Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: פונקציה קדומה של exe^x ושל 1x\frac{1}{x}, אינטגרל מסוים ושטח פשוט. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

בכל אינטגרל: מחלקים במקדם של xx. ובסוף: e0=1e^0=1, ln⁡1=0\ln 1=0.

Exercices

Exercice 1

מהי ∫e−3x dx\int e^{-3x}\,dx?

  1. −13e−3x+C-\frac{1}{3}e^{-3x}+C
  2. e−3x+Ce^{-3x}+C
  3. −3e−3x+C-3e^{-3x}+C
  4. 13e−3x+C\frac{1}{3}e^{-3x}+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −13e−3x+C-\frac{1}{3}e^{-3x}+C

Corrigé :

(−13e−3x)′=−13⋅(−3)e−3x=e−3x\begin{aligned}\left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right)' &= -\frac{1}{3}\cdot(-3)e^{-3x} \\ &= e^{-3x}\end{aligned}

בודקים בגזירה

מחלקים במקדם −3-3, כולל הסימן. התשובה 13e−3x\frac{1}{3}e^{-3x} שוכחת את המינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∫013e3x dx\int_0^1 3e^{3x}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 19.09

Corrigé :

∫3e3x dx=e3x\int 3e^{3x}\,dx=e^{3x}

ה-33 שבחוץ מבטל את החלוקה ב-33

e3−e0=e3−1≈19.09e^3-e^0=e^3-1\approx 19.09

On remplace (מציבים)

כאן אין שבר בתשובה: 3⋅13=13\cdot\frac{1}{3}=1. ו-e0=1e^0=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את ∫132x dx\int_1^3 \frac{2}{x}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.2

Corrigé :

[2ln⁡x]13=2ln⁡3−2ln⁡1\Big[2\ln x\Big]_1^3=2\ln 3-2\ln 1

פונקציה קדומה

=2ln⁡3≈2.20=2\ln 3\approx 2.20

ln⁡1=0\ln 1=0

המספר 22 נשאר מחוץ ל-ln⁡\ln: 2ln⁡32\ln 3, ולא ln⁡6\ln 6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הפונקציה ln⁡(4x)\ln(4x) היא פונקציה קדומה של 1x\frac{1}{x}, כאשר x>0x>0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(ln⁡(4x))′=44x=1x\begin{aligned}\left(\ln(4x)\right)' &= \frac{4}{4x} \\ &= \frac{1}{x}\end{aligned}

גוזרים

ln⁡(4x)=ln⁡4+ln⁡x\ln(4x)=\ln 4+\ln x

חוק הלוגריתמים

נכון. ln⁡(4x)\ln(4x) שונה מ-ln⁡x\ln x רק בקבוע ln⁡4\ln 4, ולכן גם היא פונקציה קדומה של 1x\frac{1}{x}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את ∫0ln⁡5ex dx\int_0^{\ln 5} e^x\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

eln⁡5−e0=5−1e^{\ln 5}-e^0=5-1

On remplace (מציבים)

=4=4

התוצאה

eln⁡5=5e^{\ln 5}=5, ובגבול התחתון e0=1e^0=1. מי שקיבל 55 שכח את הגבול התחתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

התאימו לכל אינטגרל את הערך שלו.

  • ∫0ln⁡2ex dx\int_0^{\ln 2} e^x\,dx
  • ∫1e21x dx\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx
  • ∫0ln⁡4ex dx\int_0^{\ln 4} e^x\,dx
  • ∫1e41x dx\int_1^{e^4} \frac{1}{x}\,dx
  • 11
  • 22
  • 33
  • 44
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∫0ln⁡2ex dx\int_0^{\ln 2} e^x\,dx — 11 · ∫1e21x dx\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx — 22 · ∫0ln⁡4ex dx\int_0^{\ln 4} e^x\,dx — 33 · ∫1e41x dx\int_1^{e^4} \frac{1}{x}\,dx — 44

Corrigé :

∫0ln⁡aex dx=a−1\int_0^{\ln a} e^x\,dx=a-1

עם exe^x

∫1ek1x dx=ln⁡ek=k\begin{aligned}\int_1^{e^k}\frac{1}{x}\,dx &= \ln e^k \\ &= k\end{aligned}

עם 1x\frac{1}{x}

שני הכללים: eln⁡a=ae^{\ln a}=a ו-ln⁡ek=k\ln e^k=k. ואל תשכחו את e0=1e^0=1 בגבול 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=ex2y=e^{\frac{x}{2}}, הצירים והישר x=2x=2. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.44

Corrigé :

∫e0.5x dx=2e0.5x\int e^{0.5x}\,dx=2e^{0.5x}

מחלקים ב-0.50.5

2e1−2e0=2(e−1)≈3.442e^1-2e^0=2(e-1)\approx 3.44

On remplace (מציבים)

חלוקה ב-12\frac{1}{2} היא כפל ב-22. מי שכפל ב-12\frac{1}{2} קיבל 0.860.86.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

השלימו.

∫(e2x+1x)dx=\int \left(e^{2x}+\frac{1}{x}\right)dx= ____ ⋅e2x+ln⁡x+C\cdot e^{2x}+\ln x+C

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∫(e2x+1x)dx=\int \left(e^{2x}+\frac{1}{x}\right)dx= 0.5 ⋅e2x+ln⁡x+C\cdot e^{2x}+\ln x+C

Corrigé :

∫e2x dx=12e2x\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}

מחלקים ב-22

כל מחובר לחוד. המקדם 12=0.5\frac{1}{2}=0.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו את ∫241x−1 dx\int_2^4 \frac{1}{x-1}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.1

Corrigé :

[ln⁡(x−1)]24=ln⁡3−ln⁡1\Big[\ln(x-1)\Big]_2^4=\ln 3-\ln 1

On remplace (מציבים)

=ln⁡3≈1.10=\ln 3\approx 1.10

ln⁡1=0\ln 1=0

מציבים בתוך הסוגריים x−1x-1: 4−1=34-1=3, 2−1=12-1=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהו השטח המוגבל על ידי הגרף של y=exy=e^x, ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=1x=1?

  1. 2e2e
  2. e−1e-1
  3. e−1ee-\frac{1}{e}
  4. e+1ee+\frac{1}{e}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C e−1ee-\frac{1}{e}

Corrigé :

ex>0e^x>0

הגרף מעל הציר

e1−e−1=e−1e≈2.35e^1-e^{-1}=e-\frac{1}{e}\approx 2.35

עליון פחות תחתון

הנכונה: e−1ee-\frac{1}{e}. e−1e-1 מתחיל מ-x=0x=0 ולא מ-x=−1x=-1.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe