Aire entre deux courbes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

השטח בין שני גרפים בנוי מרצועות צרות. בכל xx, הגובה של הרצועה הוא העליון פחות התחתון.

S=∫ab(g(x)−f(x)) dxS=\int_a^b \big(g(x)-f(x)\big)\,dx

כאשר בכל הקטע g(x)≥f(x)g(x)\ge f(x).

למה הגרפים של exe^x ו-33 מתחלפים דווקא ב-x=ln⁡3x=\ln 3?

Voir la réponse et le corrigé

כי שם הם שווים: ex=3e^x=3 נותן x=ln⁡3x=\ln 3. לפני ln⁡3\ln 3 מתקיים ex<3e^x<3, ואחריו ex>3e^x>3.

נקודת החיתוך — בעזרת ln⁡\ln

משווים f(x)=g(x)f(x)=g(x). מעבירים את כל ה-exe^x לצד אחד, מבודדים אותו, ולוקחים ln⁡\ln.

השטח בין f(x)=ex+1f(x)=e^x+1, g(x)=7−exg(x)=7-e^x וציר ה-yy

קודם החיתוך, אחר כך מי למעלה, ורק אז האינטגרל.

ex+1=7−ex ⇒ 2ex=6 ⇒ x=ln⁡3\begin{aligned}e^x+1 &= 7-e^x \ \Rightarrow \ 2e^x \\ &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 3\end{aligned}

החיתוך

g(0)=6>f(0)=2\begin{aligned}g(0) &= 6>f(0) \\ &= 2\end{aligned}

נקודת בדיקה: gg למעלה

S=∫0ln⁡3((7−ex)−(ex+1))dx=∫0ln⁡3(6−2ex) dx\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 3}\big((7-e^x)-(e^x+1)\big)dx \\ &= \int_0^{\ln 3}(6-2e^x)\,dx\end{aligned}

מפשטים לפני האינטגרל

[6x−2ex]0ln⁡3=(6ln⁡3−6)−(0−2)=6ln⁡3−4≈2.59\begin{aligned}\Big[6x-2e^x\Big]_0^{\ln 3} &= (6\ln 3-6)-(0-2) \\ &= 6\ln 3-4\approx 2.59\end{aligned}

On remplace (מציבים)

השטח בין שני הגרפים וציר ה-yy
y = eˣ + 1y = 7 − eˣxyln3
הגרפים נחתכים ב-x=ln⁡3x=\ln 3. משמאל לחיתוך, y=7−exy=7-e^x למעלה.

בדוגמה, מה היה יוצא אם הייתם מחשבים ∫0ln⁡3(f−g) dx\int_0^{\ln 3}(f-g)\,dx?

Voir la réponse et le corrigé

4−6ln⁡3≈−2.594-6\ln 3\approx -2.59: אותו מספר עם מינוס. סדר הפוך נותן מספר שלילי, ושטח לא יכול להיות שלילי.

ישר וגרף של 1x\frac{1}{x}

השטח בין y=4xy=\frac{4}{x} לבין y=5−xy=5-x

כאן החיתוך נותן משוואה ממעלה שנייה, ובשטח יוצא ln⁡\ln.

4x=5−x ⇒ x2−5x+4=0 ⇒ x=1 x=4\begin{aligned}\frac{4}{x} &= 5-x \ \Rightarrow \ x^2-5x+4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

כופלים ב-xx

x=2: 5−2=3>42=2\begin{aligned}x &= 2: \ 5-2 \\ &= 3>\frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

הישר למעלה

S=∫14(5−x−4x)dx=[5x−x22−4ln⁡x]14\begin{aligned}S &= \int_1^4 \left(5-x-\frac{4}{x}\right)dx \\ &= \Big[5x-\frac{x^2}{2}-4\ln x\Big]_1^4\end{aligned}

העליון פחות התחתון

=(20−8−4ln⁡4)−(5−0.5)=7.5−4ln⁡4≈1.95=(20-8-4\ln 4)-(5-0.5)=7.5-4\ln 4\approx 1.95

מציבים: ln⁡1=0\ln 1=0

ישר וגרף של 4x\frac{4}{x}
y = 4/xy = 5 − xxy14
הגרפים נחתכים ב-x=1x=1 וב-x=4x=4. ביניהם הישר למעלה.

מי למעלה? בוחרים xx אחד בתוך הקטע ומציבים בשתי הפונקציות. הגדולה היא העליונה בכל הקטע, עד החיתוך הבא.

שתי טעויות בשטח בין גרפים.

S=∫0ln⁡3((ex+1)−(7−ex))dxS=\int_0^{\ln 3}\big((e^x+1)-(7-e^x)\big)dx
S=∫0ln⁡3((7−ex)−(ex+1))dxS=\int_0^{\ln 3}\big((7-e^x)-(e^x+1)\big)dx

העליון פחות התחתון. בסדר הפוך יוצא מספר שלילי.

∫−11(ex−e−x) dx=0 ⇒ S=0\begin{aligned}\int_{-1}^{1}(e^x-e^{-x})\,dx &= 0 \ \Rightarrow \ S \\ &= 0\end{aligned}
S=2∫01(ex−e−x) dx≈2.17S=2\int_0^1 (e^x-e^{-x})\,dx\approx 2.17

הגרפים נחתכים ב-x=0x=0, באמצע הקטע. שני החלקים מתבטלים באינטגרל, אבל לא בשטח.

Exercices

Exercice 1

חשבו את השטח בין הגרפים של y=e2xy=e^{2x} ו-y=exy=e^x, מ-x=0x=0 עד x=ln⁡2x=\ln 2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

x>0: e2x>exx>0: \ e^{2x}>e^x

נקודת בדיקה: e2>ee^2>e

S=[12e2x−ex]0ln⁡2=(2−2)−(12−1)\begin{aligned}S &= \Big[\frac{1}{2}e^{2x}-e^x\Big]_0^{\ln 2} \\ &= (2-2)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\end{aligned}

e2ln⁡2=4e^{2\ln 2}=4

=0.5=0.5

התוצאה

בגבול העליון 12⋅4−2=0\frac{1}{2}\cdot 4-2=0, אבל זה לא אומר שהשטח 00: מחסרים את F(0)=−12F(0)=-\frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונות f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=3g(x)=3. איזה גרף נמצא למעלה בקטע 0<x<ln⁡30<x<\ln 3?

  1. הגרפים מתלכדים
  2. הגרף של ff
  3. הגרף של gg
  4. זה משתנה בתוך הקטע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C הגרף של gg

Corrigé :

x=0: f(0)=1<g(0)=3\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= 1<g(0) \\ &= 3\end{aligned}

נקודת בדיקה

ex=3⇔x=ln⁡3\begin{aligned}e^x &= 3 \Leftrightarrow x \\ &= \ln 3\end{aligned}

החיתוך היחיד הוא בקצה

הנכונה: gg. בתוך הקטע אין חיתוך, ולכן נקודת בדיקה אחת מספיקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של y=exy=e^x ו-y=6−exy=6-e^x. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.1

Corrigé :

ex=6−ex ⇒ 2ex=6\begin{aligned}e^x &= 6-e^x \ \Rightarrow \ 2e^x \\ &= 6\end{aligned}

מעבירים אגפים

ex=3 ⇒ x=ln⁡3≈1.10\begin{aligned}e^x &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 3\approx 1.10\end{aligned}

לוקחים ln⁡\ln

קודם מבודדים את exe^x, ורק אז לוקחים ln⁡\ln. מי שכתב x=ln⁡6x=\ln 6 לא העביר את exe^x השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של y=exy=e^x ו-y=e−xy=e^{-x} והישר x=1x=1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.09

Corrigé :

ex=e−x ⇒ x=0\begin{aligned}e^x &= e^{-x} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

החיתוך: הגבול השני

x=1: e>e−1x=1: \ e>e^{-1}

הגרף של exe^x למעלה

S=[ex+e−x]01=(e+1e)−2≈1.09\begin{aligned}S &= \Big[e^x+e^{-x}\Big]_0^1 \\ &= \left(e+\frac{1}{e}\right)-2\approx 1.09\end{aligned}

הקדומה של −e−x-e^{-x} היא e−xe^{-x}

הקדומה של e−xe^{-x} היא −e−x-e^{-x}. לכן הקדומה של ex−e−xe^x-e^{-x} היא ex+e−xe^x+e^{-x}: שני סימנים מתהפכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=3xy=\frac{3}{x} לבין הישר y=4−xy=4-x. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7

Corrigé :

3x=4−x ⇒ x2−4x+3=0 ⇒ x=1 x=3\begin{aligned}\frac{3}{x} &= 4-x \ \Rightarrow \ x^2-4x+3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

החיתוכים

x=2: 2>1.5x=2: \ 2>1.5

הישר למעלה

S=[4x−x22−3ln⁡x]13=(7.5−3ln⁡3)−3.5=4−3ln⁡3≈0.70\begin{aligned}S &= \Big[4x-\frac{x^2}{2}-3\ln x\Big]_1^3 \\ &= (7.5-3\ln 3)-3.5 \\ &= 4-3\ln 3\approx 0.70\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הגבולות באים מהחיתוכים, לא מהצירים. ובגבול 11: ln⁡1=0\ln 1=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מוצאים את החיתוך של f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=2e−x+1g(x)=2e^{-x}+1. מציבים t=ext=e^x וכופלים ב-tt. השלימו.

t2−t−t^2-t- ____ =0=0 ; הפתרון החיובי: ex=e^x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : t2−t−t^2-t- 2 =0=0 ; הפתרון החיובי: ex=e^x= 2

Corrigé :

ex=2ex+1 ⇒ t2=2+t\begin{aligned}e^x &= \frac{2}{e^x}+1 \ \Rightarrow \ t^2 \\ &= 2+t\end{aligned}

כופלים ב-t=ext=e^x

t2−t−2=0 ⇒ t=2 t=−1\begin{aligned}t^2-t-2 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2 \\ \ t &= -1\end{aligned}

משוואה ממעלה שנייה

ex=2 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}e^x &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

ex>0e^x>0 תמיד

הפתרון t=−1t=-1 נפסל: exe^x חיובי לכל xx. נשאר x=ln⁡2x=\ln 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונות f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=2e−x+1g(x)=2e^{-x}+1. הגרפים נחתכים ב-x=ln⁡2x=\ln 2. חשבו את השטח המוגבל על ידי שני הגרפים וציר ה-yy. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.69

Corrigé :

g(0)=3>f(0)=1\begin{aligned}g(0) &= 3>f(0) \\ &= 1\end{aligned}

gg למעלה

S=∫0ln⁡2(2e−x+1−ex) dx=[−2e−x+x−ex]0ln⁡2\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 2}(2e^{-x}+1-e^x)\,dx \\ &= \Big[-2e^{-x}+x-e^x\Big]_0^{\ln 2}\end{aligned}

פונקציה קדומה

=(−1+ln⁡2−2)−(−2−1)=ln⁡2≈0.69=(-1+\ln 2-2)-(-2-1)=\ln 2\approx 0.69

e−ln⁡2=12e^{-\ln 2}=\frac{1}{2}

הקדומה של 2e−x2e^{-x} היא −2e−x-2e^{-x}. והחישוב e−ln⁡2=12e^{-\ln 2}=\frac{1}{2} הוא המקום שבו רוב הטעויות קורות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

∫−11(ex−e−x) dx=0\int_{-1}^{1}(e^x-e^{-x})\,dx=0. לכן השטח בין הגרפים של y=exy=e^x ו-y=e−xy=e^{-x} בקטע [−1,1][-1,1] הוא 00.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

[ex+e−x]−11=0\Big[e^x+e^{-x}\Big]_{-1}^{1}=0

האינטגרל אכן 00

S=2(e+1e−2)≈2.17S=2\left(e+\frac{1}{e}-2\right)\approx 2.17

אבל הגרפים נחתכים ב-x=0x=0

לא נכון. משמאל ל-00 הגרף של e−xe^{-x} למעלה, ומימין הגרף של exe^x. האינטגרל מחסר חלק מחלק; השטח מחבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

איזה אינטגרל נותן את השטח המוגבל בין y=4xy=\frac{4}{x} לבין y=5−xy=5-x?

  1. ∫14(5−x−4x)dx\int_1^4 \left(5-x-\frac{4}{x}\right)dx
  2. ∫04(5−x−4x)dx\int_0^4 \left(5-x-\frac{4}{x}\right)dx
  3. ∫14(4x−5+x)dx\int_1^4 \left(\frac{4}{x}-5+x\right)dx
  4. ∫15(5−x−4x)dx\int_1^5 \left(5-x-\frac{4}{x}\right)dx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ∫14(5−x−4x)dx\int_1^4 \left(5-x-\frac{4}{x}\right)dx

Corrigé :

x=1 x=4\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

החיתוכים

x=2: 3>2x=2: \ 3>2

הישר למעלה

הנכונה היא הראשונה. השנייה הפוכה. בשלישית 4x\frac{4}{x} לא מוגדרת ב-00. ו-55 הוא חיתוך הישר עם ציר ה-xx, לא עם הגרף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מצאו את השורה השגויה: השטח בין y=exy=e^x, y=5−exy=5-e^x וציר ה-yy.

ex=5−ex ⇒ x=ln⁡2.5\begin{aligned}e^x &= 5-e^x \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2.5\end{aligned}
S=∫0ln⁡2.5(ex−(5−ex))dxS=\int_0^{\ln 2.5}\big(e^x-(5-e^x)\big)dx
S=5ln⁡2.5−3≈1.58S=5\ln 2.5-3\approx 1.58
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S=∫0ln⁡2.5(ex−(5−ex))dxS=\int_0^{\ln 2.5}\big(e^x-(5-e^x)\big)dx → S=∫0ln⁡2.5((5−ex)−ex)dxS=\int_0^{\ln 2.5}\big((5-e^x)-e^x\big)dx

Corrigé :

x=0: 5−1=4>1\begin{aligned}x &= 0: \ 5-1 \\ &= 4>1\end{aligned}

הישר 5−ex5-e^x למעלה

[5x−2ex]0ln⁡2.5=5ln⁡2.5−5+2\Big[5x-2e^x\Big]_0^{\ln 2.5}=5\ln 2.5-5+2

החישוב הנכון

השורה השנייה הפוכה: העליון הוא 5−ex5-e^x. השורה השלישית נכונה, ולכן היא לא יכולה לבוא מהשורה השנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=e2xy=e^{2x}, הישר y=4y=4 וציר ה-yy. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.27

Corrigé :

e2x=4 ⇒ 2x=ln⁡4 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}e^{2x} &= 4 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= \ln 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

החיתוך

S=∫0ln⁡2(4−e2x) dx=[4x−12e2x]0ln⁡2\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 2}(4-e^{2x})\,dx \\ &= \Big[4x-\frac{1}{2}e^{2x}\Big]_0^{\ln 2}\end{aligned}

הישר למעלה

=(4ln⁡2−2)−(0−12)=4ln⁡2−1.5≈1.27=(4\ln 2-2)-\left(0-\frac{1}{2}\right)=4\ln 2-1.5\approx 1.27

On remplace (מציבים)

12ln⁡4=ln⁡2\frac{1}{2}\ln 4=\ln 2. ובגבול התחתון: −12e0=−12-\frac{1}{2}e^0=-\frac{1}{2}, ולא 00.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe