Demi-vie et temps de doublement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

זמן מחצית חיים הוא הזמן שבו כמות בדעיכה נעשית חצי ממה שהייתה.

והדבר המפתיע: הזמן הזה קבוע. מ-100100 ל-5050 עובר אותו זמן כמו מ-5050 ל-2525.

אחרי 3 זמני מחצית חיים, איזה חלק מהכמות נשאר?

Voir la réponse et le corrigé

12⋅12⋅12=18\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}. לא 00, וגם לא 16\frac{1}{6}.

t=Tt=T

נשאר 12\frac{1}{2}

t=2Tt=2T

נשאר 14\frac{1}{4}

t=3Tt=3T

נשאר 18\frac{1}{8}

מציאת זמן מחצית החיים

מחפשים את הזמן TT שבו qT=12q^T=\frac{1}{2}. הכמות ההתחלתית לא משתתפת: היא מצטמצמת.

T=log⁡0.5log⁡qT=\frac{\log 0.5}{\log q}

תרופה בדם

כמות של תרופה בדם קטנה ב-6%6\% בכל שעה. מהו זמן מחצית החיים של התרופה?

q=0.94q=0.94

ירידה של 6%6\%

f(0)⋅0.94T=0.5⋅f(0) ⇒ 0.94T=0.5\begin{aligned}f(0)\cdot 0.94^T &= 0.5\cdot f(0) \ \Rightarrow \ 0.94^T \\ &= 0.5\end{aligned}

f(0)f(0) מצטמצם

T=log⁡0.5log⁡0.94≈11.20T=\frac{\log 0.5}{\log 0.94}\approx 11.20

שעות

האם זמן מחצית החיים של התרופה תלוי במנה שנלקחה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. בכל מנה f(0)f(0) מצטמצם. מנה גדולה או קטנה — אותו T≈11.2T\approx 11.2 שעות.

מזמן מחצית החיים אל qq

יודעים את TT? אז qT=12q^T=\frac{1}{2}, ולכן q=0.51Tq=0.5^{\frac{1}{T}}.

בכמה אחוזים בשנה?

זמן מחצית החיים של חומר הוא 5 שנים. בכמה אחוזים קטנה כמות החומר בכל שנה?

q5=0.5q^5=0.5

אחרי 5 שנים נשאר חצי

q=0.515≈0.8706q=0.5^{\frac{1}{5}}\approx 0.8706

שורש חמישי

1−0.8706=0.12941-0.8706=0.1294

ירידה של 12.94%12.94\% בשנה

הטעות של החלוקה.

q=1−0.55=0.9\begin{aligned}q &= 1-\frac{0.5}{5} \\ &= 0.9\end{aligned}
q=0.515≈0.8706q=0.5^{\frac{1}{5}}\approx 0.8706

חלוקה של 50%50\% ב-55 היא חשיבה של חיבור. בדיקה: 0.95≈0.590.9^5\approx 0.59, ולא 0.50.5.

נוסחה נוחה: אחרי tt יחידות זמן נשאר f(t)=f(0)⋅0.5tTf(t)=f(0)\cdot 0.5^{\frac{t}{T}}. המעריך tT\frac{t}{T} סופר כמה זמני מחצית חיים עברו.

T=5T=5 שנים. איזה חלק נשאר אחרי 15 שנים?

Voir la réponse et le corrigé

0.5155=0.53=180.5^{\frac{15}{5}}=0.5^3=\frac{1}{8}.

זמן הכפלה

בגדילה שואלים את השאלה ההפוכה: כעבור כמה זמן הכמות תוכפל? זה זמן ההכפלה.

D=log⁡2log⁡qD=\frac{\log 2}{\log q}

ריבית של 7%7\%

כסף מופקד בריבית של 7%7\% בשנה. כעבור כמה שנים הוא יוכפל?

1.07D=21.07^D=2
D=log⁡2log⁡1.07≈10.24D=\frac{\log 2}{\log 1.07}\approx 10.24

שנים

גם זמן ההכפלה קבוע: מ-10001000 ל-20002000, ומ-20002000 ל-40004000, עוברות אותן 10.2410.24 שנים.

האם ריבית של 14%14\% מכפילה את הכסף בדיוק בחצי מהזמן, כלומר ב-5.125.12 שנים?

Voir la réponse et le corrigé

לא בדיוק. log⁡2log⁡1.14≈5.29\frac{\log 2}{\log 1.14}\approx 5.29. קרוב, אבל כפל האחוז לא חותך את הזמן בדיוק לחצי.

Exercices

Exercice 1

כמות של חומר קטנה ב-10%10\% בכל יום. מהו זמן מחצית החיים של החומר, בימים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.58

Corrigé :

0.9T=0.50.9^T=0.5
T=log⁡0.5log⁡0.9≈6.58T=\frac{\log 0.5}{\log 0.9}\approx 6.58

ימים

התשובה לא 55 (50%:10%50\%:10\%): בכל יום ה-10%10\% נלקחים מכמות שכבר קטנה, ולכן לוקח יותר זמן להגיע לחצי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

זמן מחצית החיים של חומר הוא 8 ימים. בהתחלה יש 400400 גרם. כמה גרם יישארו אחרי 24 ימים?

  1. 00
  2. 133.33133.33
  3. 5050
  4. 100100
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 5050

Corrigé :

248=3\frac{24}{8}=3

שלושה זמני מחצית חיים

400⋅0.53=50400\cdot 0.5^3=50

גרם

5050 גרם. 133.33133.33 הוא 400:3400:3 — חלוקה לשלושה, לא חצי של חצי של חצי. ו-00 לא מתקבל לעולם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

זמן מחצית החיים של תרופה הוא 4 שעות. בכמה אחוזים קטנה כמות התרופה בכל שעה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15.91

Corrigé :

q4=0.5q^4=0.5
q=0.514≈0.8409q=0.5^{\frac{1}{4}}\approx 0.8409

שורש רביעי

1−0.8409≈0.15911-0.8409\approx 0.1591

15.91%15.91\%

התשובה לא 12.512.5 (50:450:4): זו חלוקה של חיבור. בדיקה: 0.8754≈0.5860.875^4\approx 0.586, יותר מחצי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

קבעו אם הטענה נכונה: זמן מחצית החיים של חומר הוא 3 שנים, ולכן אחרי 6 שנים לא נשאר ממנו כלום.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

63=2\frac{6}{3}=2

שני זמני מחצית חיים

0.52=140.5^2=\frac{1}{4}

נשאר רבע

הטענה לא נכונה. שני חצאים הם לא שלם: בפעם השנייה נעלם חצי ממה שנשאר, ולא עוד חצי מההתחלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

אוכלוסייה גדלה ב-12%12\% בכל שנה. כעבור כמה שנים היא תוכפל? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.12

Corrigé :

1.12D=21.12^D=2
D=log⁡2log⁡1.12≈6.12D=\frac{\log 2}{\log 1.12}\approx 6.12

שנים

התשובה לא 8.338.33 (100:12100:12). מי שחילק חשב שכל שנה מוסיפה 12%12\% מההתחלה. בכפל מגיעים ל-22 מהר יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

זמן מחצית החיים של חומר הוא 10 שנים. בהתחלה יש 640640 גרם. השלימו.

אחרי 10 שנים: ____ גרם. אחרי 20 שנים: ____ גרם. אחרי 30 שנים: ____ גרם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אחרי 10 שנים: 320 גרם. אחרי 20 שנים: 160 גרם. אחרי 30 שנים: 80 גרם.

Corrigé :

640⋅0.5=320640\cdot 0.5=320
320⋅0.5=160320\cdot 0.5=160
160⋅0.5=80160\cdot 0.5=80

כל 10 שנים מחלקים ב-22. מי שהוריד 320320 בכל פעם הגיע ל-00 אחרי 20 שנים: זו ירידה בחיבור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

אחרי 6 שעות נשאר רבע מכמות של חומר. מהו זמן מחצית החיים שלו, בשעות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

14=(12)2\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2

שני זמני מחצית חיים

2T=6 ⇒ T=3\begin{aligned}2T &= 6 \ \Rightarrow \ T \\ &= 3\end{aligned}

שעות

מי שענה 1.51.5 חשב שרבע הוא ארבעה חצאים. רבע הוא חצי של חצי: שני זמני מחצית חיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לאיזה מהתהליכים זמן מחצית החיים הקצר ביותר?

  1. f(t)=900⋅0.95tf(t)=900\cdot 0.95^t
  2. f(t)=500⋅0.9tf(t)=500\cdot 0.9^t
  3. f(t)=50⋅0.99tf(t)=50\cdot 0.99^t
  4. f(t)=100⋅0.8tf(t)=100\cdot 0.8^t
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D f(t)=100⋅0.8tf(t)=100\cdot 0.8^t

Corrigé :

log⁡0.5log⁡0.8≈3.11\frac{\log 0.5}{\log 0.8}\approx 3.11

הקצר ביותר

log⁡0.5log⁡0.9≈6.58\frac{\log 0.5}{\log 0.9}\approx 6.58
log⁡0.5log⁡0.99≈68.97\frac{\log 0.5}{\log 0.99}\approx 68.97

הארוך ביותר

q=0.8q=0.8. הכמות ההתחלתית לא משנה את זמן מחצית החיים. רק qq קובע: ככל ש-qq קטן יותר, הדעיכה מהירה יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי הוא 30 שנים. כמה אחוזים מהחומר יישארו אחרי 45 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 35.36

Corrigé :

tT=4530=1.5\begin{aligned}\frac{t}{T} &= \frac{45}{30} \\ &= 1.5\end{aligned}

זמן מחצית חיים וחצי

0.51.5≈0.35360.5^{1.5}\approx 0.3536
35.36%35.36\%

התשובה לא 25%25\%, וגם לא 37.5%37.5\% (באמצע בין 5050 ל-2525): הירידה היא עקומה, לא קו ישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לכל תהליך: האם שואלים על זמן מחצית חיים או על זמן הכפלה?

  • זמן מחצית חיים
  • זמן הכפלה
  • q=0.5q=0.5
  • q=0.9q=0.9
  • q=0.99q=0.99
  • q=1.01q=1.01
  • q=1.1q=1.1
  • q=3q=3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : q=0.9q=0.9 — זמן מחצית חיים · q=1.1q=1.1 — זמן הכפלה · q=0.5q=0.5 — זמן מחצית חיים · q=3q=3 — זמן הכפלה · q=0.99q=0.99 — זמן מחצית חיים · q=1.01q=1.01 — זמן הכפלה

Corrigé :

0<q<10<q<1

דעיכה: זמן מחצית חיים

q>1q>1

גדילה: זמן הכפלה

בגדילה הכמות לא תגיע לחצי, ובדעיכה היא לא תוכפל. log⁡0.5log⁡1.1\frac{\log 0.5}{\log 1.1} יוצא שלילי: זה הזמן בעבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

סכום כסף מוכפל כל 6 שנים. מהי הריבית השנתית, באחוזים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12.25

Corrigé :

q6=2q^6=2
q=216≈1.1225q=2^{\frac{1}{6}}\approx 1.1225

שורש שישי

+12.25%+12.25\%

התשובה לא 16.6716.67 (100:6100:6): בריבית דריבית מגיעים להכפלה עם אחוז קטן יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיכל חישבה את זמן מחצית החיים של חומר שקטן ב-15%15\% בכל שנה. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

q=1−0.15=0.85\begin{aligned}q &= 1-0.15 \\ &= 0.85\end{aligned}
0.85T=0.50.85^T=0.5
T=log⁡0.85log⁡0.5≈0.23T=\frac{\log 0.85}{\log 0.5}\approx 0.23
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : T=log⁡0.85log⁡0.5≈0.23T=\frac{\log 0.85}{\log 0.5}\approx 0.23 → T=log⁡0.5log⁡0.85≈4.27T=\frac{\log 0.5}{\log 0.85}\approx 4.27

Corrigé :

T⋅log⁡0.85=log⁡0.5T\cdot\log 0.85=\log 0.5

המעריך יורד

T=log⁡0.5log⁡0.85≈4.27T=\frac{\log 0.5}{\log 0.85}\approx 4.27

שנים

בשורה 3 המנה הפוכה. בדיקת היגיון: 0.850.230.85^{0.23} קרוב ל-11, לא לחצי. ירידה של 15%15\% בשנה לא מורידה חצי בפחות משנה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe