frac{1}{e}\right)
  4. מקסימום (−1,−1e)\left(-1,-\frac{1}{e}\right)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מינימום (1,−1e)\left(1,-\frac{1}{e}\right)

Corrigé :

−f: y→−y-f:\ y\to -y

שיקוף בציר ה-xx

max⁡→min⁡\max\to\min

ההר נהיה עמק

ה-xx לא משתנה, רק ה-yy מחליף סימן, והמקסימום נהיה מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ל-f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x יש מינימום (0,−1)(0,-1) ואסימפטוטה y=0y=0 משמאל, והיא חותכת את ציר ה-xx ב-x=1x=1. כמה פתרונות יש למשוואה ∣f(x)∣=0.5|f(x)|=0.5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(x)=0.5f(x)=0.5

מימין ל-11 ff עולה מ-00: פתרון אחד

f(x)=−0.5f(x)=-0.5

בין y=0y=0 למינימום −1-1, ff יורדת ועולה: שני פתרונות

1+2=31+2=3

סך הכל

שלושה. ∣f∣=0.5|f|=0.5 פירושו f=0.5f=0.5 או f=−0.5f=-0.5. מי שפתר רק f=0.5f=0.5 מצא פתרון אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

אם g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k, אז g′(x)=f′(x)+kg'(x)=f'(x)+k.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(f+k)′=f′+0(f+k)'=f'+0

הנגזרת של קבוע היא 00

לא נכון. g′=f′g'=f': ההזזה לא משנה את השיפוע בשום נקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x, עם אסימפטוטה y=0y=0 משמאל. התאימו כל פונקציה לאסימפטוטה האופקית שלה.

  • f(x)+2f(x)+2
  • f(x)−1f(x)-1
  • −f(x)+4-f(x)+4
  • ∣f(x)∣|f(x)|
  • y=−1y=-1
  • y=0y=0
  • y=2y=2
  • y=4y=4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(x)+2f(x)+2 — y=2y=2 · f(x)−1f(x)-1 — y=−1y=-1 · −f(x)+4-f(x)+4 — y=4y=4 · ∣f(x)∣|f(x)| — y=0y=0

Corrigé :

−f+4→−0+4=4-f+4\to -0+4=4

משקפים, ואחר כך מזיזים

בשיקוף ובערך מוחלט האסימפטוטה y=0y=0 לא זזה. רק ה-+k+k מזיז אותה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ל-f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x יש מינימום (0,−1)(0,-1). השלימו את נקודת הקיצון של g(x)=−f(x)g(x)=-f(x).

x=x= ____ ; y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 0 ; y=y= 1

Corrigé :

(0,−1)→(0,1)(0,-1)\to(0,1)

שיקוף בציר ה-xx

min⁡→max⁡\min\to\max

הסוג מתחלף

הנקודה (0,1)(0,1), והיא מקסימום. מי שכתב (0,−1)(0,-1) שכח להחליף את סימן ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

−3−2−112−2−112xyy = 0I
−3−2−112−2−112xyy = 0II
−3−2−112−2−112xyy = 0III
−3−2−112−2−112xyy = 0IV

נתונה f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^x. איזה מן הגרפים I-IV מתאר את ∣f(x)∣|f(x)|?

  1. II
  2. IV
  3. I
  4. III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A II

Corrigé :

∣f(x)∣≥0|f(x)|\ge 0

הגרף כולו מעל הציר או עליו

∣f(2)∣=0 ∣f(0)∣=2\begin{aligned}|f(2)| &= 0 \\ \ |f(0)| &= 2\end{aligned}

נוגע בציר ב-x=2x=2, ועובר ב-(0,2)(0,2)

גרף II. גרף IV גם הוא מעל הציר, אבל נוגע בו ב-x=1x=1 ולא ב-x=2x=2. גרף III הוא −f-f: הוא יורד מתחת לציר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe