Aire entre une courbe et l’axe des x

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כאשר f(x)≥0f(x)\ge 0 בקטע, השטח בין הגרף לציר ה-xx שווה לאינטגרל.

אבל כשהגרף מתחת לציר, האינטגרל שלילי. לכן קודם מוצאים איפה הגרף חותך את הציר, ובודקים סימן בכל חלק.

איפה הגרף של f(x)=ex−2f(x)=e^x-2 חותך את ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

פותרים ex−2=0e^x-2=0: ex=2e^x=2, ולכן x=ln⁡2≈0.69x=\ln 2\approx 0.69.

נקודת החיתוך עם הציר — בעזרת ln⁡\ln

ex=a ⇒ x=ln⁡a\begin{aligned}e^x &= a \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln a\end{aligned}

מבודדים את exe^x, ולוקחים ln⁡\ln

e2x=3 ⇒ x=12ln⁡3\begin{aligned}e^{2x} &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\ln 3\end{aligned}

קודם 2x=ln⁡32x=\ln 3, ואחר כך מחלקים ב-22

1x−1=0 ⇒ x=1\begin{aligned}\frac{1}{x}-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

שבר: כופלים במכנה

השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=3−exf(x)=3-e^x והצירים

הגרף חותך את ציר ה-yy ב-(0,2)(0,2) ואת ציר ה-xx ב-x=ln⁡3x=\ln 3.

3−ex=0 ⇒ x=ln⁡3\begin{aligned}3-e^x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 3\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

S=∫0ln⁡3(3−ex) dx=[3x−ex]0ln⁡3\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 3}(3-e^x)\,dx \\ &= \Big[3x-e^x\Big]_0^{\ln 3}\end{aligned}

הגרף מעל הציר בקטע

=(3ln⁡3−3)−(0−1)=3ln⁡3−2≈1.30=(3\ln 3-3)-(0-1)=3\ln 3-2\approx 1.30

מציבים: eln⁡3=3e^{\ln 3}=3, e0=1e^0=1

y=3−exy=3-e^x ברביע הראשון
y = 3 − eˣxyln32
השטח האפור מוגבל בין הגרף לשני הצירים. הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=ln⁡3x=\ln 3.

בדוגמה, למה הגבול התחתון הוא 00?

Voir la réponse et le corrigé

כי השטח מוגבל גם על ידי ציר ה-yy, שהוא הישר x=0x=0.

אנך לציר ה-xx

בשאלות רבות כתוב: «דרך הנקודה AA העבירו אנך לציר ה-xx». האנך הוא ישר מאונך לציר ה-xx, כלומר x=xAx=x_A. הוא סוגר את השטח מצד אחד.

f(x)=e2x−1f(x)=e^{2x}-1, והנקודה AA על הגרף, עם xA=1x_A=1

דרך AA העבירו אנך לציר ה-xx. מחשבים את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה-xx והאנך.

e2x−1=0 ⇒ x=0\begin{aligned}e^{2x}-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

הגבול השני: החיתוך עם ציר ה-xx

S=∫01(e2x−1) dx=[12e2x−x]01\begin{aligned}S &= \int_0^1 (e^{2x}-1)\,dx \\ &= \Big[\frac{1}{2}e^{2x}-x\Big]_0^1\end{aligned}

הגרף מעל הציר כאשר x>0x>0

=(e22−1)−12=e22−1.5≈2.19=\left(\frac{e^2}{2}-1\right)-\frac{1}{2}=\frac{e^2}{2}-1.5\approx 2.19

On remplace (מציבים)

האנך דרך AA
y = e²ˣ − 1xy1A
האנך לציר ה-xx דרך AA הוא הישר x=1x=1. השטח האפור: בין הגרף, ציר ה-xx והאנך. (הסרטוט מכווץ לגובה.)

שטח הוא תמיד חיובי. אם יצא לכם אינטגרל שלילי, הגרף מתחת לציר: השטח הוא המספר בלי המינוס.

אינטגרל אחד על פני חיתוך.

S=∫02(ex−2) dx=e2−5≈2.39\begin{aligned}S &= \int_0^2 (e^x-2)\,dx \\ &= e^2-5\approx 2.39\end{aligned}
S=∫ln⁡22(ex−2) dx−∫0ln⁡2(ex−2) dx≈3.16S=\int_{\ln 2}^{2}(e^x-2)\,dx-\int_0^{\ln 2}(e^x-2)\,dx\approx 3.16

החלק שמתחת לציר מחסר מהחלק שמעליו. חותכים ב-x=ln⁡2x=\ln 2 ומחשבים כל חלק לבד.

Exercices

Exercice 1

y = eˣxy2

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=exf(x)=e^x, הצירים והישר x=2x=2. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.39

Corrigé :

ex>0e^x>0

הגרף כולו מעל ציר ה-xx

S=∫02ex dx=e2−e0=e2−1≈6.39\begin{aligned}S &= \int_0^2 e^x\,dx \\ &= e^2-e^0 \\ &= e^2-1\approx 6.39\end{aligned}

עליון פחות תחתון

הגרף של exe^x לא חותך את ציר ה-xx, ולכן אין צורך לחלק. אבל F(0)=e0=1F(0)=e^0=1, לא 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=4−exf(x)=4-e^x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff ושני הצירים, ברביע הראשון. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.55

Corrigé :

4−ex=0 ⇒ x=ln⁡4\begin{aligned}4-e^x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 4\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

S=[4x−ex]0ln⁡4=(4ln⁡4−4)−(0−1)\begin{aligned}S &= \Big[4x-e^x\Big]_0^{\ln 4} \\ &= (4\ln 4-4)-(0-1)\end{aligned}

On remplace (מציבים)

=4ln⁡4−3≈2.55=4\ln 4-3\approx 2.55

התוצאה

הגבול העליון הוא נקודת החיתוך ln⁡4\ln 4, והתחתון הוא ציר ה-yy. ובגבול התחתון −e0=−1-e^0=-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

איפה הגרף של f(x)=e2x−5f(x)=e^{2x}-5 חותך את ציר ה-xx?

  1. x=2ln⁡5x=2\ln 5
  2. x=12ln⁡5x=\frac{1}{2}\ln 5
  3. x=ln⁡52x=\ln\frac{5}{2}
  4. x=ln⁡5x=\ln 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=12ln⁡5x=\frac{1}{2}\ln 5

Corrigé :

e2x=5 ⇒ 2x=ln⁡5\begin{aligned}e^{2x} &= 5 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= \ln 5\end{aligned}

לוקחים ln⁡\ln

x=12ln⁡5≈0.80x=\frac{1}{2}\ln 5\approx 0.80

מחלקים ב-22

הנכונה: 12ln⁡5\frac{1}{2}\ln 5. ln⁡52\ln\frac{5}{2} מחלקת את ה-55 במקום את המעריך. ln⁡5\ln 5 שוכחת את ה-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

y = 1 − eˣxy1

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=1−exf(x)=1-e^x, ציר ה-xx והישר x=1x=1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.72

Corrigé :

1−ex=0 ⇒ x=0\begin{aligned}1-e^x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

החיתוך: הגבול השני

0<x<1: 1−ex<00<x<1: \ 1-e^x<0

הגרף מתחת לציר

S=∫01(ex−1) dx=(e−1)−1=e−2≈0.72\begin{aligned}S &= \int_0^1 (e^x-1)\,dx \\ &= (e-1)-1 \\ &= e-2\approx 0.72\end{aligned}

אפס פחות ff

האינטגרל של ff עצמה הוא 2−e≈−0.722-e\approx -0.72: מספר שלילי. השטח הוא 0.720.72.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

האינטגרל ∫02(ex−2) dx\int_0^2 (e^x-2)\,dx שווה לשטח בין הגרף של y=ex−2y=e^x-2 לציר ה-xx, מ-x=0x=0 עד x=2x=2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x<ln⁡2 ⇒ ex−2<0x<\ln 2 \ \Rightarrow \ e^x-2<0

בחלק הראשון הגרף מתחת לציר

∫02(ex−2) dx=e2−5≈2.39≠3.16\int_0^2 (e^x-2)\,dx=e^2-5\approx 2.39 \ne 3.16

החלק השלילי מקטין את האינטגרל

לא נכון. הגרף חותך את הציר ב-x=ln⁡2x=\ln 2, ולכן צריך שני אינטגרלים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=2xf(x)=\frac{2}{x}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=4x=4. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.77

Corrigé :

S=∫142x dx=[2ln⁡x]14\begin{aligned}S &= \int_1^4 \frac{2}{x}\,dx \\ &= \Big[2\ln x\Big]_1^4\end{aligned}

הגרף מעל הציר כאשר x>0x>0

=2ln⁡4−0=2ln⁡4≈2.77=2\ln 4-0=2\ln 4\approx 2.77

ln⁡1=0\ln 1=0

הקדומה של 2x\frac{2}{x} היא 2ln⁡x2\ln x, לא ln⁡2x\ln 2x. בגבול 11 מקבלים 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=1x−1f(x)=\frac{1}{x}-1, כאשר x>0x>0. השלימו.

הגרף חותך את ציר ה-xx כאשר x=x= ____ ; f(0.5)=f(0.5)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הגרף חותך את ציר ה-xx כאשר x=x= 1 ; f(0.5)=f(0.5)= 1

Corrigé :

1x=1 ⇒ x=1\begin{aligned}\frac{1}{x} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך

f(0.5)=2−1=1\begin{aligned}f(0.5) &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת בדיקה

f(0.5)>0f(0.5)>0, ולכן בין x=0.5x=0.5 ל-x=1x=1 הגרף מעל ציר ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=1x−1f(x)=\frac{1}{x}-1. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx והישר x=0.5x=0.5. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.19

Corrigé :

f(1)=0f(1)=0

הגבול השני: החיתוך עם הציר

S=∫0.51(1x−1)dx=[ln⁡x−x]0.51\begin{aligned}S &= \int_{0.5}^1 \left(\frac{1}{x}-1\right)dx \\ &= \Big[\ln x-x\Big]_{0.5}^1\end{aligned}

הגרף מעל הציר בקטע

=(0−1)−(ln⁡0.5−0.5)=ln⁡2−0.5≈0.19=(0-1)-(\ln 0.5-0.5)=\ln 2-0.5\approx 0.19

−ln⁡0.5=ln⁡2-\ln 0.5=\ln 2

הגבולות הם 0.50.5 (הישר) ו-11 (החיתוך). את ln⁡0.5\ln 0.5 כדאי לכתוב כ-−ln⁡2-\ln 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מיינו את האינטגרלים: מתי האינטגרל שווה לשטח, ומתי למינוס השטח?

  • שווה לשטח
  • שווה למינוס השטח
  • ∫ln⁡21(ex−2) dx\int_{\ln 2}^{1} (e^x-2)\,dx
  • ∫0ln⁡2(ex−2) dx\int_0^{\ln 2} (e^x-2)\,dx
  • ∫01(ex−3) dx\int_0^1 (e^x-3)\,dx
  • ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx
  • ∫121x dx\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx
  • ∫23(1x−1)dx\int_2^3 \left(\frac{1}{x}-1\right)dx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx — שווה לשטח · ∫01(ex−3) dx\int_0^1 (e^x-3)\,dx — שווה למינוס השטח · ∫121x dx\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx — שווה לשטח · ∫23(1x−1)dx\int_2^3 \left(\frac{1}{x}-1\right)dx — שווה למינוס השטח · ∫0ln⁡2(ex−2) dx\int_0^{\ln 2} (e^x-2)\,dx — שווה למינוס השטח · ∫ln⁡21(ex−2) dx\int_{\ln 2}^{1} (e^x-2)\,dx — שווה לשטח

Corrigé :

0≤x≤1: ex≤e<30\le x\le 1: \ e^x\le e<3

הפונקציה ex−3e^x-3 שלילית

x>1: 1x<1x>1: \ \frac{1}{x}<1

הפונקציה 1x−1\frac{1}{x}-1 שלילית

x<ln⁡2: ex<2x<\ln 2: \ e^x<2

לפני החיתוך ex−2e^x-2 שלילית

השאלה היא תמיד סימן הפונקציה בקטע. בודקים נקודה אחת מתוך הקטע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

y = 4/(x+1)xy3A

נתונה f(x)=4x+1f(x)=\frac{4}{x+1}. הנקודה AA על הגרף, ו-xA=3x_A=3. דרך AA העבירו אנך לציר ה-xx. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה-xx, ציר ה-yy והאנך. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.55

Corrigé :

x=3x=3

האנך דרך A(3,1)A(3,1)

S=∫034x+1 dx=[4ln⁡(x+1)]03\begin{aligned}S &= \int_0^3 \frac{4}{x+1}\,dx \\ &= \Big[4\ln(x+1)\Big]_0^3\end{aligned}

הגרף מעל הציר

=4ln⁡4−4ln⁡1=4ln⁡4≈5.55=4\ln 4-4\ln 1=4\ln 4\approx 5.55

On remplace (מציבים)

האנך הוא הישר x=3x=3, לא y=1y=1. ציר ה-yy נותן את הגבול 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=2−exf(x)=2-e^x, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=1x=1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.49

Corrigé :

2−ex=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}2-e^x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

חיתוך בתוך הקטע [0,1][0,1]

S1=∫0ln⁡2(2−ex) dx=2ln⁡2−1\begin{aligned}S_1 &= \int_0^{\ln 2}(2-e^x)\,dx \\ &= 2\ln 2-1\end{aligned}

מעל הציר

S2=∫ln⁡21(ex−2) dx=e−4+2ln⁡2\begin{aligned}S_2 &= \int_{\ln 2}^1 (e^x-2)\,dx \\ &= e-4+2\ln 2\end{aligned}

מתחת לציר: אפס פחות ff

S=S1+S2=e−5+4ln⁡2≈0.49\begin{aligned}S &= S_1+S_2 \\ &= e-5+4\ln 2\approx 0.49\end{aligned}

מחברים

החיתוך ln⁡2≈0.69\ln 2\approx 0.69 נמצא בתוך הקטע. אינטגרל אחד מ-00 עד 11 נותן 3−e≈0.283-e\approx 0.28, וזה לא השטח.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe