Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בדרגה בינונית: כלל המכפלה וכלל השרשרת יחד, משיק, זוגיות ונקודות קיצון.

לפני כל גזירה: האם זו מכפלה, מנה, או ee בחזקת ביטוי? הכלל הנכון חוסך את רוב הטעויות.

Exercices

Exercice 1

מהי הנגזרת של f(x)=(x2−1)exf(x)=(x^2-1)e^x?

  1. (x2−1)ex(x^2-1)e^x
  2. (x2+2x)ex(x^2+2x)e^x
  3. (x2+2x−1)ex(x^2+2x-1)e^x
  4. 2xex2xe^x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (x2+2x−1)ex(x^2+2x-1)e^x

Corrigé :

f′(x)=2xex+(x2−1)exf'(x)=2xe^x+(x^2-1)e^x

כלל המכפלה

=(x2+2x−1)ex=(x^2+2x-1)e^x

גורם משותף

מי שבחר (x2+2x)ex(x^2+2x)e^x שכח את ה-−1-1 כשהוציא גורם משותף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=(x2−8)exf(x)=(x^2-8)e^x. בעבור איזה xx יש ל-ff מקסימום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

f′(x)=(x2+2x−8)ex=(x+4)(x−2)ex\begin{aligned}f'(x) &= (x^2+2x-8)e^x \\ &= (x+4)(x-2)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה ופירוק

+ (x<−4), − (−4<x<2)+\ (x<-4) ,\ -\ (-4<x<2)

עולה ואחר כך יורדת

x=−4x=-4. ב-x=2x=2 יש מינימום: שם הנגזרת עוברת מ-−- ל-++.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=(x+1)e2xf(x)=(x+1)e^{2x} בנקודה שבה x=0x=0. השלימו: y=mx+ny=mx+n.

m=m= ____ ; n=n= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : m=m= 3 ; n=n= 1

Corrigé :

f′(x)=e2x+2(x+1)e2x=(2x+3)e2x\begin{aligned}f'(x) &= e^{2x}+2(x+1)e^{2x} \\ &= (2x+3)e^{2x}\end{aligned}

מכפלה ושרשרת

f(0)=1 f′(0)=3⇒y=3x+1\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \ f'(0) &= 3 \Rightarrow y \\ &= 3x+1\end{aligned}

המשיק

y=3x+1y=3x+1. מי שקיבל m=2m=2 שכח את הגורם הראשון של כלל המכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חוקרים את f(x)=ex2−2xf(x)=e^{x^2-2x}. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=(2x−2)ex2−2xf'(x)=(2x-2)e^{x^2-2x}
f′(x)=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
f(1)=e−1f(1)=e^{-1}
x=1: max⁡x=1:\ \max
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=1: max⁡x=1:\ \max → x=1: min⁡x=1:\ \min

Corrigé :

f′(0)=−2<0 f′(2)=2>0\begin{aligned}f'(0) &= -2<0 \\ \ f'(2) &= 2>0\end{aligned}

יורדת ואחר כך עולה

ב-x=1x=1 יש מינימום. הגורם 2x−22x-2 שלילי משמאל ל-11 וחיובי מימין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מיינו: איזו פונקציה זוגית ואיזו אי-זוגית?

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • xex2\frac{x}{e^{x^2}}
  • ex2e^{x^2}
  • ex−e−xe^x-e^{-x}
  • ex+e−xe^x+e^{-x}
  • x2e−x2x^2e^{-x^2}
  • xex2xe^{x^2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ex2e^{x^2} — זוגית · ex−e−xe^x-e^{-x} — אי-זוגית · xex2xe^{x^2} — אי-זוגית · ex+e−xe^x+e^{-x} — זוגית · x2e−x2x^2e^{-x^2} — זוגית · xex2\frac{x}{e^{x^2}} — אי-זוגית

Corrigé :

f(−x)=±f(x) ?f(-x)=\pm f(x)\ ?

מציבים −x-x ומשווים

ex−e−xe^x-e^{-x} ו-ex+e−xe^x+e^{-x} נראות דומות: בראשונה f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x), בשנייה f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). ו-xx כפול זוגית נותן אי-זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=e2x−8exf(x)=e^{2x}-8e^x. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון. עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.39

Corrigé :

f′(x)=2e2x−8ex=2ex(ex−4)\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}-8e^x \\ &= 2e^x(e^x-4)\end{aligned}

גורם משותף

ex=4⇒x=ln⁡4≈1.39\begin{aligned}e^x &= 4 \Rightarrow x \\ &= \ln 4\approx 1.39\end{aligned}

ln⁡\ln

ln⁡4≈1.39\ln 4\approx 1.39. מי שכתב ln⁡8\ln 8 שכח לגזור את e2xe^{2x} ל-2e2x2e^{2x}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהי הנגזרת של f(x)=xe−x2f(x)=xe^{-x^2}?

  1. −2xe−x2-2xe^{-x^2}
  2. (1−2x2)e−x2(1-2x^2)e^{-x^2}
  3. (1+2x2)e−x2(1+2x^2)e^{-x^2}
  4. (1−2x)e−x2(1-2x)e^{-x^2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (1−2x2)e−x2(1-2x^2)e^{-x^2}

Corrigé :

f′(x)=e−x2+x⋅(−2x)e−x2f'(x)=e^{-x^2}+x\cdot(-2x)e^{-x^2}

מכפלה, ובתוכה שרשרת

=(1−2x2)e−x2=(1-2x^2)e^{-x^2}

גורם משותף

הנגזרת של −x2-x^2 היא −2x-2x, ומכפילים אותה ב-xx שבחוץ: −2x2-2x^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הפונקציה f(x)=(x2+2)exf(x)=(x^2+2)e^x עולה לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=(x2+2x+2)exf'(x)=(x^2+2x+2)e^x

כלל המכפלה

Δ=4−8<0\Delta=4-8<0

הסוגריים חיוביים תמיד

נכון. x2+2x+2=(x+1)2+1>0x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0, וגם ex>0e^x>0. לנגזרת אין אפסים, ולכן אין קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה פתרונות יש למשוואה ∣ex−3∣=2|e^x-3|=2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

ex−3=2⇒x=ln⁡5\begin{aligned}e^x-3 &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 5\end{aligned}

מקרה ראשון

ex−3=−2⇒ex=1⇒x=0\begin{aligned}e^x-3 &= -2 \Rightarrow e^x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

מקרה שני

שניים: x=ln⁡5x=\ln 5 ו-x=0x=0. מי שפתר רק ex−3=2e^x-3=2 שכח את המקרה השלילי של הערך המוחלט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ל-f(x)=x2exf(x)=x^2e^x יש נקודת מקסימום. השלימו את שיעוריה. עגלו את yy לשתי ספרות.

x=x= ____ ; y≈y\approx ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= -2 ; y≈y\approx 0.54

Corrigé :

f′(x)=x(x+2)exf'(x)=x(x+2)e^x

אפסים: −2-2 ו-00

f(−2)=4e−2≈0.54f(-2)=4e^{-2}\approx 0.54

המקסימום

המקסימום ב-x=−2x=-2; ב-x=0x=0 יש מינימום (0,0)(0,0). מי שבחר (0,0)(0,0) לא בדק סימנים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe