Deux processus : quand sont-ils égaux ?

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשאלת הבגרות יש בדרך כלל שני תהליכים. אחד גדל ואחד קטן, או ששניהם גדלים באחוזים שונים.

השאלה שחוזרת: מתי הם שווים? ואחריה: מי גדול יותר, ומתי אחד גדול פי כמה מהשני.

שני גרפים, נקודת חיתוך אחת

באגם א׳ יש 12001200 דגים, ומספרם קטן ב-10%10\% בכל שבוע. באגם ב׳ יש 300300 דגים, ומספרם גדל ב-20%20\% בכל שבוע.

שני אגמים
0123456780200400600800100012001400שבועותדגים
  • אגם א׳: A(t)=1200⋅0.9tA(t)=1200\cdot 0.9^t
  • אגם ב׳: B(t)=300⋅1.2tB(t)=300\cdot 1.2^t
הגרפים נחתכים כעבור קצת פחות מ-5 שבועות. לפני החיתוך יש יותר דגים באגם א׳, ואחריו באגם ב׳.

איזה גרף מתאר את אגם ב׳? איך יודעים בלי לקרוא את המקרא?

Voir la réponse et le corrigé

הגרף העולה, שיוצא מ-300300: q=1.2>1q=1.2>1, ו-B(0)=300B(0)=300.

מתי שווים? משוואה אחת

משווים את שני הביטויים. מעבירים את החזקות לצד אחד ואת המספרים לצד השני.

חזקות עם אותו מעריך מתחלקות יחד: ptrt=(pr)t\frac{p^t}{r^t}=\left(\frac{p}{r}\right)^t.

a⋅pt=b⋅rt ⇒ (pr)t=ba\begin{aligned}a\cdot p^t &= b\cdot r^t \ \Rightarrow \ \left(\frac{p}{r}\right)^t \\ &= \frac{b}{a}\end{aligned}

מתי באגמים מספר שווה של דגים?

A(t)=1200⋅0.9tA(t)=1200\cdot 0.9^t ו-B(t)=300⋅1.2tB(t)=300\cdot 1.2^t.

1200⋅0.9t=300⋅1.2t1200\cdot 0.9^t=300\cdot 1.2^t

משווים

1200300=1.2t0.9t ⇒ 4=(43)t\begin{aligned}\frac{1200}{300} &= \frac{1.2^t}{0.9^t} \ \Rightarrow \ 4 \\ &= \left(\frac{4}{3}\right)^t\end{aligned}

מחלקים ב-300300 וב-0.9t0.9^t

t=log⁡4log⁡43≈4.82t=\frac{\log 4}{\log\frac{4}{3}}\approx 4.82

שבועות

כמה דגים יש בכל אגם ברגע השוויון?

Voir la réponse et le corrigé

מציבים באחד מהם: 1200⋅0.94.82≈7221200\cdot 0.9^{4.82}\approx 722. בשני האגמים אותו מספר, וזו דרך טובה לבדוק את tt.

שתי טעויות בשוויון.

(1.2−0.9)t=4\left(1.2-0.9\right)^t=4
(1.20.9)t=4\left(\frac{1.2}{0.9}\right)^t=4

חזקות עם אותו מעריך מחלקים, לא מחסירים.

20%+10%=30% ⇒ 1.3t=4\begin{aligned}20\%+10\% &= 30\% \ \Rightarrow \ 1.3^t \\ &= 4\end{aligned}
1.20.9=43\frac{1.2}{0.9}=\frac{4}{3}

הפער בין התהליכים הוא מנה של המכפילים, לא סכום של אחוזים.

פי kk

« מתי באגם ב׳ יהיו פי 2 דגים מאשר באגם א׳? » כותבים B(t)=2⋅A(t)B(t)=2\cdot A(t). ה-22 מכפיל את הכמות הקטנה.

פי 2

מתי באגם ב׳ יהיו פי 2 דגים מאשר באגם א׳?

300⋅1.2t=2⋅1200⋅0.9t300\cdot 1.2^t=2\cdot 1200\cdot 0.9^t
(43)t=2400300=8\begin{aligned}\left(\frac{4}{3}\right)^t &= \frac{2400}{300} \\ &= 8\end{aligned}
t=log⁡8log⁡43≈7.23t=\frac{\log 8}{\log\frac{4}{3}}\approx 7.23

שבועות

איפה שמים את ה-22?

2⋅300⋅1.2t=1200⋅0.9t2\cdot 300\cdot 1.2^t=1200\cdot 0.9^t
300⋅1.2t=2⋅1200⋅0.9t300\cdot 1.2^t=2\cdot 1200\cdot 0.9^t

« ב׳ פי 2 מ-א׳ » אומר שצריך להכפיל את א׳ כדי להגיע ל-ב׳.

תהליך בשני שלבים

לפעמים אותה כמות עולה בתקופה אחת, ויורדת בתקופה שאחריה. המכפילים מוכפלים זה בזה.

עלייה של 20%20\% ואחריה ירידה של 20%20\%. האם חזרנו לנקודת ההתחלה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. 1.2⋅0.8=0.961.2\cdot 0.8=0.96: ירדנו ב-4%4\%. והסדר לא משנה: גם 0.8⋅1.2=0.960.8\cdot 1.2=0.96.

בתהליך של שני שלבים: f=f(0)⋅q1t1⋅q2t2f=f(0)\cdot q_1^{t_1}\cdot q_2^{t_2}. השלב השני מתחיל מהכמות שבסוף הראשון.

Exercices

Exercice 1

בעיר א׳ גרים 50005000 תושבים, ומספרם גדל ב-10%10\% בכל שנה. בעיר ב׳ גרים 80008000 תושבים, ומספרם גדל ב-5%5\% בכל שנה. כעבור כמה שנים יהיה מספר התושבים בשתי הערים שווה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.1

Corrigé :

5000⋅1.1t=8000⋅1.05t5000\cdot 1.1^t=8000\cdot 1.05^t
(1.11.05)t=1.6\left(\frac{1.1}{1.05}\right)^t=1.6
t=log⁡1.6log⁡1.11.05≈10.10t=\frac{\log 1.6}{\log\frac{1.1}{1.05}}\approx 10.10

שנים

מי שכתב 1.05t=1.61.05^t=1.6 חיסר את האחוזים (10%−5%10\%-5\%). הפער הוא המנה 1.11.05≈1.0476\frac{1.1}{1.05}\approx 1.0476, ולא 1.051.05.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

A(t)=500⋅1.3tA(t)=500\cdot 1.3^t ו-B(t)=4500⋅1.1tB(t)=4500\cdot 1.1^t. איזו משוואה מתארת « AA גדול פי 3 מ-BB »?

  1. 500⋅1.3t=4500⋅1.13t500\cdot 1.3^t=4500\cdot 1.1^{3t}
  2. 500⋅1.3t+3=4500⋅1.1t500\cdot 1.3^t+3=4500\cdot 1.1^t
  3. 3⋅500⋅1.3t=4500⋅1.1t3\cdot 500\cdot 1.3^t=4500\cdot 1.1^t
  4. 500⋅1.3t=3⋅4500⋅1.1t500\cdot 1.3^t=3\cdot 4500\cdot 1.1^t
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 500⋅1.3t=3⋅4500⋅1.1t500\cdot 1.3^t=3\cdot 4500\cdot 1.1^t

Corrigé :

A(t)=3⋅B(t)A(t)=3\cdot B(t)

ה-33 מכפיל את BB

האפשרות הראשונה. האפשרות השנייה אומרת « BB פי 3 מ-AA ». « פי 3 » הוא כפל של הכמות, לא של הזמן ולא תוספת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

f(t)=800⋅0.8tf(t)=800\cdot 0.8^t ו-g(t)=200⋅1.25tg(t)=200\cdot 1.25^t. מצאו את הכמות ברגע שבו f(t)=g(t)f(t)=g(t).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 400

Corrigé :

(1.250.8)t=4 ⇒ 1.5625t=4\begin{aligned}\left(\frac{1.25}{0.8}\right)^t &= 4 \ \Rightarrow \ 1.5625^t \\ &= 4\end{aligned}
1.5625=1.252 ⇒ (1.25t)2=4 ⇒ 1.25t=2\begin{aligned}1.5625 &= 1.25^2 \ \Rightarrow \ (1.25^t)^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ 1.25^t \\ &= 2\end{aligned}
g(t)=200⋅2=400\begin{aligned}g(t) &= 200\cdot 2 \\ &= 400\end{aligned}

וגם f(t)=800⋅12=400f(t)=800\cdot\frac{1}{2}=400 ✓

השאלה שואלת על הכמות, לא על הזמן (t≈3.11t\approx 3.11). אחרי שמוצאים tt חייבים להציב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

קבעו אם הטענה נכונה: AA גדל ב-20%20\% בכל שנה, ו-BB קטן ב-20%20\% בכל שנה. לכן היחס AB\frac{A}{B} גדל ב-40%40\% בכל שנה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

1.20.8=1.5\frac{1.2}{0.8}=1.5

המכפיל של היחס

1.5 ⇒ +50%1.5 \ \Rightarrow \ +50\%

הטענה לא נכונה. היחס גדל ב-50%50\% בכל שנה. אחוזים של שני תהליכים לא מחברים: מחלקים את המכפילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במפעל א׳ מייצרים 100100 יחידות בחודש, והייצור גדל ב-30%30\% בכל חודש. במפעל ב׳ מייצרים 900900 יחידות בחודש, והייצור גדל ב-10%10\% בכל חודש. כעבור כמה חודשים הייצור שווה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13.15

Corrigé :

100⋅1.3t=900⋅1.1t100\cdot 1.3^t=900\cdot 1.1^t
(1.31.1)t=9\left(\frac{1.3}{1.1}\right)^t=9
t=log⁡9log⁡1.31.1≈13.15t=\frac{\log 9}{\log\frac{1.3}{1.1}}\approx 13.15

חודשים

מי שחישב log⁡(1.3−1.1)\log(1.3-1.1) חיסר מכפילים בתוך הלוגריתם, וקיבל מכנה שלילי. נכון: log⁡1.3−log⁡1.1\log 1.3-\log 1.1, כלומר log⁡1.31.1\log\frac{1.3}{1.1}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בשני המפעלים מהשאלה הקודמת (100⋅1.3t100\cdot 1.3^t ו-900⋅1.1t900\cdot 1.1^t): מאיזה חודש שלם הייצור במפעל א׳ גדול מהייצור במפעל ב׳?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

(1.31.1)t>9\left(\frac{1.3}{1.1}\right)^t>9
t>13.15t>13.15

1.31.1>1\frac{1.3}{1.1}>1: הכיוון נשמר

t=14t=14

החודש השלם הראשון

התשובה 1414, ולא 1313: בחודש ה-13 מפעל ב׳ עוד מוביל. מאיזה חודש — מעגלים למעלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

שני תהליכים
(0, 600)(2, 384)(0, 150)(2, 216)0123450100200300400500600700שבועותכמות
  • ff
  • gg

בגרף שני תהליכים, ff ו-gg, מהצורה c⋅qtc\cdot q^t. השלימו לפי הנקודות המסומנות.

ff קטן ב- ____ אחוז בכל שבוע. gg גדל ב- ____ אחוז בכל שבוע. f(0)=f(0)= ____ , g(0)=g(0)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ff קטן ב- 20 אחוז בכל שבוע. gg גדל ב- 20 אחוז בכל שבוע. f(0)=f(0)= 600 , g(0)=g(0)= 150

Corrigé :

qf2=384600=0.64 ⇒ qf=0.8\begin{aligned}q_f^2 &= \frac{384}{600} \\ &= 0.64 \ \Rightarrow \ q_f \\ &= 0.8\end{aligned}

−20%-20\%

qg2=216150=1.44 ⇒ qg=1.2\begin{aligned}q_g^2 &= \frac{216}{150} \\ &= 1.44 \ \Rightarrow \ q_g \\ &= 1.2\end{aligned}

+20%+20\%

f(0)=600 g(0)=150\begin{aligned}f(0) &= 600 \\ \ g(0) &= 150\end{aligned}

החיתוך עם הציר האנכי

הנקודות נמצאות ב-t=2t=2, ולכן מוציאים שורש ריבועי. מי שחילק את 384600\frac{384}{600} ב-22 קיבל 0.320.32, מכפיל של ירידה של 68%68\%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

שני תהליכים
(0, 600)(2, 384)(0, 150)(2, 216)0123450100200300400500600700שבועותכמות
  • ff
  • gg

אלה אותם שני תהליכים: f(t)=600⋅0.8tf(t)=600\cdot 0.8^t ו-g(t)=150⋅1.2tg(t)=150\cdot 1.2^t. כעבור כמה שבועות f(t)=g(t)f(t)=g(t)?

  1. 1.51.5
  2. 44
  3. 22
  4. 3.423.42
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 3.423.42

Corrigé :

(1.20.8)t=600150 ⇒ 1.5t=4\begin{aligned}\left(\frac{1.2}{0.8}\right)^t &= \frac{600}{150} \ \Rightarrow \ 1.5^t \\ &= 4\end{aligned}
t=log⁡4log⁡1.5≈3.42t=\frac{\log 4}{\log 1.5}\approx 3.42

שבועות

3.423.42. t=2t=2 הוא רק הזמן של הנקודות המסומנות: שם 384>216384>216, ו-ff עוד מעל gg. 1.51.5 הוא המכפיל של היחס, לא הזמן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נועה מחפשת מתי 2000⋅0.9t=500⋅1.1t2000\cdot 0.9^t=500\cdot 1.1^t. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2000⋅0.9t=500⋅1.1t2000\cdot 0.9^t=500\cdot 1.1^t
2000500=1.1t0.9t\frac{2000}{500}=\frac{1.1^t}{0.9^t}
4=(1.1−0.9)t=0.2t\begin{aligned}4 &= (1.1-0.9)^t \\ &= 0.2^t\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4=(1.1−0.9)t=0.2t4=(1.1-0.9)^t=0.2^t → 4=(1.10.9)t4=\left(\frac{1.1}{0.9}\right)^t

Corrigé :

1.1t0.9t=(1.10.9)t\frac{1.1^t}{0.9^t}=\left(\frac{1.1}{0.9}\right)^t

מנה של חזקות עם אותו מעריך

t=log⁡4log⁡1.10.9≈6.91t=\frac{\log 4}{\log\frac{1.1}{0.9}}\approx 6.91

בשורה 3 חיסרו את הבסיסים. סימן לטעות: 0.2t0.2^t קטן כש-tt גדל, ולא יכול להגיע ל-44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מחיר של דירה היה 400400 אלף ש״ח. במשך שנתיים הוא עלה ב-25%25\% בכל שנה. אחר כך, במשך 3 שנים, הוא ירד ב-20%20\% בכל שנה. מה מחיר הדירה בסוף, באלפי ש״ח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 320

Corrigé :

400⋅1.252=625400\cdot 1.25^2=625

אחרי שתי שנים של עלייה

625⋅0.83=320625\cdot 0.8^3=320

אחרי שלוש שנים של ירידה

המחיר לא חוזר ל-400400: 1.25⋅0.8=11.25\cdot 0.8=1, אבל היו שלוש שנות ירידה ורק שתיים של עלייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

התאימו לכל שאלה את המשוואה או אי-השוויון שלה.

  • מתי AA ו-BB שווים?
  • מתי AA גדול פי 2 מ-BB?
  • מתי BB גדול פי 2 מ-AA?
  • מאיזה זמן AA גדול מ-BB?
  • A(t)=2B(t)A(t)=2B(t)
  • A(t)=B(t)A(t)=B(t)
  • A(t)>B(t)A(t)>B(t)
  • B(t)=2A(t)B(t)=2A(t)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מתי AA ו-BB שווים? — A(t)=B(t)A(t)=B(t) · מתי AA גדול פי 2 מ-BB? — A(t)=2B(t)A(t)=2B(t) · מתי BB גדול פי 2 מ-AA? — B(t)=2A(t)B(t)=2A(t) · מאיזה זמן AA גדול מ-BB? — A(t)>B(t)A(t)>B(t)

Corrigé :

A=2BA=2B

ה-22 מכפיל את הקטן

הבלבול הנפוץ: « AA פי 2 מ-BB » הוא A=2BA=2B, ולא 2A=B2A=B. הגדול שווה לקטן כפול 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

A(t)=1000⋅1.2tA(t)=1000\cdot 1.2^t ו-B(t)=1000⋅0.8tB(t)=1000\cdot 0.8^t. פי כמה AA גדול מ-BB כעבור 5 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.59

Corrigé :

A(5)B(5)=(1.20.8)5\frac{A(5)}{B(5)}=\left(\frac{1.2}{0.8}\right)^5

10001000 מצטמצם

1.55=7.593751.5^5=7.59375

התשובה לא 33 (1+5⋅0.41+5\cdot 0.4): היחס גדל פי 1.5 בכל שנה, ולכן 1.551.5^5.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe