Entraînement · Calcul différentiel de eˣ · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות מכל הפרק, בסדר מעורב: גזירה, משיק, חקירה, גרף של נגזרת ופרמטר.

Exercices

Exercice 1

מהי הנגזרת של $e^{3x+1}$ ?

$(3x+1)e^{3x}$
$3e^{3x+1}$
$e^{3x+1}$
$3e^{3x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $3e^{3x+1}$

Corrigé :

(3x+1)'=3

נגזרת המעריך

$3e^{3x+1}$ . המעריך נשאר $3x+1$ בשלמותו; רק בחוץ מופיע $3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x)=(x+5)e^x$ . בעבור איזה $x$ יש ל- $f$ מינימום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

f'(x)=(x+6)e^x

כלל המכפלה

x<-6:\ f'<0 ,\ x>-6:\ f'>0

מינימום

$x=-6$ . מי שענה $-5$ מצא את החיתוך עם ציר ה- $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

למשוואה $e^x=-2$ אין פתרון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

e^x>0

לכל $x$

נכון. $e^x$ תמיד חיובי. $\ln(-2)$ לא מוגדר, וזה אותו נימוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו שיפוע המשיק לגרף של $f(x)=e^{x^2}$ בנקודה שבה $x=1$ ? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.44

Corrigé :

f'(x)=2xe^{x^2}

כלל השרשרת

f'(1)=2e\approx 5.44

On remplace (מציבים)

$2e\approx 5.44$ . מי שכתב $e\approx 2.72$ שכח את $2x$ שמגיע מהמעריך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ל- $f(x)=xe^{-x}$ יש מקסימום. השלימו את שיעוריו. עגלו לשתי ספרות.

$x=$ ____ ; $y\approx$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x=$ 1 ; $y\approx$ 0.37

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= (1-x)e^{-x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

הקיצון

f(1)=e^{-1}\approx 0.37

La valeur

$(1,0.37)$ . ה- $y$ הוא $f(1)$ , לא $f'(1)=0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . באיזה תחום $f$ יורדת?

$x<2$
$x>1$
$x<0$
$x>2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x>2$

Corrigé :

x>2:\ f'(x)<0

הגרף מתחת לציר

$x>2$ . הגרף של $f'$ יורד כבר לפני $x=2$ , אבל שם הוא עדיין מעל הציר, ו- $f$ עולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ל- $f(x)=e^{ax}+3x$ יש נקודת קיצון ב- $x=0$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f'(x)=a\,e^{ax}+3

כלל השרשרת

\begin{aligned}f'(0) &= a+3 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

בקיצון $f'=0$

$a=-3$ . מי שהציב ב- $f$ ופתר $f(0)=0$ קיבל $1=0$ , וחשב שאין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מיינו: לאיזו פונקציה יש אסימפטוטה $y=0$ כאשר $x\to-\infty$ ?

יש
אין

$(x-1)e^x$
$e^{-x}+x$
$e^{-x}$
$e^x+1$
$x^2e^x$
$xe^{2x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(x-1)e^x$ — יש · $x^2e^x$ — יש · $e^{-x}$ — אין · $e^x+1$ — אין · $xe^{2x}$ — יש · $e^{-x}+x$ — אין

Corrigé :

x\to-\infty:\ (\ldots)\cdot e^x\to 0

$e^x$ מנצח כל פולינום

x\to-\infty:\ e^{-x}\to\infty

כאן הוא גדל

$e^x+1\to 1$ : אסימפטוטה, אבל $y=1$ ולא $y=0$ . ו- $e^{-x}$ שואף ל- $0$ רק מימין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מחפשים את המשיק לגרף של $f(x)=e^{2x}+x$ בנקודה שבה $x=0$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(0)=1

f'(x)=e^{2x}+1

f'(0)=2

y=2x+1

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $f'(x)=e^{2x}+1$ → $f'(x)=2e^{2x}+1$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(0) &= 2+1 \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע הנכון

y=3x+1

המשיק

הנגזרת של $e^{2x}$ היא $2e^{2x}$ . מכאן השיפוע $3$ , והמשיק $y=3x+1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הסבירו מדוע $g(x)=e^x-x+2$ חיובית לכל $x$ : מצאו את הערך הקטן ביותר שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}g'(x) &= e^x-1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

הקיצון

\begin{aligned}g(0) &= 1-0+2 \\ &= 3\end{aligned}

מינימום

$3$ , ולכן $g(x)\ge 3>0$ לכל $x$ . מי שענה $0$ כתב את ה- $x$ ולא את הערך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev