L’intégrale définie avec e et ln

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

אינטגרל מסוים מחשבים כמו בכיתה יא: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).

ההבדל: עכשיו התוצאה כוללת הרבה פעמים ee או ln⁡\ln. מתחילים מהשטח מתחת ל-exe^x.

למה השטח המדויק הוא eb−1e^b-1 ולא ebe^b?

Voir la réponse et le corrigé

כי מחסרים את הערך בגבול התחתון: F(0)=e0=1F(0)=e^0=1. השטח הוא eb−e0=eb−1e^b-e^0=e^b-1.

חישוב עם ee

∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx

פונקציה קדומה, ואז עליון פחות תחתון.

F(x)=12e2xF(x)=\frac{1}{2}e^{2x}

מחלקים במקדם 22

F(1)=12e2F(0)=12e0=12\begin{aligned}F(1) &= \frac{1}{2}e^2 \qquad F(0) \\ &= \frac{1}{2}e^0 \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

e0=1e^0=1

12e2−12=e2−12≈3.19\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}=\frac{e^2-1}{2}\approx 3.19

תשובה מדויקת, ואחריה ערך מקורב

זהירות עם הגבול 00. e0=1e^0=1, ולא 00. לכן F(0)F(0) של emxe^{mx} לא מתאפס.

חשבו את ∫0ln⁡3ex dx\int_0^{\ln 3} e^x\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

eln⁡3−e0=3−1=2e^{\ln 3}-e^0=3-1=2. הכלל eln⁡a=ae^{\ln a}=a הופך את התשובה למספר שלם.

חישוב עם ln⁡\ln

באינטגרל של 1x\frac{1}{x} מופיע ln⁡\ln. שני ערכים עוזרים: ln⁡1=0\ln 1=0 ו-ln⁡e=1\ln e=1.

∫251x−1 dx\int_2^5 \frac{1}{x-1}\,dx

בקטע [2,5][2,5] המכנה x−1x-1 חיובי, ולכן כותבים ln⁡\ln בלי ערך מוחלט.

F(x)=ln⁡(x−1)F(x)=\ln(x-1)

המקדם של xx הוא 11

F(5)−F(2)=ln⁡4−ln⁡1F(5)-F(2)=\ln 4-\ln 1

On remplace (מציבים)

=ln⁡4−0=ln⁡4≈1.39=\ln 4-0=\ln 4\approx 1.39

ln⁡1=0\ln 1=0

חשבו את ∫0432x+1 dx\int_0^4 \frac{3}{2x+1}\,dx. השאירו תשובה מדויקת.

Voir la réponse et le corrigé

F(x)=32ln⁡(2x+1)F(x)=\frac{3}{2}\ln(2x+1). לכן 32ln⁡9−32ln⁡1=32ln⁡9=3ln⁡3≈3.30\frac{3}{2}\ln 9-\frac{3}{2}\ln 1=\frac{3}{2}\ln 9=3\ln 3\approx 3.30.

תשובה מדויקת, תשובה מעוגלת

תשובה מדויקת נשארת עם ee ו-ln⁡\ln: ln⁡4\ln 4, e2−12\frac{e^2-1}{2}. אם השאלה מבקשת לעגל, מחשבים במחשבון בסוף.

שלוש טעויות בשורה האחרונה.

[ln⁡x]14=ln⁡4−1\Big[\ln x\Big]_1^4=\ln 4-1
[ln⁡x]14=ln⁡4−0\Big[\ln x\Big]_1^4=\ln 4-0

ln⁡1=0\ln 1=0. המספר 11 הוא ln⁡e\ln e, לא ln⁡1\ln 1.

[ex]02=e2−0\Big[e^x\Big]_0^2=e^2-0
[ex]02=e2−1\Big[e^x\Big]_0^2=e^2-1

e0=1e^0=1: הגבול התחתון לא מתאפס.

∫01e2x dx=e2−1\int_0^1 e^{2x}\,dx=e^2-1
∫01e2x dx=e2−12\int_0^1 e^{2x}\,dx=\frac{e^2-1}{2}

שכחו לחלק במקדם 22 של xx.

Exercices

Exercice 1

חשבו את ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.19

Corrigé :

F(x)=12e2xF(x)=\frac{1}{2}e^{2x}

פונקציה קדומה

12e2−12e0=e2−12≈3.19\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}e^0=\frac{e^2-1}{2}\approx 3.19

עליון פחות תחתון

שתי טעויות אפשריות: לשכוח את החצי (6.396.39), או לכתוב e0=0e^0=0 (3.693.69).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∫141x dx\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.39

Corrigé :

[ln⁡x]14=ln⁡4−ln⁡1\Big[\ln x\Big]_1^4=\ln 4-\ln 1

פונקציה קדומה

=ln⁡4≈1.39=\ln 4\approx 1.39

ln⁡1=0\ln 1=0

ln⁡1=0\ln 1=0, ולכן התשובה היא ln⁡4\ln 4 בדיוק. מי שכתב ln⁡1=1\ln 1=1 קיבל 0.390.39.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו ∫0ln⁡3ex dx\int_0^{\ln 3} e^x\,dx?

  1. 33
  2. e3−1e^3-1
  3. ln⁡3\ln 3
  4. 22
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 22

Corrigé :

[ex]0ln⁡3=eln⁡3−e0\Big[e^x\Big]_0^{\ln 3}=e^{\ln 3}-e^0

On remplace (מציבים)

=3−1=2=3-1=2

eln⁡a=ae^{\ln a}=a

הנכונה: 22. התשובה 33 שוכחת את e0=1e^0=1. התשובה e3−1e^3-1 מציבה 33 במקום ln⁡3\ln 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו את ∫371x−2 dx\int_3^7 \frac{1}{x-2}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.61

Corrigé :

F(x)=ln⁡(x−2)F(x)=\ln(x-2)

בקטע המכנה חיובי

ln⁡5−ln⁡1=ln⁡5≈1.61\ln 5-\ln 1=\ln 5\approx 1.61

On remplace (מציבים)

מציבים בפונקציה הקדומה את x=7x=7 ואת x=3x=3: 7−2=57-2=5, 3−2=13-2=1. מי שהציב ln⁡7−ln⁡3\ln 7-\ln 3 שכח את ה-−2-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את ∫0232x+1 dx\int_0^2 \frac{3}{2x+1}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.41

Corrigé :

F(x)=3⋅12ln⁡(2x+1)=32ln⁡(2x+1)\begin{aligned}F(x) &= 3\cdot\frac{1}{2}\ln(2x+1) \\ &= \frac{3}{2}\ln(2x+1)\end{aligned}

מחלקים במקדם 22

32ln⁡5−32ln⁡1=32ln⁡5≈2.41\frac{3}{2}\ln 5-\frac{3}{2}\ln 1=\frac{3}{2}\ln 5\approx 2.41

On remplace (מציבים)

בלי החלוקה ב-22 מקבלים 3ln⁡5≈4.833\ln 5\approx 4.83, כפול מהתשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חשבו את ∫01(ex+2x) dx\int_0^1 (e^x+2x)\,dx. הפונקציה הקדומה היא F(x)=ex+x2F(x)=e^x+x^2. השלימו.

F(1)=e+F(1)=e+ ____ ; F(0)=F(0)= ____ ; לכן האינטגרל שווה ל-ee.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : F(1)=e+F(1)=e+ 1 ; F(0)=F(0)= 1 ; לכן האינטגרל שווה ל-ee.

Corrigé :

F(1)=e1+12=e+1\begin{aligned}F(1) &= e^1+1^2 \\ &= e+1\end{aligned}

הגבול העליון

F(0)=e0+0=1\begin{aligned}F(0) &= e^0+0 \\ &= 1\end{aligned}

הגבול התחתון

(e+1)−1=e(e+1)-1=e

ההפרש

גם כאן F(0)F(0) לא מתאפס: e0=1e^0=1. התשובה היא בדיוק e≈2.72e\approx 2.72.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

האינטגרל ∫01e−x dx\int_0^1 e^{-x}\,dx הוא מספר שלילי, כי במעריך יש מינוס.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

[−e−x]01=−e−1+1=1−1e≈0.63\begin{aligned}\Big[-e^{-x}\Big]_0^1 &= -e^{-1}+1 \\ &= 1-\frac{1}{e}\approx 0.63\end{aligned}

On calcule

לא נכון. e−x>0e^{-x}>0 לכל xx, ולכן האינטגרל חיובי. המינוס במעריך לא הופך את הפונקציה לשלילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חשבו את ∫1e(2x+1)dx\int_1^e \left(\frac{2}{x}+1\right)dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.72

Corrigé :

F(x)=2ln⁡x+xF(x)=2\ln x+x

פונקציה קדומה

F(e)=2ln⁡e+e=2+e\begin{aligned}F(e) &= 2\ln e+e \\ &= 2+e\end{aligned}

ln⁡e=1\ln e=1

F(1)=0+1=1\begin{aligned}F(1) &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned}

ln⁡1=0\ln 1=0

(2+e)−1=e+1≈3.72(2+e)-1=e+1\approx 3.72

ההפרש

כאן שני הכללים יחד: ln⁡e=1\ln e=1 ו-ln⁡1=0\ln 1=0. ואל תשכחו את F(1)=1F(1)=1 של המחובר xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

סדרו את האינטגרלים מהקטן לגדול.

  • ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx
  • ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx
  • ∫121x dx\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx
  • ∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x}\,dx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∫121x dx\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx · ∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x}\,dx · ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx · ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx

Corrigé :

ln⁡2≈0.691e−1≈1.72e2−12≈3.19\ln 2\approx 0.69 \quad 1 \quad e-1\approx 1.72 \quad \frac{e^2-1}{2}\approx 3.19

מחשבים כל אחד

השניים הראשונים: ln⁡2<ln⁡e=1\ln 2<\ln e=1. ו-e2x>exe^{2x}>e^x כאשר x>0x>0, ולכן האינטגרל האחרון הכי גדול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מצאו את השורה השגויה בחישוב של ∫02ex dx\int_0^2 e^x\,dx.

∫02ex dx=[ex]02\int_0^2 e^x\,dx=\Big[e^x\Big]_0^2
=e2−0=e^2-0
=e2≈7.39=e^2\approx 7.39
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =e2−0=e^2-0 → =e2−e0=e2−1=e^2-e^0=e^2-1

Corrigé :

e0=1e^0=1

הגבול התחתון

e2−1≈6.39e^2-1\approx 6.39

התשובה הנכונה

הטעות בשורה 2: e0=1e^0=1, לא 00. התשובה הנכונה היא e2−1≈6.39e^2-1\approx 6.39.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

חשבו את ∫−11ex+1 dx\int_{-1}^{1} e^{x+1}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.39

Corrigé :

F(x)=ex+1F(x)=e^{x+1}

המקדם של xx הוא 11

F(1)−F(−1)=e2−e0=e2−1≈6.39\begin{aligned}F(1)-F(-1) &= e^2-e^0 \\ &= e^2-1\approx 6.39\end{aligned}

On remplace (מציבים)

בגבול −1-1 המעריך הוא −1+1=0-1+1=0, ולכן F(−1)=1F(-1)=1. מי שכתב e−1e^{-1} שכח את ה-+1+1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מהו ∫0ln⁡2e2x dx\int_0^{\ln 2} e^{2x}\,dx?

  1. 1.51.5
  2. 0.50.5
  3. 33
  4. 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1.51.5

Corrigé :

[12e2x]0ln⁡2=12e2ln⁡2−12\Big[\frac{1}{2}e^{2x}\Big]_0^{\ln 2}=\frac{1}{2}e^{2\ln 2}-\frac{1}{2}

On remplace (מציבים)

e2ln⁡2=(eln⁡2)2=4\begin{aligned}e^{2\ln 2} &= \left(e^{\ln 2}\right)^2 \\ &= 4\end{aligned}

חוקי חזקות

12⋅4−12=1.5\frac{1}{2}\cdot 4-\frac{1}{2}=1.5

התוצאה

הנכונה: 1.51.5. התשובה 33 שוכחת את החצי. התשובה 0.50.5 כותבת e2ln⁡2=2e^{2\ln 2}=2 במקום 44.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe