L’aire sous le graphe de f′

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בסעיף האחרון של שאלות החקירה מבקשים לעתים קרובות שטח מתחת לגרף של הנגזרת f′f'.

לא צריך לחפש פונקציה קדומה. ff עצמה היא פונקציה קדומה של f′f'.

∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)

איפה הגרף של f′(x)=2e2x−4exf'(x)=2e^{2x}-4e^x מתחת לציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

כאשר x<ln⁡2x<\ln 2. שם ff יורדת. פותרים 2ex(ex−2)<02e^x(e^x-2)<0: ex<2e^x<2.

השטח מתחת לגרף של f′f'

השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx וציר ה-yy

עבור f(x)=e2x−4exf(x)=e^{2x}-4e^x. בקטע [0,ln⁡2][0,\ln 2] הגרף של f′f' מתחת לציר.

f′(x)=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

הגבול השני

S=−∫0ln⁡2f′(x) dx=f(0)−f(ln⁡2)\begin{aligned}S &= -\int_0^{\ln 2} f'(x)\,dx \\ &= f(0)-f(\ln 2)\end{aligned}

מתחת לציר: מחליפים את הסדר

f(0)=1−4=−3f(ln⁡2)=4−8=−4\begin{aligned}f(0) &= 1-4 \\ &= -3 \qquad f(\ln 2) \\ &= 4-8 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים ב-ff, לא ב-f′f'

S=−3−(−4)=1\begin{aligned}S &= -3-(-4) \\ &= 1\end{aligned}

התוצאה

בלי לחשב: האם השטח בין x=ln⁡2x=\ln 2 ל-x=1x=1 שווה ל-f(1)−f(ln⁡2)f(1)-f(\ln 2) או ל-f(ln⁡2)−f(1)f(\ln 2)-f(1)?

Voir la réponse et le corrigé

f(1)−f(ln⁡2)f(1)-f(\ln 2). שם f′>0f'>0: ff עולה, ולכן f(1)>f(ln⁡2)f(1)>f(\ln 2), וההפרש חיובי.

כשהנגזרת קשה לאינטגרל

לפעמים f′f' היא שבר שאין לנו כלל עבורו, כמו 2xx2+1\frac{2x}{x^2+1}. אבל אם ff נתונה, לא צריך כלל.

f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1): השטח מתחת לגרף של f′f', מ-x=0x=0 עד x=2x=2

בקטע הזה f′(x)=2xx2+1≥0f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}\ge 0.

∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)\int_0^2 f'(x)\,dx=f(2)-f(0)

האינטגרל של הנגזרת

=ln⁡5−ln⁡1=ln⁡5≈1.61=\ln 5-\ln 1=\ln 5\approx 1.61

מציבים ב-ff

הסימן של f′f' קובע. איפה ש-ff עולה, השטח הוא f(b)−f(a)f(b)-f(a). איפה ש-ff יורדת, הוא f(a)−f(b)f(a)-f(b).

שתי טעויות בשטח מתחת ל-f′f'.

S=f′(ln⁡2)−f′(0)S=f'(\ln 2)-f'(0)
S=f(0)−f(ln⁡2)S=f(0)-f(\ln 2)

מציבים ב-ff, הפונקציה הקדומה, לא בנגזרת.

S=f(ln⁡2)−f(0)=−1\begin{aligned}S &= f(\ln 2)-f(0) \\ &= -1\end{aligned}
S=f(0)−f(ln⁡2)=1\begin{aligned}S &= f(0)-f(\ln 2) \\ &= 1\end{aligned}

בקטע הזה f′f' מתחת לציר. שטח לא יכול להיות שלילי: הופכים את הסדר.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=ex+x2f(x)=e^x+x^2. חשבו את ∫01f′(x) dx\int_0^1 f'(x)\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.72

Corrigé :

∫01f′(x) dx=f(1)−f(0)\int_0^1 f'(x)\,dx=f(1)-f(0)

האינטגרל של הנגזרת

=(e+1)−(1+0)=e≈2.72=(e+1)-(1+0)=e\approx 2.72

מציבים ב-ff

אין צורך לגזור ואז לחפש קדומה: ff כבר כאן. ובגבול 00: f(0)=e0=1f(0)=e^0=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

למה שווה ∫abf′(x) dx\int_a^b f'(x)\,dx?

  1. f(a)−f(b)f(a)-f(b)
  2. f(b)−f(a)f(b)-f(a)
  3. f′(b)⋅(b−a)f'(b)\cdot(b-a)
  4. f′(b)−f′(a)f'(b)-f'(a)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B f(b)−f(a)f(b)-f(a)

Corrigé :

(f(x))′=f′(x)\big(f(x)\big)'=f'(x)

ff est une primitive (פונקציה קדומה) de f′f'

הנכונה: f(b)−f(a)f(b)-f(a). ff היא הפונקציה הקדומה של f′f', ובה מציבים. הצבה ב-f′f' היא הטעות הנפוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=ln⁡(x2+3)f(x)=\ln(x^2+3). חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=1x=1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.29

Corrigé :

f′(x)=2xx2+3=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{x^2+3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

הגבול השני

0<x<1: f′(x)>00<x<1: \ f'(x)>0

הגרף מעל הציר

S=f(1)−f(0)=ln⁡4−ln⁡3=ln⁡43≈0.29\begin{aligned}S &= f(1)-f(0) \\ &= \ln 4-\ln 3 \\ &= \ln\frac{4}{3}\approx 0.29\end{aligned}

מציבים ב-ff

הגבול השמאלי הוא החיתוך של f′f' עם הציר, x=0x=0. ואת 2xx2+3\frac{2x}{x^2+3} לא צריך לבצע עליו אינטגרל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). כדי לחשב את ∫03f′(x) dx\int_0^3 f'(x)\,dx, צריך קודם למצוא את f′(x)f'(x).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∫03f′(x) dx=f(3)−f(0)=ln⁡10−ln⁡1=ln⁡10\begin{aligned}\int_0^3 f'(x)\,dx &= f(3)-f(0) \\ &= \ln 10-\ln 1 \\ &= \ln 10\end{aligned}

מציבים ישר ב-ff

לא נכון. התשובה היא f(3)−f(0)=ln⁡10f(3)-f(0)=\ln 10. את f′f' צריך רק כדי לדעת איפה הגרף שלה מעל הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

−2−11xyf'y = 0O

נתונה f(x)=e2x−2exf(x)=e^{2x}-2e^x. בסרטוט הגרף של f′f'. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=−1x=-1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

f′(x)=2ex(ex−1)=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= 2e^x(e^x-1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

החיתוך עם הציר

−1<x<0: f′(x)<0-1<x<0: \ f'(x)<0

מתחת לציר

S=f(−1)−f(0)=(e−2−2e−1)−(1−2)\begin{aligned}S &= f(-1)-f(0) \\ &= (e^{-2}-2e^{-1})-(1-2)\end{aligned}

מציבים ב-ff

=e−2−2e−1+1≈0.40=e^{-2}-2e^{-1}+1\approx 0.40

התוצאה

הגרף של f′f' מתחת לציר, ולכן השטח הוא f(−1)−f(0)f(-1)-f(0) ולא f(0)−f(−1)≈−0.40f(0)-f(-1)\approx -0.40.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x, כאשר x>0x>0. השלימו.

f′(x)=0f'(x)=0 כאשר x=x= ____ ; f(1)=f(1)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(x)=0f'(x)=0 כאשר x=x= 1 ; f(1)=f(1)= 1

Corrigé :

f′(x)=1−1x=0 ⇒ x=1\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{x} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

הנגזרת

f(1)=1−ln⁡1=1\begin{aligned}f(1) &= 1-\ln 1 \\ &= 1\end{aligned}

ln⁡1=0\ln 1=0

ב-x=1x=1 יש ל-ff מינימום: משמאל f′<0f'<0, מימין f′>0f'>0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=ex=e. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.72

Corrigé :

f′(1)=0f'(1)=0

הגבול השמאלי

1<x<e: f′(x)>01<x<e: \ f'(x)>0

מעל הציר

S=f(e)−f(1)=(e−1)−1=e−2≈0.72\begin{aligned}S &= f(e)-f(1) \\ &= (e-1)-1 \\ &= e-2\approx 0.72\end{aligned}

ln⁡e=1\ln e=1

הגבולות: החיתוך x=1x=1 והישר x=ex=e. מי שהתחיל מ-x=0x=0 נתקע: ln⁡0\ln 0 לא מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=e2x−4exf(x)=e^{2x}-4e^x, עם מינימום ב-x=ln⁡2x=\ln 2. לכל קטע [a,b][a,b]: למה שווה השטח בין הגרף של f′f' לציר ה-xx?

  • f(b)−f(a)f(b)-f(a)
  • f(a)−f(b)f(a)-f(b)
  • [−1, 0][-1,\,0]
  • [−2, ln⁡2][-2,\,\ln 2]
  • [ln⁡2, 1][\ln 2,\,1]
  • [ln⁡2, 3][\ln 2,\,3]
  • [0, ln⁡2][0,\,\ln 2]
  • [1, 2][1,\,2]
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : [ln⁡2, 1][\ln 2,\,1] — f(b)−f(a)f(b)-f(a) · [0, ln⁡2][0,\,\ln 2] — f(a)−f(b)f(a)-f(b) · [1, 2][1,\,2] — f(b)−f(a)f(b)-f(a) · [−1, 0][-1,\,0] — f(a)−f(b)f(a)-f(b) · [ln⁡2, 3][\ln 2,\,3] — f(b)−f(a)f(b)-f(a) · [−2, ln⁡2][-2,\,\ln 2] — f(a)−f(b)f(a)-f(b)

Corrigé :

x>ln⁡2: f′>0x>\ln 2: \ f'>0

ff עולה

x<ln⁡2: f′<0x<\ln 2: \ f'<0

ff יורדת

מימין למינימום ff עולה, ולכן f(b)>f(a)f(b)>f(a). משמאל לו ff יורדת, וההפרש מתהפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון: f(1)=2f(1)=2, f(3)=7f(3)=7, ו-f′(x)>0f'(x)>0 לכל xx בקטע [1,3][1,3]. מהו השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1, x=3x=3?

  1. 3.53.5
  2. 99
  3. 55
  4. −5-5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 55

Corrigé :

S=∫13f′(x) dx=f(3)−f(1)\begin{aligned}S &= \int_1^3 f'(x)\,dx \\ &= f(3)-f(1)\end{aligned}

הגרף של f′f' מעל הציר

=7−2=5=7-2=5

On remplace (מציבים)

הנכונה: 55. לא צריך לדעת מה ff: מספיקים שני ערכים שלה. 99 מחבר במקום לחסר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=2x−exf(x)=2x-e^x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f' והצירים, ברביע הראשון. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.39

Corrigé :

f′(x)=2−ex=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}f'(x) &= 2-e^x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

0<x<ln⁡2: f′(x)>00<x<\ln 2: \ f'(x)>0

מעל הציר

S=f(ln⁡2)−f(0)=(2ln⁡2−2)−(0−1)=2ln⁡2−1≈0.39\begin{aligned}S &= f(\ln 2)-f(0) \\ &= (2\ln 2-2)-(0-1) \\ &= 2\ln 2-1\approx 0.39\end{aligned}

מציבים ב-ff

הגבולות: ציר ה-yy (x=0x=0) והחיתוך x=ln⁡2x=\ln 2. f(0)=−e0=−1f(0)=-e^0=-1, ולא 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה f(x)=ln⁡(x2−2x+5)f(x)=\ln(x^2-2x+5). חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx וציר ה-yy. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.22

Corrigé :

f′(x)=2x−2x2−2x+5=0 ⇒ x=1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-2}{x^2-2x+5} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך

0<x<1: f′(x)<00<x<1: \ f'(x)<0

מתחת לציר

S=f(0)−f(1)=ln⁡5−ln⁡4=ln⁡1.25≈0.22\begin{aligned}S &= f(0)-f(1) \\ &= \ln 5-\ln 4 \\ &= \ln 1.25\approx 0.22\end{aligned}

מציבים ב-ff

את השבר 2x−2x2−2x+5\frac{2x-2}{x^2-2x+5} אין צורך לבצע עליו אינטגרל: מציבים ב-ff. והגרף מתחת לציר, ולכן f(0)−f(1)f(0)-f(1).

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe