Une fonction avec un paramètre

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשאלה על ee יש לעתים פרמטר: אות כמו aa בתוך הפונקציה. סעיף א נותן נתון, ומהנתון מוצאים את aa.

f′(x0)=mf'(x_0)=m

נתון שיפוע המשיק ב-x0x_0

f′(x0)=0f'(x_0)=0

נתונה נקודת קיצון ב-x0x_0

y=ky=k

נתונה אסימפטוטה

נתון ש«הגרף עובר בנקודה (1,5)(1,5)». איזו משוואה כותבים?

Voir la réponse et le corrigé

f(1)=5f(1)=5: מציבים ב-ff עצמה, לא בנגזרת.

נתון: שיפוע המשיק

נתונה f(x)=eax+xf(x)=e^{ax}+x. שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 44. מצאו את aa.

גוזרים, מציבים, משווים.

f′(x)=a eax+1f'(x)=a\,e^{ax}+1

כלל השרשרת: aa הוא מספר

f′(0)=a+1f'(0)=a+1

e0=1e^0=1

a+1=4⇒a=3\begin{aligned}a+1 &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

משווים לנתון

ואם השיפוע ב-x=0x=0 היה 11?

Voir la réponse et le corrigé

אז a=0a=0, ו-f(x)=e0+x=1+xf(x)=e^0+x=1+x: סתם ישר. לכן הנתון בבגרות תמיד נותן פונקציה «אמיתית».

נתון: נקודת קיצון

ל-f(x)=(x−a)exf(x)=(x-a)e^x יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. מצאו את aa ואת סוג הקיצון.

בקיצון הנגזרת מתאפסת.

f′(x)=ex+(x−a)ex=(x−a+1)ex\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-a)e^x \\ &= (x-a+1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

f′(2)=(3−a)e2=0⇒a=3\begin{aligned}f'(2) &= (3-a)e^2 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

e2≠0e^2\neq 0

f′(x)=(x−2)exf'(x)=(x-2)e^x

מציבים a=3a=3

x<2: f′<0,x>2: f′>0x<2:\ f'<0 ,\quad x>2:\ f'>0

מינימום (2,−e2)(2,-e^2)

מה ערך הפונקציה f(x)=(x−3)exf(x)=(x-3)e^x בנקודת הקיצון? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

f(2)=−e2≈−7.39f(2)=-e^2\approx -7.39.

אחרי שמצאתם את aa, הציבו אותו וכתבו את ff בלי פרמטר. כל הסעיפים הבאים עובדים עם הפונקציה הזאת.

נתון: אסימפטוטה אופקית

נתונה f(x)=a ex+2ex+1f(x)=\frac{a\,e^x+2}{e^x+1}. כאשר x→−∞x\to-\infty, ex→0e^x\to 0, ולכן f(x)→21=2f(x)\to\frac{2}{1}=2.

כאשר x→+∞x\to+\infty מחלקים מונה ומכנה ב-exe^x: f(x)=a+2e−x1+e−x→af(x)=\frac{a+2e^{-x}}{1+e^{-x}}\to a.

אם נתון שהאסימפטוטה בימין היא y=−1y=-1, מה aa?

Voir la réponse et le corrigé

a=−1a=-1: בימין האסימפטוטה היא y=ay=a.

נתון: אסימפטוטה אנכית

ל-f(x)=exex−af(x)=\frac{e^x}{e^x-a} יש אסימפטוטה אנכית x=ln⁡4x=\ln 4. מצאו את aa.

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס.

eln⁡4−a=0e^{\ln 4}-a=0

מציבים במכנה

4−a=0⇒a=4\begin{aligned}4-a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

eln⁡4=4e^{\ln 4}=4

שתי טעויות עם פרמטר.

f′(2)=0⇒f(2)=0\begin{aligned}f'(2) &= 0 \Rightarrow f(2) \\ &= 0\end{aligned}
f′(2)=0f'(2)=0

קיצון אומר שהנגזרת מתאפסת, לא הפונקציה.

((x−a)ex)′=ex\big((x-a)e^x\big)'=e^x
((x−a)ex)′=(x−a+1)ex\big((x-a)e^x\big)'=(x-a+1)e^x

aa הוא מספר, אבל (x−a)ex(x-a)e^x היא עדיין מכפלה: כלל המכפלה לא נעלם.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=eax−xf(x)=e^{ax}-x. שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 55. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f′(x)=a eax−1f'(x)=a\,e^{ax}-1

כלל השרשרת

f′(0)=a−1=5⇒a=6\begin{aligned}f'(0) &= a-1 \\ &= 5 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

משווים

a=6a=6. מי שכתב a=5a=5 שכח שהנגזרת של −x-x היא −1-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ל-f(x)=(x+a)exf(x)=(x+a)e^x יש נקודת קיצון ב-x=−4x=-4. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=(x+a+1)exf'(x)=(x+a+1)e^x

כלל המכפלה

−4+a+1=0⇒a=3\begin{aligned}-4+a+1 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים x=−4x=-4

a=3a=3. מי שכתב a=4a=4 איפס את x+ax+a ושכח את ה-+1+1 מהגזירה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ל-f(x)=(x+3)exf(x)=(x+3)e^x יש נקודת קיצון ב-x=−4x=-4. מה סוגה?

  1. אין שם קיצון
  2. מקסימום
  3. מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מינימום

Corrigé :

f′(x)=(x+4)exf'(x)=(x+4)e^x

הנגזרת

f′(−5)<0, f′(−3)>0f'(-5)<0 ,\ f'(-3)>0

יורדת ואחר כך עולה

מינימום. בודקים סימן משני הצדדים; לא מנחשים לפי הסימן של aa.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הגרף של f(x)=a e2x+1f(x)=a\,e^{2x}+1 עובר בנקודה (0,4)(0,4). מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(0)=a⋅1+1f(0)=a\cdot 1+1

e0=1e^0=1

a+1=4⇒a=3\begin{aligned}a+1 &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

משווים

a=3a=3. נתון על נקודה מציבים ב-ff, לא ב-f′f'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ל-f(x)=a ex+5ex+1f(x)=\frac{a\,e^x+5}{e^x+1} יש אסימפטוטה y=−2y=-2 כאשר x→+∞x\to+\infty. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f(x)=a+5e−x1+e−xf(x)=\frac{a+5e^{-x}}{1+e^{-x}}

מחלקים ב-exe^x

x→∞: f→a=−2x\to\infty:\ f\to a=-2

e−x→0e^{-x}\to 0

a=−2a=-2. מי שענה 55 חישב את האסימפטוטה בשמאל, ושם f→5f\to 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ל-f(x)=3ex−af(x)=\frac{3}{e^x-a} יש אסימפטוטה אנכית x=ln⁡5x=\ln 5. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

eln⁡5−a=0e^{\ln 5}-a=0

המכנה מתאפס

a=5a=5

eln⁡5=5e^{\ln 5}=5

a=5a=5. מי שענה ln⁡5\ln 5 שכח ש-eln⁡5=5e^{\ln 5}=5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בעבור a=ea=e, לפונקציה f(x)=ex−axf(x)=e^x-ax יש נקודת קיצון ב-x=1x=1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=ex−ef'(x)=e^x-e

הנגזרת

f′(1)=e−e=0\begin{aligned}f'(1) &= e-e \\ &= 0\end{aligned}

מתאפסת

נכון. ex=ee^x=e נותן x=1x=1. כאן aa הוא המספר ee, והנגזרת של exex היא ee.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ל-f(x)=ex2+axf(x)=e^{x^2+ax} יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa, ואחר כך חשבו את f′(0)f'(0).

a=a= ____ ; f′(0)=f'(0)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= -2 ; f′(0)=f'(0)= -2

Corrigé :

f′(x)=(2x+a)ex2+axf'(x)=(2x+a)e^{x^2+ax}

כלל השרשרת

2+a=0⇒a=−2\begin{aligned}2+a &= 0 \Rightarrow a \\ &= -2\end{aligned}

f′(1)=0f'(1)=0

f′(0)=(0−2)e0=−2\begin{aligned}f'(0) &= (0-2)e^0 \\ &= -2\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הנגזרת של המעריך x2+axx^2+ax היא 2x+a2x+a. מי שגזר x2+axx^2+ax ל-2x2x איבד את aa.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=(ax−1)exf(x)=(ax-1)e^x. שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 22. מהו aa?

  1. a=1a=1
  2. a=2a=2
  3. a=3a=3
  4. a=−1a=-1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C a=3a=3

Corrigé :

f′(x)=a ex+(ax−1)exf'(x)=a\,e^x+(ax-1)e^x

כלל המכפלה

f′(0)=a−1=2⇒a=3\begin{aligned}f'(0) &= a-1 \\ &= 2 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

a=3a=3. מי שבחר 22 גזר רק את ax−1ax-1 ושכח את (ax−1)ex(ax-1)e^x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ל-f(x)=(x−a)exf(x)=(x-a)e^x יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=ex+(x−a)exf'(x)=e^x+(x-a)e^x
f′(x)=(x−a+1)exf'(x)=(x-a+1)e^x
f′(1)=(1−a)e=0\begin{aligned}f'(1) &= (1-a)e \\ &= 0\end{aligned}
a=1a=1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(1)=(1−a)e=0f'(1)=(1-a)e=0 → f′(1)=(2−a)e=0f'(1)=(2-a)e=0

Corrigé :

1−a+1=2−a1-a+1=2-a

מציבים x=1x=1 בסוגריים

a=2a=2

התשובה הנכונה

בהצבה נשמט ה-+1+1. לכן גם a=1a=1 שגוי: התשובה a=2a=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

התאימו כל נתון למשוואה שכותבים בעקבותיו.

  • שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 33
  • ל-ff יש קיצון ב-x=2x=2
  • הגרף עובר בנקודה (1,5)(1,5)
  • y=4y=4 אסימפטוטה כאשר x→∞x\to\infty
  • lim⁡x→∞f(x)=4\lim_{x\to\infty} f(x)=4
  • f′(0)=3f'(0)=3
  • f′(2)=0f'(2)=0
  • f(1)=5f(1)=5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 33 — f′(0)=3f'(0)=3 · ל-ff יש קיצון ב-x=2x=2 — f′(2)=0f'(2)=0 · הגרף עובר בנקודה (1,5)(1,5) — f(1)=5f(1)=5 · y=4y=4 אסימפטוטה כאשר x→∞x\to\infty — lim⁡x→∞f(x)=4\lim_{x\to\infty} f(x)=4

Corrigé :

f(x0) , f′(x0)f(x_0)\ ,\ f'(x_0)

נקודה ואסימפטוטה: ff. שיפוע וקיצון: f′f'

השאלה הראשונה בכל סעיף עם פרמטר: הנתון מדבר על הגובה (מציבים ב-ff) או על השיפוע (מציבים ב-f′f')?

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe