Au bout de combien de temps ? Avec le logarithme

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עכשיו הזמן הוא הנעלם. הוא יושב במעריך, ולכן מורידים אותו בעזרת לוגריתם.

משוואה: כעבור כמה זמן?

שלושה צעדים: מבודדים את qtq^t, מפעילים log⁡\log על שני האגפים, ומחלקים.

qt=c ⇒ t=log⁡clog⁡q\begin{aligned}q^t &= c \ \Rightarrow \ t \\ &= \frac{\log c}{\log q}\end{aligned}
11

מבודדים את qtq^t: מחלקים ב-f(0)f(0)

22

לוגריתם: log⁡(qt)=t⋅log⁡q\log(q^t)=t\cdot\log q

33

מחלקים ב-log⁡q\log q

האם התשובה משתנה אם משתמשים ב-ln⁡\ln במקום ב-log⁡\log?

Voir la réponse et le corrigé

לא. ln⁡1.6ln⁡1.06=log⁡1.6log⁡1.06≈8.07\frac{\ln 1.6}{\ln 1.06}=\frac{\log 1.6}{\log 1.06}\approx 8.07. המנה של שני לוגריתמים לא תלויה בבסיס.

שתי טעויות של לוגריתם.

log⁡(5000⋅1.06t)=5000⋅t⋅log⁡1.06\log(5000\cdot 1.06^t)=5000\cdot t\cdot\log 1.06
log⁡(5000⋅1.06t)=log⁡5000+t⋅log⁡1.06\log(5000\cdot 1.06^t)=\log 5000+t\cdot\log 1.06

log⁡\log של מכפלה הוא סכום. הדרך הפשוטה: לבודד את 1.06t1.06^t לפני הלוגריתם.

t=log⁡1.61.06t=\log\frac{1.6}{1.06}
t=log⁡1.6log⁡1.06t=\frac{\log 1.6}{\log 1.06}

מחלקים שני לוגריתמים, ולא מחלקים מספרים בתוך לוגריתם אחד.

בדעיכה: log⁡q\log q שלילי

אם 0<q<10<q<1, אז log⁡q<0\log q<0. גם log⁡c\log c שלילי, כי c<1c<1. המנה של שני שליליים חיובית, והזמן יוצא חיובי.

כמה זמן עד שיישאר רבע?

חומר קטן ב-15%15\% בכל יום. בהתחלה יש 800800 גרם. כעבור כמה ימים יישארו 200200 גרם?

800⋅0.85t=200800\cdot 0.85^t=200

המודל

0.85t=0.250.85^t=0.25

מבודדים

t=log⁡0.25log⁡0.85=−0.602−0.0706≈8.53\begin{aligned}t &= \frac{\log 0.25}{\log 0.85} \\ &= \frac{-0.602}{-0.0706}\approx 8.53\end{aligned}

שני שליליים: מנה חיובית

q=0.5q=0.5. כעבור כמה תקופות יישאר רבע מהכמות?

Voir la réponse et le corrigé

0.5t=0.25 ⇒ t=20.5^t=0.25 \ \Rightarrow \ t=2. בלי מחשבון: חצי של חצי.

אי-שוויון: מאיזה זמן?

« מאיזו שנה הכמות תעלה על … ? » זו שאלה של אי-שוויון. פותרים כמו משוואה, ושמים לב לכיוון.

1.06t>1.6 ⇒ t>8.071.06^t>1.6 \ \Rightarrow \ t>8.07

גדילה: log⁡1.06>0\log 1.06>0, הכיוון נשמר

0.85t<0.25 ⇒ t>8.530.85^t<0.25 \ \Rightarrow \ t>8.53

דעיכה: מחלקים ב-log⁡0.85<0\log 0.85<0, הכיוון מתהפך

שאלה על זמן שלם (« מאיזה שבוע », « מאיזו שנה ») — מעגלים למעלה, ובודקים את שני המספרים השלמים שמסביב.

5000⋅1.06t>80005000\cdot 1.06^t>8000. מאיזו שנה שלמה?

Voir la réponse et le corrigé

t>8.07t>8.07, ולכן מהשנה ה-9. ב-t=8t=8 יש 5000⋅1.068≈79695000\cdot 1.06^8\approx 7969: עדיין פחות מ-80008000.

שתי טעויות של אי-שוויון.

0.85t<0.25 ⇒ t<8.530.85^t<0.25 \ \Rightarrow \ t<8.53
0.85t<0.25 ⇒ t>8.530.85^t<0.25 \ \Rightarrow \ t>8.53

בחילוק ב-log⁡q\log q של דעיכה הסימן מתהפך.

t>8.07 ⇒ 8t>8.07 \ \Rightarrow \ 8
t>8.07 ⇒ 9t>8.07 \ \Rightarrow \ 9

עיגול רגיל נותן 88, אבל ב-t=8t=8 התנאי עוד לא מתקיים.

Exercices

Exercice 1

בחשבון יש 20002000 ש״ח, והריבית 8%8\% בשנה. כעבור כמה שנים יהיו בו 50005000 ש״ח? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.91

Corrigé :

1.08t=2.51.08^t=2.5

מבודדים

t=log⁡2.5log⁡1.08t=\frac{\log 2.5}{\log 1.08}
t≈11.91t\approx 11.91

שנים

מי שחישב 30002000⋅0.08=18.75\frac{3000}{2000\cdot 0.08}=18.75 השתמש בריבית פשוטה. כאן הריבית נצברת, ולכן מגיעים מהר יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מספר המכשירים מדגם ישן קטן ב-12%12\% בכל שנה. היום יש 60006000 מכשירים. כעבור כמה שנים יהיו 30003000? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.42

Corrigé :

6000⋅0.88t=30006000\cdot 0.88^t=3000
0.88t=0.50.88^t=0.5
t=log⁡0.5log⁡0.88≈5.42t=\frac{\log 0.5}{\log 0.88}\approx 5.42

שני הלוגריתמים שליליים

אם יצא זמן שלילי, אחד הלוגריתמים לקח מספר הפוך: log⁡2log⁡0.88\frac{\log 2}{\log 0.88} במקום log⁡0.5log⁡0.88\frac{\log 0.5}{\log 0.88}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו הפתרון של המשוואה 400⋅1.25t=1000400\cdot 1.25^t=1000?

  1. t=log⁡2.51.25t=\log\frac{2.5}{1.25}
  2. t=log⁡2.5log⁡1.25t=\frac{\log 2.5}{\log 1.25}
  3. t=log⁡1000400⋅log⁡1.25t=\frac{\log 1000}{400\cdot\log 1.25}
  4. t=2.51.25t=\frac{2.5}{1.25}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B t=log⁡2.5log⁡1.25t=\frac{\log 2.5}{\log 1.25}

Corrigé :

1.25t=2.51.25^t=2.5

מבודדים

t⋅log⁡1.25=log⁡2.5t\cdot\log 1.25=\log 2.5

לוגריתם

t=log⁡2.5log⁡1.25≈4.11t=\frac{\log 2.5}{\log 1.25}\approx 4.11

האפשרות הרביעית מוציאה את 400400 מהלוגריתם, כאילו log⁡(400⋅x)=400log⁡x\log(400\cdot x)=400\log x. זה לא חוק: log⁡\log של מכפלה הוא סכום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הופקדו 10,00010{,}000 ש״ח בריבית של 4%4\% בשנה. מאיזו שנה שלמה יעלה הסכום על 15,00015{,}000 ש״ח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

1.04t>1.51.04^t>1.5
t>log⁡1.5log⁡1.04≈10.34t>\frac{\log 1.5}{\log 1.04}\approx 10.34

הכיוון נשמר: log⁡1.04>0\log 1.04>0

10,000⋅1.0410≈14,80210{,}000\cdot 1.04^{10}\approx 14{,}802

בשנה 10 עוד לא

10,000⋅1.0411≈15,39510{,}000\cdot 1.04^{11}\approx 15{,}395

בשנה 11 כן

התשובה 1111, ולא 1010: עיגול רגיל של 10.3410.34 נותן שנה שבה הסכום עוד לא עבר את 15,00015{,}000.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

קבעו אם הטענה נכונה: הפתרון של 0.9t<0.50.9^t<0.5 הוא t<6.58t<6.58.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

t⋅log⁡0.9<log⁡0.5t\cdot\log 0.9<\log 0.5
t>log⁡0.5log⁡0.9≈6.58t>\frac{\log 0.5}{\log 0.9}\approx 6.58

מחלקים ב-log⁡0.9<0\log 0.9<0: הסימן מתהפך

הטענה לא נכונה. הפתרון t>6.58t>6.58. בדיקה מהירה: ב-t=0t=0 יש 0.90=10.9^0=1, וזה לא קטן מ-0.50.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

שווי של מניה יורד ב-9%9\% בכל חודש. היום שוויה 250250 ש״ח. מאיזה חודש שלם יהיה שוויה פחות מ-100100 ש״ח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

250⋅0.91t<100250\cdot 0.91^t<100
0.91t<0.40.91^t<0.4
t>log⁡0.4log⁡0.91≈9.72t>\frac{\log 0.4}{\log 0.91}\approx 9.72

הסימן מתהפך

250⋅0.9110≈97.35250\cdot 0.91^{10}\approx 97.35

בחודש 10: פחות מ-100100

מי שהשאיר << אחרי החילוק קיבל t<9.72t<9.72. אבל היום (t=0t=0) השווי 250250, וזה לא פחות מ-100100.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את המשוואה 3⋅1.5t=183\cdot 1.5^t=18. השלימו.

t⋅log⁡t\cdot\log ____ =log⁡=\log ____ , t≈t\approx ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : t⋅log⁡t\cdot\log 1.5 =log⁡=\log 6 , t≈t\approx 4.42

Corrigé :

1.5t=61.5^t=6

מחלקים ב-33

t⋅log⁡1.5=log⁡6t\cdot\log 1.5=\log 6
t≈4.42t\approx 4.42

בתוך הלוגריתם השני 66, ולא 1818: קודם מחלקים ב-33, ורק אחר כך מפעילים log⁡\log.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

רוני פתר: מאיזה זמן יישארו פחות מ-100100 גרם מ-500500 גרם, שקטנים ב-20%20\% בכל שעה. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

500⋅0.8t<100500\cdot 0.8^t<100
0.8t<0.20.8^t<0.2
t⋅log⁡0.8<log⁡0.2t\cdot\log 0.8<\log 0.2
t<log⁡0.2log⁡0.8≈7.21t<\frac{\log 0.2}{\log 0.8}\approx 7.21
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : t<log⁡0.2log⁡0.8≈7.21t<\frac{\log 0.2}{\log 0.8}\approx 7.21 → t>log⁡0.2log⁡0.8≈7.21t>\frac{\log 0.2}{\log 0.8}\approx 7.21

Corrigé :

log⁡0.8<0\log 0.8<0

מחלקים במספר שלילי

t>7.21t>7.21

הסימן מתהפך

בשורה 4 חילקו ב-log⁡0.8\log 0.8, מספר שלילי, ושכחו להפוך את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בכפר גרים היום 12001200 תושבים, ומספרם גדל ב-5%5\% בכל שנה. כעבור כמה שנים יגורו בו 20002000 תושבים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.47

Corrigé :

1.05t=20001200=53\begin{aligned}1.05^t &= \frac{2000}{1200} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}
t=log⁡53log⁡1.05≈10.47t=\frac{\log\frac{5}{3}}{\log 1.05}\approx 10.47

אם עיגלתם את 53\frac{5}{3} ל-1.71.7 קיבלתם 10.8810.88: עיגול באמצע הדרך מזיז את התשובה. מעגלים רק בסוף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהו הפתרון של אי-השוויון 0.7t>0.10.7^t>0.1?

  1. t>−6.46t>-6.46
  2. t<6.46t<6.46
  3. t>6.46t>6.46
  4. t<0.14t<0.14
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B t<6.46t<6.46

Corrigé :

t⋅log⁡0.7>log⁡0.1t\cdot\log 0.7>\log 0.1
t<log⁡0.1log⁡0.7≈6.46t<\frac{\log 0.1}{\log 0.7}\approx 6.46

הסימן מתהפך

t<6.46t<6.46. בדעיכה, « יותר מ-0.10.1 » מתקיים רק בהתחלה, עד t≈6.46t\approx 6.46. אחר כך הכמות כבר קטנה יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

כמות גדלה ב-2%2\% בכל חודש. כעבור כמה חודשים היא תגדל ב-50%50\%? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20.48

Corrigé :

1.02t=1.51.02^t=1.5

גדילה של 50%50\%: פי 1.51.5

t=log⁡1.5log⁡1.02≈20.48t=\frac{\log 1.5}{\log 1.02}\approx 20.48

חודשים

התשובה לא 2525 (50:250:2): זו התשובה של גדילה בחיבור. בגדילה בכפל מגיעים ל-50%50\% מהר יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

סדרו את שלבי הפתרון של המשוואה 800⋅1.1t=1200800\cdot 1.1^t=1200.

  • 1.1t=1.51.1^t=1.5
  • 800⋅1.1t=1200800\cdot 1.1^t=1200
  • t≈4.25t\approx 4.25
  • t⋅log⁡1.1=log⁡1.5t\cdot\log 1.1=\log 1.5
  • t=log⁡1.5log⁡1.1t=\frac{\log 1.5}{\log 1.1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 800⋅1.1t=1200800\cdot 1.1^t=1200 · 1.1t=1.51.1^t=1.5 · t⋅log⁡1.1=log⁡1.5t\cdot\log 1.1=\log 1.5 · t=log⁡1.5log⁡1.1t=\frac{\log 1.5}{\log 1.1} · t≈4.25t\approx 4.25

Corrigé :

1.1t=1.51.1^t=1.5

מבודדים

t⋅log⁡1.1=log⁡1.5t\cdot\log 1.1=\log 1.5

לוגריתם

t≈4.25t\approx 4.25

מחלקים

הלוגריתם בא אחרי הבידוד. מי שמפעיל log⁡\log על 800⋅1.1t800\cdot 1.1^t צריך לזכור ש-log⁡800\log 800 מתווסף.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe