Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: פונקציה קדומה, אינטגרל מסוים עם ee ו-ln⁡\ln, שטח בין גרף לציר, שטח בין שני גרפים ושטח מתחת לגרף של f′f'. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

מהי ∫(ex+2x) dx\int (e^x+2x)\,dx?

  1. xex+x2+Cxe^x+x^2+C
  2. ex+2+Ce^x+2+C
  3. ex+x2+Ce^x+x^2+C
  4. ex+1x+1+x2+C\frac{e^{x+1}}{x+1}+x^2+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ex+x2+Ce^x+x^2+C

Corrigé :

∫ex dx=ex∫2x dx=x2\begin{aligned}\int e^x\,dx &= e^x \qquad \int 2x\,dx \\ &= x^2\end{aligned}

כל מחובר לחוד

הנכונה: ex+x2+Ce^x+x^2+C. ex+2e^x+2 היא נגזרת. והתשובה עם x+1x+1 מעתיקה את הכלל של חזקות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∫0ln⁡32e2x dx\int_0^{\ln 3} 2e^{2x}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

∫2e2x dx=e2x\int 2e^{2x}\,dx=e^{2x}

ה-22 מבטל את החלוקה

e2ln⁡3−e0=9−1=8\begin{aligned}e^{2\ln 3}-e^0 &= 9-1 \\ &= 8\end{aligned}

e2ln⁡3=32e^{2\ln 3}=3^2

e2ln⁡3=(eln⁡3)2=9e^{2\ln 3}=\left(e^{\ln 3}\right)^2=9, ולא 66.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את ∫−201x+3 dx\int_{-2}^{0} \frac{1}{x+3}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.1

Corrigé :

[ln⁡(x+3)]−20=ln⁡3−ln⁡1\Big[\ln(x+3)\Big]_{-2}^{0}=\ln 3-\ln 1

On remplace (מציבים)

=ln⁡3≈1.10=\ln 3\approx 1.10

ln⁡1=0\ln 1=0

בגבול −2-2: −2+3=1-2+3=1, ו-ln⁡1=0\ln 1=0. הגבול השלילי לא מפריע, כי x+3>0x+3>0 בכל הקטע.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=e−xy=e^{-x}, הצירים והישר x=ln⁡4x=\ln 4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

∫e−x dx=−e−x\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}

המקדם −1-1

−e−ln⁡4+e0=−14+1=0.75\begin{aligned}-e^{-\ln 4}+e^0 &= -\frac{1}{4}+1 \\ &= 0.75\end{aligned}

On remplace (מציבים)

e−ln⁡4=14e^{-\ln 4}=\frac{1}{4}. מי ששכח את המינוס בקדומה קיבל −0.75-0.75.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=exy=e^x, הישר y=2y=2 וציר ה-yy. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.39

Corrigé :

ex=2 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}e^x &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

החיתוך

S=[2x−ex]0ln⁡2=(2ln⁡2−2)−(0−1)\begin{aligned}S &= \Big[2x-e^x\Big]_0^{\ln 2} \\ &= (2\ln 2-2)-(0-1)\end{aligned}

הישר למעלה

=2ln⁡2−1≈0.39=2\ln 2-1\approx 0.39

התוצאה

הישר y=2y=2 למעלה: ב-x=0x=0, e0=1<2e^0=1<2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

∫011x+1 dx=ln⁡2\int_0^1 \frac{1}{x+1}\,dx=\ln 2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

[ln⁡(x+1)]01=ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\begin{aligned}\Big[\ln(x+1)\Big]_0^1 &= \ln 2-\ln 1 \\ &= \ln 2\end{aligned}

On remplace (מציבים)

נכון. ln⁡2≈0.69\ln 2\approx 0.69.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=12e2x−2xf(x)=\frac{1}{2}e^{2x}-2x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f' ושני הצירים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.19

Corrigé :

f′(x)=e2x−2=0 ⇒ x=12ln⁡2\begin{aligned}f'(x) &= e^{2x}-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\ln 2\end{aligned}

החיתוך

0<x<12ln⁡2: f′(x)<00<x<\frac{1}{2}\ln 2: \ f'(x)<0

מתחת לציר

S=f(0)−f(12ln⁡2)=12−(1−ln⁡2)=ln⁡2−0.5≈0.19\begin{aligned}S &= f(0)-f\left(\tfrac{1}{2}\ln 2\right) \\ &= \frac{1}{2}-(1-\ln 2) \\ &= \ln 2-0.5\approx 0.19\end{aligned}

מציבים ב-ff

e2⋅12ln⁡2=2e^{2\cdot\frac{1}{2}\ln 2}=2, ולכן f(12ln⁡2)=1−ln⁡2f\left(\frac{1}{2}\ln 2\right)=1-\ln 2.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — אתגר

Exercice 8

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=8xy=\frac{8}{x} לבין הישר y=6−xy=6-x. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.45

Corrigé :

x2−6x+8=0 ⇒ x=2 x=4\begin{aligned}x^2-6x+8 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

החיתוכים

x=3: 3>83x=3: \ 3>\frac{8}{3}

הישר למעלה

S=[6x−x22−8ln⁡x]24=(16−8ln⁡4)−(10−8ln⁡2)\begin{aligned}S &= \Big[6x-\frac{x^2}{2}-8\ln x\Big]_2^4 \\ &= (16-8\ln 4)-(10-8\ln 2)\end{aligned}

On remplace (מציבים)

=6−8ln⁡2≈0.45=6-8\ln 2\approx 0.45

ln⁡4=2ln⁡2\ln 4=2\ln 2

שני הגבולות נותנים ln⁡\ln: 8ln⁡4−8ln⁡2=8ln⁡28\ln 4-8\ln 2=8\ln 2. בלי חוק הלוגריתמים קשה לפשט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=e2x−2exf(x)=e^{2x}-2e^x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx וציר ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

ex(ex−2)=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}e^x(e^x-2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

0<x<ln⁡2: f(x)<00<x<\ln 2: \ f(x)<0

מתחת לציר

S=−[12e2x−2ex]0ln⁡2=−[(2−4)−(12−2)]=0.5\begin{aligned}S &= -\Big[\frac{1}{2}e^{2x}-2e^x\Big]_0^{\ln 2} \\ &= -\left[(2-4)-\left(\frac{1}{2}-2\right)\right] \\ &= 0.5\end{aligned}

On remplace (מציבים)

האינטגרל יוצא −0.5-0.5: הגרף מתחת לציר. השטח הוא 0.50.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=3x−1f(x)=\frac{3}{x-1}, כאשר x>1x>1. הנקודה AA על הגרף, ו-xA=4x_A=4. דרך AA העבירו אנך לציר ה-xx. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה-xx, האנך והישר x=2x=2. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.3

Corrigé :

S=∫243x−1 dx=[3ln⁡(x−1)]24\begin{aligned}S &= \int_2^4 \frac{3}{x-1}\,dx \\ &= \Big[3\ln(x-1)\Big]_2^4\end{aligned}

הגרף מעל הציר

=3ln⁡3−3ln⁡1=3ln⁡3≈3.30=3\ln 3-3\ln 1=3\ln 3\approx 3.30

On remplace (מציבים)

האנך דרך A(4, 1)A(4,\,1) הוא x=4x=4. בגבול x=2x=2: ln⁡1=0\ln 1=0.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe