Série 3 — niveau bagrout · Puissances et fonction exponentielle · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. לפני שמתחילים סעיף, חפשו מה כבר מצאתם: אסימפטוטה, נקודת חיתוך, הצבה.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה $f(x)=2^{x+1}-4$ . א. מצאו את האסימפטוטה האופקית של $f$ , ואת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

אסימפטוטה: $y=$ ____ ; ציר ה- $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; ציר ה- $x$ : $($ ____ $,0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אסימפטוטה: $y=$ -4 ; ציר ה- $y$ : $(0,$ -2 $)$ ; ציר ה- $x$ : $($ 1 $,0)$

Corrigé :

y=-4

\begin{aligned}f(0) &= 2-4 \\ &= -2\end{aligned}

\begin{aligned}2^{x+1} &= 4 \\ &= 2^2 \ \Rightarrow\ x \\ &= 1\end{aligned}

האסימפטוטה מתחת לציר ה- $x$ , ולכן יש חיתוך עם ציר ה- $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה $f(x)=2^{x+1}-4$ . ב. פתרו את אי-השוויון $f(x) \le 4$ .

$x \le 1$
$x \ge 2$
$x \le 3$
$x \le 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x \le 2$

Corrigé :

2^{x+1} \le 8=2^3

מעבירים את $-4$

x+1 \le 3 \ \Rightarrow\ x \le 2

הבסיס $2>1$

הנכונה: $x \le 2$ . $x \le 3$ שכחה את ה- $+1$ במעריך. $x \le 1$ פתרה $f(x) \le 0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה $f(x)=2^{x+1}-4$ . ג. הגרף של $g(x)=|f(x)|$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $A$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של $A$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}g(0) &= |f(0)| \\ &= |-2| \\ &= 2\end{aligned}

מסעיף א

$2$ . הערך המוחלט הופך את החלק שמתחת לציר: $(0,-2)$ עולה ל- $(0,2)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה המשוואה $2^{2x+1}-9 \cdot 2^{x}+4=0$ . א. לאיזו משוואה ב- $t$ מגיעים בהצבה $t=2^x$ ?

$t^2-9t+4=0$
$2t^2-9t+4=0$
$2t-9t+4=0$
$4t^2-9t+4=0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2t^2-9t+4=0$

Corrigé :

\begin{aligned}2^{2x+1} &= 2 \cdot 2^{2x} \\ &= 2t^2\end{aligned}

$2^{2x}=t^2$ , ועוד גורם $2$

הנכונה: $2t^2-9t+4=0$ . ה- $+1$ במעריך הוא כפל ב- $2$ , לא חזקה $4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה המשוואה $2^{2x+1}-9 \cdot 2^{x}+4=0$ . ב. פתרו את המשוואה. כתבו את הפתרונות מהקטן לגדול.

$x_1=$ ____ , $x_2=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x_1=$ -1 , $x_2=$ 2

Corrigé :

\begin{aligned}t &= \frac{9 \pm \sqrt{81-32}}{4} \\ &= \frac{9 \pm 7}{4}\end{aligned}

נוסחת השורשים

\begin{aligned}t &= 4 \\ \ t &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שניהם חיוביים

\begin{aligned}2^x &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2 \qquad 2^x \\ &= 2^{-1} \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

$t=\frac{1}{2}$ לא נפסל: הוא חיובי, ונותן $x=-1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונות הפונקציות $g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-3$ ו- $h(x)=3^{x}-3$ . א. מהי נקודת החיתוך של הגרפים של $g$ ו- $h$ ?

$(0,\,-2)$
$(-1,\,0)$
$(0,\,-3)$
$(1,\,0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $(0,\,-2)$

Corrigé :

\begin{aligned}3^{-x}-3 &= 3^{x}-3 \ \Rightarrow\ -x \\ &= x \ \Rightarrow\ x \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}g(0) &= 1-3 \\ &= -2\end{aligned}

הנכונה: $(0,-2)$ . $(0,-3)$ שוכחת ש- $3^0=1$ . $(1,0)$ ו- $(-1,0)$ הן חיתוכים עם ציר ה- $x$ , כל אחת של גרף אחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונות הפונקציות $g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-3$ ו- $h(x)=3^{x}-3$ . ב. בעבור אילו ערכי $x$ מתקיים $g(x)>h(x)$ ?

$x<0$
$x<-2$
$x>0$
לכל $x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x<0$

Corrigé :

3^{-x}>3^{x}

מוסיפים $3$ לשני האגפים

-x>x \ \Rightarrow\ x<0

הבסיס $3>1$

הנכונה: $x<0$ . בגרף: $g$ יורדת ו- $h$ עולה, ולכן משמאל לנקודת החיתוך $g$ מעל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונות הפונקציות $g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-3$ ו- $h(x)=3^{x}-3$ . ג. הוכיחו או הפריכו: הגרף של $g$ הוא השיקוף של הגרף של $h$ בציר ה- $y$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}h(-x) &= 3^{-x}-3 \\ &= \left(\frac{1}{3}\right)^x-3 \\ &= g(x)\end{aligned}

מציבים $-x$

הטענה נכונה. $g(x)=h(-x)$ : מינוס במעריך הוא שיקוף בציר ה- $y$ . לכן גם החיתוך שלהם נמצא על ציר ה- $y$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה $k(x)=|3^{x}-3|$ . א. מצאו את האסימפטוטה האופקית של $k$ , ואת הנקודה שבה הגרף נוגע בציר ה- $x$ .

אסימפטוטה: $y=$ ____ ; נקודת המגע: $($ ____ $,0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אסימפטוטה: $y=$ 3 ; נקודת המגע: $($ 1 $,0)$

Corrigé :

3^x-3 \to -3 \ \Rightarrow\ k(x) \to 3

משמאל

\begin{aligned}3^x &= 3 \ \Rightarrow\ x \\ &= 1\end{aligned}

האסימפטוטה $y=3$ , לא $y=-3$ : הערך המוחלט הופך גם אותה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה $k(x)=|3^{x}-3|$ . ב. למשוואה $k(x)=2$ יש שני פתרונות, ואחד מהם מספר שלם. מצאו אותו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

0<2<3

מתחת לאסימפטוטה: שני פתרונות

\begin{aligned}3^x-3 &= -2 \ \Rightarrow\ 3^x \\ &= 1 \ \Rightarrow\ x \\ &= 0\end{aligned}

הענף השמאלי: פתרון שלם

\begin{aligned}3^x-3 &= 2 \ \Rightarrow\ 3^x \\ &= 5\end{aligned}

הענף הימני: $x$ בין $1$ ל- $2$ , לא שלם

$x=0$ . יש שני פתרונות; השני מקיים $3^x=5$ ואינו שלם. בלי ערך מוחלט היה רק הפתרון $3^x=5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev