On résout ensemble · Croissance et décroissance · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח שאלת הגדילה והדעיכה בבגרות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל חישוב כותבים את המודל של כל תהליך: $f(0)$ , $q$ , ומה היחידה של $t$ . רוב הטעויות נולדות בשורה הזאת.

1 — שתי מדידות, ואחר כך הזמן

Activité interactive

מספר המשתמשים באפליקציה גדל באחוז קבוע בכל חודש. אחרי חודש אחד היו $2400$ משתמשים, ואחרי 3 חודשים היו $3456$ . א. מצאו את אחוז הגדילה החודשי. ב. כמה משתמשים היו בהתחלה? ג. כעבור כמה חודשים מההתחלה יהיו $10{,}000$ משתמשים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

\begin{aligned}f(1) &= 2400 \\ \quad f(3) &= 3456\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א פותח את השאלה: בלי $q$ אין התחלה ואין זמן.

א. מנה

\begin{aligned}q^2 &= \frac{3456}{2400} \\ &= 1.44\end{aligned}

בין חודש 1 לחודש 3 עברו שני חודשים.

א. שורש

\begin{aligned}q &= \sqrt{1.44} \\ &= 1.2\end{aligned}

גדילה של $20\%$ בחודש.

ב. אחורה

\begin{aligned}f(0) &= \frac{2400}{1.2} \\ &= 2000\end{aligned}

חודש אחד אחורה: מחלקים ב- $q$ פעם אחת.

ג. משוואה

\begin{aligned}2000\cdot 1.2^t &= 10{,}000 \ \Rightarrow \ 1.2^t \\ &= 5\end{aligned}

המודל המלא: $f(t)=2000\cdot 1.2^t$ .

ג. לוגריתם

t=\frac{\log 5}{\log 1.2}\approx 8.83

חודשים מההתחלה.

סעיף ב נתן את $f(0)$ שסעיף ג צריך. מי שפתר את ג מ- $2400$ מדד את הזמן מחודש 1, ולא מההתחלה.

Faire l'activité sur elev

אם בסעיף ג שואלים « כעבור כמה חודשים מהמדידה הראשונה », מה התשובה?

Voir la réponse et le corrigé

מחסירים חודש אחד: $8.83-1=7.83$ . או ישר: $2400\cdot 1.2^s=10{,}000$ , ו- $s=\frac{\log\frac{25}{6}}{\log 1.2}\approx 7.83$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שתי מכוניות: מתי שוות, ומתי אחת זולה יותר

Activité interactive

שתי מכוניות

מכונית א׳ נקנתה ב- $150{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $15\%$ בכל שנה. מכונית ב׳ נקנתה באותו יום ב- $90{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $8\%$ בכל שנה. א. כעבור כמה שנים יהיה ערך המכוניות שווה? ב. מאיזו שנה שלמה ערך מכונית א׳ נמוך מערך מכונית ב׳?

איזו משוואה מתארת את סעיף א?

$150{,}000\cdot 0.85^t=90{,}000\cdot 0.92^t$

Voir la réponse et le corrigé

כל מכונית עם המודל שלה.

$150{,}000\cdot 0.15^t=90{,}000\cdot 0.08^t$

Voir la réponse et le corrigé

$0.15$ הוא החלק שהולך. המכפיל הוא מה שנשאר: $0.85$ .

150{,}000\cdot 0.85^t=90{,}000\cdot 0.92^t

המשוואה.

איך מעבירים לצורה $a^t=c$ ?

מחלקים ב- $150{,}000$ וב- $0.92^t$

Voir la réponse et le corrigé

החזקות לצד אחד, המספרים לצד השני.

מחסירים $0.92^t$ משני האגפים

Voir la réponse et le corrigé

שני האגפים הם מכפלות. חיסור לא יפריד את $t$ .

\begin{aligned}\left(\frac{0.85}{0.92}\right)^t &= \frac{90{,}000}{150{,}000} \\ &= 0.6\end{aligned}

מנה של חזקות עם אותו מעריך.

מה הזמן?

$t=\frac{\log 0.6}{\log\frac{0.85}{0.92}}\approx 6.45$

Voir la réponse et le corrigé

שני הלוגריתמים שליליים: המנה חיובית.

$t=\frac{\log 0.6}{\log 0.07}\approx 0.19$

Voir la réponse et le corrigé

חיסרו את המכפילים ( $0.92-0.85$ ). מחלקים אותם.

t\approx 6.45

סעיף א: כעבור $6.45$ שנים בערך.

סעיף ב: « א׳ נמוך מ-ב׳ ». מה הכיוון אחרי החילוק ב- $\log\frac{0.85}{0.92}$ ?

$t<6.45$

Voir la réponse et le corrigé

ב- $t=0$ מכונית א׳ יקרה יותר. אי-השוויון לא יכול להתקיים בהתחלה.

$t>6.45$

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{0.85}{0.92}<1$ , ולכן הלוגריתם שלו שלילי והכיוון מתהפך.

\left(\frac{0.85}{0.92}\right)^t<0.6 \ \Rightarrow \ t>6.45

מהשנה השלמה הראשונה אחרי $6.45$ : שנה 7.

Voir la réponse et le corrigé

א. כעבור $6.45$ שנים. ב. מהשנה ה-7. בדיקה: אחרי 6 שנים א׳ שווה $56{,}572$ וב׳ $54{,}572$ ; אחרי 7 שנים א׳ $48{,}087$ וב׳ $50{,}206$ .

Faire l'activité sur elev

למה מכונית א׳, שיקרה יותר, נעשית בסוף זולה יותר?

Voir la réponse et le corrigé

כי היא מאבדת אחוז גדול יותר בכל שנה. אחוז גדול מנצח, עם הזמן, כל הפרש בהתחלה.

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 3 ברשימה למטה.

3 — זמן מחצית חיים

Activité interactive

זמן מחצית החיים של חומר הוא 6 שנים. בהתחלה יש $800$ גרם. א. מצאו את $q$ השנתי (ארבע ספרות אחרי הנקודה). ב. כמה גרם יישארו אחרי 10 שנים? ג. כעבור כמה שנים יישארו $50$ גרם?

\begin{aligned}T &= 6 \\ \quad f(0) &= 800\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שימו לב לסעיף ג: אפשר לפתור אותו בלי לוגריתם.

א.

\begin{aligned}q^6 &= 0.5 \ \Rightarrow \ q \\ &= 0.5^{\frac{1}{6}}\approx 0.8909\end{aligned}

ירידה של כ- $10.9\%$ בשנה.

ב.

f(10)=800\cdot 0.5^{\frac{10}{6}}\approx 251.98

עדיף $0.5^{\frac{t}{T}}$ מאשר $q$ המעוגל.

ג. יחס

\begin{aligned}\frac{50}{800} &= \frac{1}{16} \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^4\end{aligned}

ארבעה זמני מחצית חיים.

ג.

\begin{aligned}t &= 4\cdot 6 \\ &= 24\end{aligned}

שנים. ובדרך הלוגריתם: $\frac{\log\frac{1}{16}}{\log 0.8909}\approx 24$ ✓

בסעיף ב, מי שהציב $q=0.89$ קיבל $249.45$ : עיגול של $q$ מזיז את התוצאה. משאירים את $q$ במחשבון.

Faire l'activité sur elev

כמה גרם יישארו אחרי 12 שנים, בלי מחשבון?

Voir la réponse et le corrigé

12 שנים הן שני זמני מחצית חיים: $800\cdot\frac{1}{4}=200$ גרם.

השאלות התאומות: שאלה 4 ושאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

מספר החברים במועדון גדל באחוז קבוע בכל שנה. אחרי שנה אחת היו $1250$ חברים, ואחרי 3 שנים היו $1953.125$ (לפי המודל). השלימו. עגלו את הזמן לשתי ספרות אחרי הנקודה.

אחוז הגדילה השנתי: ____ . בהתחלה היו ____ חברים. כעבור ____ שנים מההתחלה יהיו $5000$ חברים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אחוז הגדילה השנתי: 25 . בהתחלה היו 1000 חברים. כעבור 7.21 שנים מההתחלה יהיו $5000$ חברים.

Corrigé :

\begin{aligned}q^2 &= \frac{1953.125}{1250} \\ &= 1.5625 \ \Rightarrow \ q \\ &= 1.25\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= \frac{1250}{1.25} \\ &= 1000\end{aligned}

\begin{aligned}1.25^t &= 5 \ \Rightarrow \ t \\ &= \frac{\log 5}{\log 1.25}\approx 7.21\end{aligned}

הזמן נמדד מההתחלה, ולכן משתמשים ב- $f(0)=1000$ . מי שהתחיל מ- $1250$ קיבל $6.21$ : שנה אחת פחות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מכונה א׳ נקנתה ב- $200{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $12\%$ בכל שנה. מכונה ב׳ נקנתה באותו יום ב- $100{,}000$ ש״ח, וערכה יורד ב- $5\%$ בכל שנה. כעבור כמה שנים יהיה ערכן שווה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.06

Corrigé :

200{,}000\cdot 0.88^t=100{,}000\cdot 0.95^t

\left(\frac{0.88}{0.95}\right)^t=0.5

t=\frac{\log 0.5}{\log\frac{0.88}{0.95}}\approx 9.06

שנים

אם יצא זמן שלילי, המנה נכתבה הפוך באחד הצדדים: $\left(\frac{0.95}{0.88}\right)^t$ שווה ל- $2$ , ולא ל- $0.5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

אותן שתי מכונות ( $200{,}000\cdot 0.88^t$ ו- $100{,}000\cdot 0.95^t$ ). מאיזו שנה שלמה ערך מכונה א׳ נמוך מערך מכונה ב׳?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

\left(\frac{0.88}{0.95}\right)^t<0.5

t>9.06

הכיוון מתהפך

t=10

מי שכתב $t<9.06$ שכח שהלוגריתם של $\frac{0.88}{0.95}$ שלילי. ב- $t=0$ מכונה א׳ יקרה פי 2, ולכן התשובה לא יכולה להיות « מההתחלה ».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

זמן מחצית החיים של תרופה הוא 8 שעות. בדם יש $960$ מ״ג. כמה מ״ג יישארו אחרי 20 שעות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 169.71

Corrigé :

\frac{20}{8}=2.5

זמני מחצית חיים

960\cdot 0.5^{2.5}\approx 169.71

מ״ג

התשובה לא $240$ (שני חצאים) ולא $120$ (שלושה). $2.5$ זמני מחצית חיים: בין שני המספרים, בחזקה $2.5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

אותה תרופה: זמן מחצית חיים 8 שעות, ובהתחלה $960$ מ״ג. כעבור כמה שעות יישארו $60$ מ״ג?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{60}{960} &= \frac{1}{16} \\ &= 0.5^4\end{aligned}

ארבעה זמני מחצית חיים

\begin{aligned}t &= 4\cdot 8 \\ &= 32\end{aligned}

שעות

מי שענה $16$ חשב ש- $\frac{1}{16}$ הוא שני חצאים. $\frac{1}{16}$ הוא $\frac{1}{2}$ בחזקת 4.

Vérifier la réponse sur elev

1 — שתי מדידות, ואחר כך הזמן

2 — שתי מכוניות: מתי שוות, ומתי אחת זולה יותר

3 — זמן מחצית חיים

Exercices

La suite se pratique sur elev