Série 3 — niveau bagrout · Calcul différentiel de eˣ · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שתי שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פונקציה עם פרמטר שמוצאים מתוך קיצון, ופונקציה עם פרמטר שמוצאים מתוך אסימפטוטה.

אחרי סעיף א, כתבו את $f$ עם הערך של $a$ . סעיף מאוחר משתמש בתשובה של סעיף מוקדם: אם נתקעתם, חזרו לטבלת הסימנים.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . א. מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 2xe^{-x}-(x^2-a)e^{-x} \\ &= (2x-x^2+a)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(3) &= (6-9+a)e^{-3} \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

$a=3$ . מי שכתב $a=9$ איפס את $f$ במקום את $f'$ : $9-a=0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ב. הציבו $a=3$ . מצאו את נקודות החיתוך של $f$ עם הצירים. עגלו לשתי ספרות.

עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____ ; עם ציר ה- $x$ , בצד החיובי: $x\approx$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : עם ציר ה- $y$ : $y=$ -3 ; עם ציר ה- $x$ , בצד החיובי: $x\approx$ 1.73

Corrigé :

\begin{aligned}f(0) &= (0-3)\cdot 1 \\ &= -3\end{aligned}

$x=0$

\begin{aligned}x^2-3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{3}\approx\pm 1.73\end{aligned}

$e^{-x}\neq 0$

יש שתי נקודות על ציר ה- $x$ : $\pm\sqrt{3}$ . ב- $f(0)$ , $e^0=1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ג. הציבו $a=3$ . מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

מינימום $(1,-2e)$ , מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$
מינימום $(-1,-2e)$ , מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$
מקסימום $(-1,-2e)$ , מינימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$
מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מינימום $(-1,-2e)$ , מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= (-x^2+2x+3)e^{-x} \\ &= -(x-3)(x+1)e^{-x}\end{aligned}

מציבים $a=3$

-\ ,\ +\ ,\ -

הסימנים בשלושת התחומים

\begin{aligned}f(-1) &= -2e \\ \ f(3) &= 6e^{-3}\end{aligned}

הערכים

שתי נקודות. מי שבחר «מקסימום בלבד» שכח את האפס השני של $-x^2+2x+3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ד. הציבו $a=3$ . באיזה תחום $f$ עולה?

$x>3$
$-1<x<3$
$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$
$x<-1$ או $x>3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $-1<x<3$

Corrigé :

-1<x<3:\ f'>0

בין שני הקיצונים

$-1<x<3$ : מהמינימום עד המקסימום. $\pm\sqrt{3}$ הם חיתוכים עם הציר, לא גבולות של תחום עלייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ה. הציבו $a=3$ . קבעו: לגרף של $f$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$ כאשר $x\to+\infty$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x\to+\infty:\ e^{-x}\to 0

$e^{-x}$ מנצח את $x^2-3$

x\to-\infty:\ f\to\infty

משמאל אין אסימפטוטה

נכון, ורק מימין. משמאל $e^{-x}$ גדל מאוד, ו- $f\to\infty$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ו. הציבו $a=3$ . היעזרו בסעיפים הקודמים: כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=0.2$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x<-1:\ \infty\searrow -2e

פתרון אחד

-1<x<3:\ -2e\nearrow 0.30

$\frac{6}{e^3}\approx 0.30>0.2$ : פתרון אחד

x>3:\ 0.30\searrow 0

עוד פתרון אחד

שלושה. המקסימום $\frac{6}{e^3}\approx 0.30$ גבוה מ- $0.2$ , ומימין הגרף יורד לאסימפטוטה $y=0$ , מעל $0$ : עוד חיתוך אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . א. מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

e^{\ln 2}+a=0

המכנה מתאפס

\begin{aligned}2+a &= 0 \Rightarrow a \\ &= -2\end{aligned}

$e^{\ln 2}=2$

$a=-2$ . מי שכתב $a=2$ שכח שהמכנה הוא $e^x+a$ , ולכן $a=-e^x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . ב. הציבו $a=-2$ . מהו תחום ההגדרה של $f$ ?

$x\neq\ln 2$
$x\neq 2$
כל $x$
$x>\ln 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x\neq\ln 2$

Corrigé :

e^x-2\neq 0 \Rightarrow x\neq\ln 2

המכנה

$x\neq\ln 2$ . $x\neq 2$ מבלבל בין $e^x=2$ ל- $x=2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . ג. הציבו $a=-2$ . קבעו: $f$ יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x-2)-e^x\cdot e^x}{(e^x-2)^2} \\ &= \frac{-2e^x}{(e^x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

-2e^x<0 ,\ (e^x-2)^2>0

שלילית

נכון. הנגזרת שלילית בכל התחום. אבל $f$ לא יורדת «לכל $x$ »: יש קפיצה באסימפטוטה $x=\ln 2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . ד. הציבו $a=-2$ . מצאו את האסימפטוטות האופקיות.

כאשר $x\to-\infty$ : $y=$ ____ ; כאשר $x\to+\infty$ : $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כאשר $x\to-\infty$ : $y=$ 0 ; כאשר $x\to+\infty$ : $y=$ 1

Corrigé :

x\to-\infty:\ \frac{0}{0-2}=0

$e^x\to 0$

x\to+\infty:\ \frac{1}{1-2e^{-x}}\to 1

מחלקים ב- $e^x$

שתי אסימפטוטות שונות, אחת בכל צד. מי שכתב $y=-1$ הציב $x=0$ , ולא בדק מה קורה כאשר $e^x\to 0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev