Série 3 — niveau bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פונקציה עם ee, פונקציה עם ln⁡\ln, ושני גרפים.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. לפני שמתחילים סעיף, חפשו מה כבר מצאתם: חיתוך, קיצון, תחום.

Exercices

Exercice 1

−2−11−1123xyfy = 3

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של ff עם ציר ה-xx.

x=0x=0 ; x=ln⁡x=\ln ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=0x=0 ; x=ln⁡x=\ln 3

Corrigé :

t=ex: t2−4t+3=0\begin{aligned}t &= e^x: \ t^2-4t+3 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

t=1 t=3 ⇒ x=0 x=ln⁡3\begin{aligned}t &= 1 \\ \ t &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= \ln 3\end{aligned}

חוזרים ל-xx

הגרף עובר דרך ראשית הצירים: f(0)=1−4+3=0f(0)=1-4+3=0. זה יהיה גבול בסעיף ד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. ב. מצאו את נקודת הקיצון של ff וקבעו את סוגה.

מינימום: x=ln⁡x=\ln ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מינימום: x=ln⁡x=\ln 2 , y=y= -1

Corrigé :

f′(x)=2e2x−4ex=2ex(ex−2)=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}-4e^x \\ &= 2e^x(e^x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

הנגזרת

f′(0)=−2<0f′(1)=2e2−4e>0\begin{aligned}f'(0) &= -2<0 \qquad f'(1) \\ &= 2e^2-4e>0\end{aligned}

מ-−- ל-++

f(ln⁡2)=4−8+3=−1\begin{aligned}f(\ln 2) &= 4-8+3 \\ &= -1\end{aligned}

המינימום

ה-xx של המינימום בין שני החיתוכים 00 ו-ln⁡3\ln 3, ו-yy שלילי: הגרף יורד מתחת לציר ביניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. ג. מצאו את האסימפטוטה האופקית של ff כאשר x→−∞x\to-\infty. רשמו את ערך ה-yy שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x→−∞: e2x→0, ex→0x\to-\infty: \ e^{2x}\to 0, \ e^x\to 0

החזקות של ee דועכות

f(x)→3f(x)\to 3

האסימפטוטה y=3y=3

כאשר x→−∞x\to-\infty רק הקבוע נשאר. כאשר x→∞x\to\infty אין אסימפטוטה: e2xe^{2x} גדל בלי גבול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff וציר ה-xx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7

Corrigé :

0≤x≤ln⁡3: f(x)≤00\le x\le\ln 3: \ f(x)\le 0

בין החיתוכים, מתחת לציר

S=−[12e2x−4ex+3x]0ln⁡3S=-\Big[\frac{1}{2}e^{2x}-4e^x+3x\Big]_0^{\ln 3}

אפס פחות ff

=−[(4.5−12+3ln⁡3)−(0.5−4)]=4−3ln⁡3≈0.70=-\left[(4.5-12+3\ln 3)-(0.5-4)\right]=4-3\ln 3\approx 0.70

On remplace (מציבים)

הגבולות הם שני החיתוכים מסעיף א. האינטגרל עצמו יוצא 3ln⁡3−4<03\ln 3-4<0; השטח הוא המספר החיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). א. מהו תחום ההגדרה של ff?

  1. x≠0x\ne 0 וגם x≠4x\ne 4
  2. 0<x<40<x<4
  3. x<0x<0 או x>4x>4
  4. x>0x>0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 0<x<40<x<4

Corrigé :

4x−x2>0 ⇒ x(4−x)>04x-x^2>0 \ \Rightarrow \ x(4-x)>0

הביטוי בתוך ln⁡\ln חיובי

0<x<40<x<4

פרבולה בוכה: חיובית בין השורשים

הנכונה: 0<x<40<x<4. התשובה x<0x<0 או x>4x>4 היא איפה שהביטוי שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). ב. לגרף של ff יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד: x=0x=0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x→0+: 4x−x2→0+x\to 0^+: \ 4x-x^2\to 0^+

ובאותה דרך x→4−x\to 4^-

ln⁡(0+)→−∞\ln(0^+)\to-\infty

שתי אסימפטוטות: x=0x=0, x=4x=4

לא נכון. בשני הקצוות של התחום הביטוי שבתוך ln⁡\ln שואף ל-00. לכן יש שתי אסימפטוטות אנכיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). ג. מצאו את נקודת הקיצון של ff וקבעו את סוגה.

מקסימום: x=x= ____ , y=ln⁡y=\ln ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: x=x= 2 , y=ln⁡y=\ln 4

Corrigé :

f′(x)=4−2x4x−x2=0 ⇒ x=2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4-2x}{4x-x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

הנגזרת

f′(1)>0f′(3)<0f'(1)>0 \qquad f'(3)<0

מ-++ ל-−-

f(2)=ln⁡4f(2)=\ln 4

המקסימום

המכנה 4x−x24x-x^2 חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של 4−2x4-2x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=3x=3. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.58

Corrigé :

1<x<2: f′>02<x<3: f′<01<x<2: \ f'>0 \qquad 2<x<3: \ f'<0

הגרף של f′f' חותך את הציר ב-x=2x=2

S=(f(2)−f(1))+(f(2)−f(3))S=\big(f(2)-f(1)\big)+\big(f(2)-f(3)\big)

כל חלק לבד

=(ln⁡4−ln⁡3)+(ln⁡4−ln⁡3)=2ln⁡43≈0.58=(\ln 4-\ln 3)+(\ln 4-\ln 3)=2\ln\frac{4}{3}\approx 0.58

f(1)=f(3)=ln⁡3f(1)=f(3)=\ln 3

אינטגרל אחד מ-11 עד 33 נותן f(3)−f(1)=0f(3)-f(1)=0. שני החלקים מתבטלים, ולכן חותכים ב-x=2x=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונות הפונקציות f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=e2−xg(x)=e^{2-x}. א. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרפים.

x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 1

Corrigé :

ex=e2−x ⇒ x=2−x\begin{aligned}e^x &= e^{2-x} \ \Rightarrow \ x \\ &= 2-x\end{aligned}

בסיס שווה, מעריכים שווים

x=1x=1

On résout

אין צורך ב-ln⁡\ln: שני האגפים חזקות של ee, ולכן משווים את המעריכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונות הפונקציות f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=e2−xg(x)=e^{2-x}. ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי שני הגרפים וציר ה-yy. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.95

Corrigé :

x=0: g(0)=e2>f(0)=1\begin{aligned}x &= 0: \ g(0) \\ &= e^2>f(0) \\ &= 1\end{aligned}

gg למעלה בין 00 ל-11

∫e2−x dx=−e2−x\int e^{2-x}\,dx=-e^{2-x}

המקדם של xx הוא −1-1

S=[−e2−x−ex]01=(−e−e)−(−e2−1)=e2−2e+1\begin{aligned}S &= \Big[-e^{2-x}-e^x\Big]_0^1 \\ &= (-e-e)-(-e^2-1) \\ &= e^2-2e+1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

=(e−1)2≈2.95=(e-1)^2\approx 2.95

התוצאה

הקדומה של e2−xe^{2-x} היא −e2−x-e^{2-x}: המינוס מגיע מהמקדם −1-1 של xx.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe