Quantité initiale, multiplicateur et pourcentage

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בנוסחה f(t)=f(0)⋅qtf(t)=f(0)\cdot q^t יש ארבעה גדלים. אם יודעים שלושה, מוצאים את הרביעי.

f(t)f(t)

הכמות אחרי tt תקופות: מציבים

f(0)f(0)

הכמות בהתחלה: מחלקים ב-qtq^t

qq

המכפיל: שורש

tt

הזמן: לוגריתם, ביחידה הבאה

הכמות ההתחלתית f(0)f(0)

יודעים כמה יש אחרי tt תקופות? הולכים אחורה: מחלקים ב-qtq^t.

f(0)=f(t)qtf(0)=\frac{f(t)}{q^t}

כמה הופקד?

בחשבון חיסכון יש היום 13,31013{,}310 ש״ח. הריבית היא 10%10\% בשנה, והכסף הופקד לפני 3 שנים. כמה כסף הופקד?

f(0)⋅1.13=13,310f(0)\cdot 1.1^3=13{,}310

המודל

1.13=1.3311.1^3=1.331
f(0)=13,3101.331=10,000\begin{aligned}f(0) &= \frac{13{,}310}{1.331} \\ &= 10{,}000\end{aligned}

ש״ח

כמות קטנה ב-20%20\% בכל יום. אחרי יומיים נשארו 320320 גרם. כמה היה בהתחלה?

Voir la réponse et le corrigé

f(0)=3200.82=3200.64=500f(0)=\frac{320}{0.8^2}=\frac{320}{0.64}=500 גרם. לא 320⋅1.22320\cdot 1.2^2: עלייה של 20%20\% לא מבטלת ירידה של 20%20\%.

המכפיל qq מתוך שתי כמויות

יודעים את f(0)f(0) ואת f(t)f(t)? מחלקים, ומקבלים את qtq^t. אחר כך מוציאים שורש מסדר tt.

q=f(t)f(0)tq=\sqrt[t]{\frac{f(t)}{f(0)}}

הטעות של החיבור.

2662−20002000⋅3≈11.03%\frac{2662-2000}{2000\cdot 3}\approx 11.03\%
q=1.3313=1.1 ⇒ 10%\begin{aligned}q &= \sqrt[3]{1.331} \\ &= 1.1 \ \Rightarrow \ 10\%\end{aligned}

חלוקה ב-33 מתאימה לגדילה בחיבור. בגדילה בכפל מוציאים שורש.

שתי מדידות, בלי ההתחלה

לפעמים יודעים את הכמות בשני זמנים, ולא בהתחלה. מחלקים את המאוחרת במוקדמת. נשאר qq בחזקת מספר התקופות שביניהן.

דגים בבריכה

בסוף השבוע השני היו בבריכה 14401440 דגים. בסוף השבוע החמישי היו 2488.322488.32. מספר הדגים גדל באחוז קבוע. מצאו את האחוז ואת מספר הדגים בהתחלה.

f(5)f(2)=f(0)⋅q5f(0)⋅q2=q3\begin{aligned}\frac{f(5)}{f(2)} &= \frac{f(0)\cdot q^5}{f(0)\cdot q^2} \\ &= q^3\end{aligned}

f(0)f(0) מצטמצם

q3=2488.321440=1.728\begin{aligned}q^3 &= \frac{2488.32}{1440} \\ &= 1.728\end{aligned}
q=1.7283=1.2\begin{aligned}q &= \sqrt[3]{1.728} \\ &= 1.2\end{aligned}

גדילה של 20%20\% בשבוע

f(0)=14401.22=14401.44=1000\begin{aligned}f(0) &= \frac{1440}{1.2^2} \\ &= \frac{1440}{1.44} \\ &= 1000\end{aligned}

דגים בהתחלה

למה q3q^3, ולא q5q^5?

Voir la réponse et le corrigé

כי בין השבוע השני לשבוע החמישי עברו 3 שבועות. החזקה היא ההפרש בין הזמנים.

אחוז של תקופה אחרת

גדילה של 2%2\% בחודש היא לא 24%24\% בשנה. בשנה יש 12 חודשים, ולכן המכפיל השנתי הוא 1.02121.02^{12}.

1.0212≈1.26821.02^{12}\approx 1.2682

בשנה: עלייה של 26.82%26.82\%

0.92=0.810.9^2=0.81

ירידה של 10%10\% בשבוע: ירידה של 19%19\% בשבועיים

בדיקה: מציבים את qq שמצאתם בחזרה בנוסחה, ובודקים שמתקבלת הכמות הנתונה.

Exercices

Exercice 1

אחרי 4 שנים יש בחשבון חיסכון 7320.57320.5 ש״ח. הריבית היא 10%10\% בשנה. כמה כסף הופקד בהתחלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5000

Corrigé :

f(0)⋅1.14=7320.5f(0)\cdot 1.1^4=7320.5

המודל

1.14=1.46411.1^4=1.4641
f(0)=7320.51.4641=5000\begin{aligned}f(0) &= \frac{7320.5}{1.4641} \\ &= 5000\end{aligned}

ש״ח

מי שחישב 7320.5⋅0.947320.5\cdot 0.9^4 הוריד 10%10\% ארבע פעמים. אבל ירידה של 10%10\% לא מבטלת עלייה של 10%10\%. מחלקים ב-1.141.1^4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ערכה של מכונה ירד מ-50,00050{,}000 ש״ח ל-40,50040{,}500 ש״ח בשנתיים, באחוז קבוע בכל שנה. בכמה אחוזים ירד ערכה בכל שנה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

50,000⋅q2=40,50050{,}000\cdot q^2=40{,}500
q2=0.81q^2=0.81
q=0.81=0.9\begin{aligned}q &= \sqrt{0.81} \\ &= 0.9\end{aligned}
1−0.9=0.11-0.9=0.1

ירידה של 10%10\%

ירידה כוללת של 19%19\% אינה 9.5%9.5\% בשנה. השנה השנייה מתחילה מערך נמוך יותר, ולכן האחוז השנתי הוא 10%10\%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כמות גדלה מ-400400 ל-625625 בשעתיים, באחוז קבוע בכל שעה. מהו qq של שעה אחת?

  1. q=1.28125q=1.28125
  2. q=0.64q=0.64
  3. q=1.5625q=1.5625
  4. q=1.25q=1.25
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D q=1.25q=1.25

Corrigé :

q2=625400=1.5625\begin{aligned}q^2 &= \frac{625}{400} \\ &= 1.5625\end{aligned}
q=1.5625=1.25\begin{aligned}q &= \sqrt{1.5625} \\ &= 1.25\end{aligned}

q=1.25q=1.25. 1.56251.5625 הוא המכפיל של שעתיים. 1.281251.28125 בא מחלוקת ההפרש ב-22. 0.640.64 הוא 400625\frac{400}{625}, ההפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמות של חומר קטנה באחוז קבוע בכל יום. אחרי יום אחד נשארו 540540 גרם. אחרי 3 ימים נשארו 437.4437.4 גרם. כמה גרם היו בהתחלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 600

Corrigé :

q2=437.4540=0.81\begin{aligned}q^2 &= \frac{437.4}{540} \\ &= 0.81\end{aligned}

בין יום 1 ליום 3 עברו יומיים

q=0.9q=0.9
f(0)=5400.9=600\begin{aligned}f(0) &= \frac{540}{0.9} \\ &= 600\end{aligned}

גרם

החזקה היא 22, לא 33: בין המדידות עברו יומיים. ואחרי שמוצאים qq, הולכים מיום 1 יום אחד אחורה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מספר העוקבים של ערוץ גדל באחוז קבוע בכל חודש. אחרי חודשיים היו 32003200 עוקבים, ואחרי 4 חודשים היו 50005000. השלימו.

q=q= ____ , האחוז החודשי: ____ , בהתחלה היו ____ עוקבים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : q=q= 1.25 , האחוז החודשי: 25 , בהתחלה היו 2048 עוקבים.

Corrigé :

q2=50003200=1.5625\begin{aligned}q^2 &= \frac{5000}{3200} \\ &= 1.5625\end{aligned}
q=1.25 ⇒ +25%q=1.25 \ \Rightarrow \ +25\%
f(0)=32001.252=2048\begin{aligned}f(0) &= \frac{3200}{1.25^2} \\ &= 2048\end{aligned}

כדי להגיע להתחלה מחלקים ב-q2q^2, כי 32003200 נמדד אחרי חודשיים. מי שחילק ב-qq פעם אחת קיבל 25602560.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

קבעו אם הטענה נכונה: גדילה של 3%3\% בכל חודש היא גדילה של 36%36\% בשנה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

1.0312≈1.42581.03^{12}\approx 1.4258

המכפיל השנתי

+42.58%+42.58\%

ולא 36%36\%

הטענה לא נכונה. 12⋅3%12\cdot 3\% מחבר את האחוזים. בכל חודש ה-3%3\% נלקחים מכמות שכבר גדלה, ולכן השנה מוסיפה 42.58%42.58\%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הריבית בחשבון היא 1.5%1.5\% בכל חודש. בכמה אחוזים גדל הסכום בשנה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 19.56

Corrigé :

1.01512≈1.195621.015^{12}\approx 1.19562

המכפיל של 12 חודשים

(1.19562−1)⋅100≈19.56(1.19562-1)\cdot 100\approx 19.56

אחוזים

התשובה 19.5619.56, ולא 1818: 12⋅1.5%12\cdot 1.5\% שוכח שגם הריבית נושאת ריבית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

יוסי חיפש את qq, כשכמות גדלה מ-12001200 ל-1756.921756.92 בארבע שנים. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

1200⋅q4=1756.921200\cdot q^4=1756.92
q4=1.4641q^4=1.4641
q=1.46414≈0.366q=\frac{1.4641}{4}\approx 0.366
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : q=1.46414≈0.366q=\frac{1.4641}{4}\approx 0.366 → q=1.46414=1.1q=\sqrt[4]{1.4641}=1.1

Corrigé :

q4=1.4641q^4=1.4641

נכון

q=1.46414=1.1\begin{aligned}q &= \sqrt[4]{1.4641} \\ &= 1.1\end{aligned}

שורש רביעי

בשורה 3 חילקו ב-44 במקום להוציא שורש רביעי. הסימן: הכמות גדלה, ולכן qq חייב להיות גדול מ-11, ו-0.3660.366 לא יכול להיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמות של תרופה בדם קטנה באחוז קבוע בכל שעה. אחרי 3 שעות נשארו 51.2%51.2\% מהכמות ההתחלתית. בכמה אחוזים קטנה הכמות בכל שעה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

q3=0.512q^3=0.512

אין צורך לדעת את f(0)f(0)

q=0.5123=0.8\begin{aligned}q &= \sqrt[3]{0.512} \\ &= 0.8\end{aligned}
1−0.8=0.21-0.8=0.2

ירידה של 20%20\%

לא צריך את הכמות ההתחלתית: היחס f(3)f(0)=0.512\frac{f(3)}{f(0)}=0.512 מספיק. מי שחילק 48.8%48.8\% ב-33 קיבל 16.27%16.27\%, תשובה של חיבור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כמות גדלה ב-50%50\% בכל שבוע. אחרי 3 שבועות יש 270270. כמה היה בהתחלה?

  1. 911.25911.25
  2. 180180
  3. 8080
  4. 6060
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 8080

Corrigé :

f(0)=2701.53f(0)=\frac{270}{1.5^3}
1.53=3.3751.5^3=3.375
f(0)=80f(0)=80

8080. 180180 הוא רק שבוע אחד אחורה. 6060 בא מחלוקת ב-1.5⋅31.5\cdot 3. 911.25911.25 הוא כפל במקום חילוק: זה קדימה בזמן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

כמות קטנה ב-5%5\% בכל שבוע. בכמה אחוזים היא קטנה בארבעה שבועות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18.55

Corrigé :

0.954≈0.814510.95^4\approx 0.81451

המכפיל של 4 שבועות

1−0.81451=0.185491-0.81451=0.18549

החלק שהלך

≈18.55%\approx 18.55\%

התשובה 18.5518.55, ולא 2020: כל שבוע ה-5%5\% נלקחים מכמות שכבר קטנה, ולכן יורד פחות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

השלימו את הטבלה. בכל שורה f(t)=f(0)⋅qtf(t)=f(0)\cdot q^t.

f(0)f(0)qqttf(t)f(t)
100010001.21.222____
10001000____22640640
____0.50.533250250
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10001000: 1440 · 10001000: 0.8

Corrigé :

1000⋅1.22=14401000\cdot 1.2^2=1440

שורה 1: מציבים

q2=0.64 ⇒ q=0.8\begin{aligned}q^2 &= 0.64 \ \Rightarrow \ q \\ &= 0.8\end{aligned}

שורה 2: שורש

f(0)=2500.125=2000\begin{aligned}f(0) &= \frac{250}{0.125} \\ &= 2000\end{aligned}

שורה 3: מחלקים ב-0.530.5^3

שלוש שאלות, שלוש פעולות: מציבים, מוציאים שורש, מחלקים. בשורה 2 q=0.8q=0.8 ולא −0.8-0.8: מכפיל של תהליך הוא תמיד חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe