Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בדרגה בינונית: שטח עם חיתוך שמוצאים בעזרת ln⁡\ln, שטח בין שני גרפים עם הצבה, ושטח מתחת לגרף של f′f'.

בכל שאלת שטח: חיתוכים, מי למעלה, ורק אז אינטגרל.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=e2x−9f(x)=e^{2x}-9. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff ושני הצירים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.89

Corrigé :

e2x=9 ⇒ x=12ln⁡9=ln⁡3\begin{aligned}e^{2x} &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\ln 9 \\ &= \ln 3\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

0<x<ln⁡3: f(x)<00<x<\ln 3: \ f(x)<0

מתחת לציר

S=∫0ln⁡3(9−e2x) dx=[9x−12e2x]0ln⁡3=(9ln⁡3−4.5)+0.5\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 3}(9-e^{2x})\,dx \\ &= \Big[9x-\frac{1}{2}e^{2x}\Big]_0^{\ln 3} \\ &= (9\ln 3-4.5)+0.5\end{aligned}

אפס פחות ff

=9ln⁡3−4≈5.89=9\ln 3-4\approx 5.89

התוצאה

הגרף מתחת לציר, ולכן מחשבים ∫(0−f)\int(0-f). ו-12ln⁡9=ln⁡3\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונות f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=4−3e−xg(x)=4-3e^{-x}. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.39

Corrigé :

t2−4t+3=0 ⇒ t=1 t=3 ⇒ x=0 x=ln⁡3\begin{aligned}t^2-4t+3 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= \ln 3\end{aligned}

החיתוכים, עם t=ext=e^x

g(0.5)≈2.18>f(0.5)≈1.65g(0.5)\approx 2.18>f(0.5)\approx 1.65

gg למעלה

S=[4x+3e−x−ex]0ln⁡3=(4ln⁡3+1−3)−(3−1)\begin{aligned}S &= \Big[4x+3e^{-x}-e^x\Big]_0^{\ln 3} \\ &= (4\ln 3+1-3)-(3-1)\end{aligned}

On remplace (מציבים)

=4ln⁡3−4≈0.39=4\ln 3-4\approx 0.39

התוצאה

הגבולות הם שני החיתוכים. e−ln⁡3=13e^{-\ln 3}=\frac{1}{3}, ולכן 3e−ln⁡3=13e^{-\ln 3}=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

איפה נחתכים הגרפים של y=e2xy=e^{2x} ו-y=ex+6y=e^x+6?

  1. x=ln⁡2x=\ln 2
  2. x=12ln⁡6x=\frac{1}{2}\ln 6
  3. x=ln⁡3x=\ln 3
  4. x=ln⁡6x=\ln 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x=ln⁡3x=\ln 3

Corrigé :

t2−t−6=0 ⇒ t=3 t=−2\begin{aligned}t^2-t-6 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3 \\ \ t &= -2\end{aligned}

t=ext=e^x

ex=3 ⇒ x=ln⁡3\begin{aligned}e^x &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 3\end{aligned}

t=−2t=-2 נפסל

הנכונה: ln⁡3\ln 3. ln⁡2\ln 2 בא מהפתרון הפסול t=−2t=-2 בלי הסימן. 12ln⁡6\frac{1}{2}\ln 6 מתעלם מ-exe^x שבאגף ימין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=6xy=\frac{6}{x} לבין הישר y=7−xy=7-x. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.75

Corrigé :

x2−7x+6=0 ⇒ x=1 x=6\begin{aligned}x^2-7x+6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 6\end{aligned}

החיתוכים

x=2: 5>3x=2: \ 5>3

הישר למעלה

S=[7x−x22−6ln⁡x]16=(24−6ln⁡6)−6.5=17.5−6ln⁡6≈6.75\begin{aligned}S &= \Big[7x-\frac{x^2}{2}-6\ln x\Big]_1^6 \\ &= (24-6\ln 6)-6.5 \\ &= 17.5-6\ln 6\approx 6.75\end{aligned}

On remplace (מציבים)

בגבול העליון: 42−18−6ln⁡642-18-6\ln 6. בגבול התחתון: 7−0.5−07-0.5-0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=e2x−10xf(x)=e^{2x}-10x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f' ושני הצירים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.05

Corrigé :

f′(x)=2e2x−10=0 ⇒ x=12ln⁡5\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}-10 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\ln 5\end{aligned}

החיתוך

0<x<12ln⁡5: f′(x)<00<x<\frac{1}{2}\ln 5: \ f'(x)<0

מתחת לציר

S=f(0)−f(12ln⁡5)=1−(5−5ln⁡5)=5ln⁡5−4≈4.05\begin{aligned}S &= f(0)-f\left(\tfrac{1}{2}\ln 5\right) \\ &= 1-(5-5\ln 5) \\ &= 5\ln 5-4\approx 4.05\end{aligned}

מציבים ב-ff: eln⁡5=5e^{\ln 5}=5

מציבים ב-ff, לא ב-f′f'. ו-e2⋅12ln⁡5=eln⁡5=5e^{2\cdot\frac{1}{2}\ln 5}=e^{\ln 5}=5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

∫1312x−1 dx=ln⁡5\int_1^3 \frac{1}{2x-1}\,dx=\ln 5.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

[12ln⁡(2x−1)]13=12ln⁡5−12ln⁡1\Big[\frac{1}{2}\ln(2x-1)\Big]_1^3=\frac{1}{2}\ln 5-\frac{1}{2}\ln 1

מחלקים במקדם 22

=12ln⁡5≈0.80=\frac{1}{2}\ln 5\approx 0.80

התוצאה

לא נכון. חסרה החלוקה במקדם 22 של xx: התשובה היא 12ln⁡5\frac{1}{2}\ln 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=2xy=\frac{2}{x}, הישר y=2xy=2x והישר x=2x=2. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.61

Corrigé :

2x=2x ⇒ x=1\begin{aligned}\frac{2}{x} &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך, כאשר x>0x>0

x=2: 4>1x=2: \ 4>1

הישר y=2xy=2x למעלה

S=[x2−2ln⁡x]12=(4−2ln⁡2)−1=3−2ln⁡2≈1.61\begin{aligned}S &= \Big[x^2-2\ln x\Big]_1^2 \\ &= (4-2\ln 2)-1 \\ &= 3-2\ln 2\approx 1.61\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הגבול השמאלי הוא החיתוך x=1x=1, לא x=0x=0: שם 2x\frac{2}{x} לא מוגדרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מצאו את השורה השגויה בחישוב של ∫0122x+1 dx\int_0^1 \frac{2}{2x+1}\,dx.

F(x)=2ln⁡(2x+1)F(x)=2\ln(2x+1)
F(1)−F(0)=2ln⁡3−2ln⁡1F(1)-F(0)=2\ln 3-2\ln 1
=2ln⁡3≈2.20=2\ln 3\approx 2.20
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : F(x)=2ln⁡(2x+1)F(x)=2\ln(2x+1) → F(x)=ln⁡(2x+1)F(x)=\ln(2x+1)

Corrigé :

2⋅12ln⁡(2x+1)=ln⁡(2x+1)2\cdot\frac{1}{2}\ln(2x+1)=\ln(2x+1)

המונה 22 כפול החלוקה ב-22

ln⁡3≈1.10\ln 3\approx 1.10

התשובה הנכונה

הטעות בשורה הראשונה: שכחו לחלק במקדם 22 של xx. כאן המונה 22 והחלוקה מבטלים זה את זה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו את ∫−11(ex+e−x)dx\int_{-1}^{1}\left(e^x+e^{-x}\right)dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.7

Corrigé :

F(x)=ex−e−xF(x)=e^x-e^{-x}

הקדומה של e−xe^{-x} היא −e−x-e^{-x}

F(1)−F(−1)=(e−1e)−(1e−e)F(1)-F(-1)=\left(e-\frac{1}{e}\right)-\left(\frac{1}{e}-e\right)

On remplace (מציבים)

=2(e−1e)≈4.70=2\left(e-\frac{1}{e}\right)\approx 4.70

התוצאה

ב-F(−1)F(-1): e−1−e1e^{-1}-e^{1}. שני סימנים מתהפכים, וזה המקום לטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=e2x−3ex+2f(x)=e^{2x}-3e^x+2. השלימו.

הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=0x=0 וב-x=ln⁡x=\ln ____ ; f(ln⁡1.5)=f(\ln 1.5)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=0x=0 וב-x=ln⁡x=\ln 2 ; f(ln⁡1.5)=f(\ln 1.5)= -0.25

Corrigé :

t2−3t+2=0 ⇒ t=1 t=2\begin{aligned}t^2-3t+2 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 2\end{aligned}

t=ext=e^x

f(ln⁡1.5)=2.25−4.5+2=−0.25\begin{aligned}f(\ln 1.5) &= 2.25-4.5+2 \\ &= -0.25\end{aligned}

נקודת בדיקה

f(ln⁡1.5)<0f(\ln 1.5)<0: בין שני החיתוכים הגרף מתחת לציר. לכן השטח שם הוא −∫f-\int f.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe