On résout ensemble · Calcul différentiel de eˣ · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, וכל אחת נפתרת יחד, שלב אחרי שלב: חקירה מלאה, הגרף של הנגזרת, פרמטר מתוך שיפוע, והסבר למה פונקציה חיובית. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלה עם $e$ , הצעד הראשון אחרי הגזירה הוא להוציא את החזקה גורם משותף. מה שנשאר בסוגריים קובע את הסימן.

1 — חקירה מלאה

Activité interactive

נתונה הפונקציה $f(x)=(2-x)e^x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ד. מצאו את האסימפטוטה האופקית. ה. סרטטו סקיצה.

f(x)=(2-x)e^x

לחצו «להתחיל». כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו.

א. תחום

x\in\mathbb{R}

אין מכנה ואין לוגריתם: כל $x$ .

א. חיתוכים

\begin{aligned}f(0) &= 2 \\ \quad (2-x)e^x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$(0,2)$ ו- $(2,0)$ . $e^x$ לא מתאפס.

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= -e^x+(2-x)e^x \\ &= (1-x)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה וגורם משותף.

ב. קיצון

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad f(1) &= e\end{aligned}

משמאל $f'>0$ , מימין $f'<0$ : מקסימום $(1,e)$ .

ג. עלייה וירידה

x<1:\ \nearrow ,\quad x>1:\ \searrow

עולה עד המקסימום, ויורדת אחריו.

ד. אסימפטוטה

x\to-\infty:\ f(x)\to 0

$e^x$ מנצח את $2-x$ : האסימפטוטה $y=0$ , משמאל.

ה. סקיצה

0\nearrow e\searrow -\infty

מעל הציר ליד $y=0$ , עד $(1,e)$ , דרך $(2,0)$ ולמטה.

בדקו את הסקיצה מול החיתוכים: הגרף עובר ב- $(0,2)$ , מתחת למקסימום $e\approx 2.72$ .

Faire l'activité sur elev

האם הגרף של $f(x)=(2-x)e^x$ מתקרב לאסימפטוטה $y=0$ מלמעלה או מלמטה?

Voir la réponse et le corrigé

מלמעלה. כאשר $x<2$ , שני הגורמים $2-x$ ו- $e^x$ חיוביים, ולכן $f(x)>0$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ושאלה 5 ברשימה למטה.

2 — הגרף של הנגזרת

Activité interactive

איזה גרף מתאר את הנגזרת?

נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)e^{-x}$ . קבעו איזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , ונמקו.

מהי $f'(x)$ ?

$-xe^{-x}$

Voir la réponse et le corrigé

$e^{-x}-(x+1)e^{-x}=(1-x-1)e^{-x}=-xe^{-x}$ .

$e^{-x}$

Voir la réponse et le corrigé

גזרתם רק את $x+1$ . זו מכפלה.

$(x+2)e^{-x}$

Voir la réponse et le corrigé

הנגזרת של $e^{-x}$ היא $-e^{-x}$ , לא $e^{-x}$ .

f'(x)=-xe^{-x}

כלל המכפלה, וכלל השרשרת בתוכו.

איפה $f'$ מתאפסת, ומה הסימן שלה?

ב- $x=0$ ; חיובית משמאל, שלילית מימין

Voir la réponse et le corrigé

הסימן של $-x$ : חיובי כאשר $x<0$ .

ב- $x=-1$ ; שלילית משמאל, חיובית מימין

Voir la réponse et le corrigé

$x=-1$ הוא החיתוך של $f$ עם ציר ה- $x$ , לא של $f'$ .

x<0:\ f'>0 ,\quad x>0:\ f'<0

ל- $f$ יש מקסימום $(0,1)$ .

איזה תיאור מתאים לגרף של $f'$ ?

עובר בראשית, מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין, ושואף ל- $0$ כאשר $x\to\infty$

Voir la réponse et le corrigé

$f'(0)=0$ , והסימנים מהשלב הקודם.

עובר ב- $(0,1)$ ויורד

Voir la réponse et le corrigé

$(0,1)$ היא נקודה על $f$ , לא על $f'$ .

מתחת לציר לכל $x$

Voir la réponse et le corrigé

אז $f$ הייתה יורדת בכל מקום, ולא היה לה מקסימום.

f'(0)=0

הנימוק: הנקודה שבה $f'$ חוצה את הציר היא הקיצון של $f$ .

Voir la réponse et le corrigé

הגרף של $f'$ עובר בראשית: מעל הציר כאשר $x<0$ ( $f$ עולה), ומתחת לציר כאשר $x>0$ ( $f$ יורדת).

Faire l'activité sur elev

ל- $f(x)=(x+1)e^{-x}$ יש מקסימום ב- $(0,1)$ . מה רואים באותו $x$ בגרף של $f'$ ?

Voir la réponse et le corrigé

נקודה על ציר ה- $x$ : $f'(0)=0$ . גובה $1$ שייך ל- $f$ , לא לנגזרת.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטר מתוך שיפוע

Activité interactive

נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^{-x}$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $3$ . א. מצאו את $a$ . הציבו $a=-2$ בסעיפים הבאים. ב. מצאו את נקודת הקיצון של $f$ וקבעו את סוגה. ג. כתבו את משוואת המשיק ב- $x=0$ .

f(x)=(x+a)e^{-x}

לחצו «להתחיל». $a$ הוא מספר: גוזרים כרגיל.

א. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x}-(x+a)e^{-x} \\ &= (1-x-a)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה.

א. הנתון

\begin{aligned}f'(0) &= 1-a \\ &= 3 \Rightarrow a \\ &= -2\end{aligned}

$e^0=1$ .

ב. מציבים

\begin{aligned}f(x) &= (x-2)e^{-x} \\ \quad f'(x) &= (3-x)e^{-x}\end{aligned}

הפונקציה בלי פרמטר.

ב. קיצון

\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad f(3) &= e^{-3}\end{aligned}

משמאל $f'>0$ , מימין $f'<0$ : מקסימום.

ג. נקודה

f(0)=-2

נקודת ההשקה $(0,-2)$ .

ג. המשיק

\begin{aligned}y+2 &= 3x \Rightarrow y \\ &= 3x-2\end{aligned}

השיפוע $3$ נתון כבר בשאלה.

בסעיף ג לא גוזרים שוב: השיפוע ב- $x=0$ הוא הנתון של סעיף א.

Faire l'activité sur elev

האם ל- $f(x)=(x-2)e^{-x}$ יש אסימפטוטה אופקית? באיזה צד?

Voir la réponse et le corrigé

כן, $y=0$ , מימין: כאשר $x\to+\infty$ , $e^{-x}\to 0$ ומנצח את $x-2$ . משמאל $f\to-\infty$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — למה הפונקציה חיובית לכל x

Activité interactive

פונקציה חיובית ופונקציה שנוגעת בציר

נתונה $g(x)=e^{2x}-2e^x+2$ . א. הסבירו מדוע $g$ חיובית לכל $x$ . ב. כמה נקודות משותפות יש לגרף של $h(x)=g(x)-1$ ולציר ה- $x$ ?

איך מתחילים את סעיף א?

מוצאים את הערך הכי נמוך של $g$

Voir la réponse et le corrigé

אם המינימום חיובי, כל הערכים חיוביים.

מציבים $x=0$ ומקבלים $1>0$

Voir la réponse et le corrigé

ערך אחד לא מוכיח דבר על כל $x$ .

אומרים ש- $e^{2x}>0$ , ולכן הכול חיובי

Voir la réponse et le corrigé

יש גם $-2e^x$ , שהוא שלילי.

\begin{aligned}g'(x) &= 2e^{2x}-2e^x \\ &= 2e^x(e^x-1)\end{aligned}

גוזרים ומוציאים גורם משותף.

איפה $g'=0$ , ומה יש שם?

$x=0$ , מינימום $g(0)=1$

Voir la réponse et le corrigé

$e^x=1$ ; משמאל $g'<0$ , מימין $g'>0$ .

$x=1$ , מינימום $g(1)=e^2-2e+2$

Voir la réponse et le corrigé

$e^x-1=0$ נותן $e^x=1$ , כלומר $x=0$ .

\begin{aligned}\min g &= g(0) \\ &= 1>0\end{aligned}

א. המינימום חיובי, ולכן $g(x)\ge 1>0$ לכל $x$ .

כמה נקודות משותפות יש ל- $h(x)=g(x)-1$ ולציר ה- $x$ ?

אחת: $(0,0)$

Voir la réponse et le corrigé

המינימום של $h$ הוא $1-1=0$ : הגרף נוגע בציר בנקודה אחת.

אף אחת

Voir la réponse et le corrigé

$h(0)=0$ : יש נקודה על הציר.

שתיים

Voir la réponse et le corrigé

בכל מקום אחר $g(x)>1$ , ולכן $h(x)>0$ .

\begin{aligned}h(x) &= g(x)-1\ge 0 \\ \quad h(0) &= 0\end{aligned}

ב. נקודה אחת.

Voir la réponse et le corrigé

א. $\min g=g(0)=1>0$ . ב. נקודה אחת, $(0,0)$ : ההזזה ב- $-1$ מורידה את המינימום בדיוק לציר.

Faire l'activité sur elev

מהי האסימפטוטה האופקית של $g(x)=e^{2x}-2e^x+2$ כאשר $x\to-\infty$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$y=2$ : גם $e^{2x}$ וגם $e^x$ שואפים ל- $0$ , ונשאר $2$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

שאלה 1. נתונה $f(x)=(x-3)e^x$ . בעבור איזה $x$ יש ל- $f$ מינימום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-3)e^x \\ &= (x-2)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

x<2:\ f'<0 ,\ x>2:\ f'>0

יורדת ואחר כך עולה

$x=2$ . מי שענה $3$ מצא את החיתוך עם ציר ה- $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

שאלה 2. נתונה $f(x)=(x+2)e^{-x}$ . איזה תיאור מתאים לגרף של $f'(x)$ ?

חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-1$ : מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין
חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-2$ : מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין
מעל ציר ה- $x$ לכל $x$
חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-1$ : מתחת לציר משמאל, מעל הציר מימין

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-1$ : מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x}-(x+2)e^{-x} \\ &= (-x-1)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}-x-1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

הסימן של $-x-1$

$x=-1$ , עם מעבר מ- $+$ ל- $-$ : ל- $f$ מקסימום שם. $x=-2$ הוא החיתוך של $f$ עצמה עם הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

שאלה 3. נתונה $f(x)=(x+a)e^{-x}$ . שיפוע המשיק בנקודה שבה $x=0$ הוא $4$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f'(x)=(1-x-a)e^{-x}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(0) &= 1-a \\ &= 4 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

$a=-3$ . מי שכתב $a=3$ שכח את המינוס שמגיע מהנגזרת של $e^{-x}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

שאלה 4. נתונה $g(x)=e^{2x}-4e^x+5$ . מהו הערך הקטן ביותר של $g$ ? (מכאן ש- $g$ חיובית לכל $x$ .)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

\begin{aligned}g'(x) &= 2e^x(e^x-2) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

הקיצון

\begin{aligned}g(\ln 2) &= 4-8+5 \\ &= 1\end{aligned}

$e^{2\ln 2}=4$

$1$ , ולכן $g(x)\ge 1>0$ . מי שהציב $x=2$ במקום $\ln 2$ קיבל מספר אחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שאלה 5. נתונה $f(x)=(x-3)e^x$ . השלימו את נקודות החיתוך עם הצירים.

עם ציר ה- $x$ : $x=$ ____ ; עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : עם ציר ה- $x$ : $x=$ 3 ; עם ציר ה- $y$ : $y=$ -3

Corrigé :

\begin{aligned}(x-3)e^x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

$e^x\neq 0$

\begin{aligned}f(0) &= -3\cdot 1 \\ &= -3\end{aligned}

מציבים $0$

ב- $f(0)$ , $e^0=1$ . מי שכתב $y=0$ חשב ש- $e^0=0$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — חקירה מלאה

2 — הגרף של הנגזרת

3 — פרמטר מתוך שיפוע

4 — למה הפונקציה חיובית לכל x

Exercices

La suite se pratique sur elev