Le modèle f(t)=f(0)·qᵗ

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

גדילה ודעיכה הן תהליכים שבהם כמות משתנה באחוז קבוע בכל תקופה: בכל שנה, בכל שבוע, בכל שעה.

אחוז קבוע הוא לא מספר קבוע. הסתכלו על שתי קרנות שמתחילות מאותו סכום.

למה הכתום מוסיף בשנה השנייה 1111 ש״ח, ולא 1010?

Voir la réponse et le corrigé

כי 10%10\% נלקחים מ-110110, ולא מ-100100. בכל שנה כופלים ב-1.11.1: 110⋅1.1=121110 \cdot 1.1=121.

המכפיל qq

להוסיף p%p\% זה לכפול ב-1+p1001+\frac{p}{100}. להוריד p%p\% זה לכפול ב-1−p1001-\frac{p}{100}.

את המכפיל של תקופה אחת מסמנים ב-qq. אחרי tt תקופות כופלים ב-qq בדיוק tt פעמים.

f(t)=f(0)⋅qtf(t)=f(0)\cdot q^t
f(0)f(0)

הכמות בהתחלה, כאשר t=0t=0

qq

המכפיל של תקופה אחת

tt

מספר התקופות שעברו

+8% ⇒ q=1.08+8\% \ \Rightarrow \ q=1.08

גדילה: q>1q>1

−15% ⇒ q=0.85-15\% \ \Rightarrow \ q=0.85

דעיכה: 0<q<10<q<1

×2 ⇒ q=2\times 2 \ \Rightarrow \ q=2

הכפלה היא גדילה של 100%100\%

כמות קטנה ב-4%4\% בכל שבוע. מהו qq?

Voir la réponse et le corrigé

q=1−0.04=0.96q=1-0.04=0.96. לא 0.040.04: 0.040.04 הוא החלק שהולך, ו-0.960.96 הוא החלק שנשאר.

הגרף

גדילה ודעיכה מאותה נקודה
012345602004006008001000120014001600tכמות
  • גדילה: f(t)=500⋅1.2tf(t)=500\cdot 1.2^t
  • דעיכה: g(t)=500⋅0.8tg(t)=500\cdot 0.8^t
שני הגרפים עוברים ב-(0, 500)(0,\,500): זו הכמות ההתחלתית. הגדילה עולה, וכל שנה מהר יותר. הדעיכה יורדת ומתקרבת ל-00, אבל אף פעם לא מגיעה אליו.
q>1q>1

הגרף עולה

0<q<10<q<1

הגרף יורד, והציר האופקי הוא אסימפטוטה

f(0)f(0)

נקודת החיתוך עם הציר האנכי

האם כמות בדעיכה יכולה להגיע ל-00?

Voir la réponse et le corrigé

לא. qt>0q^t>0 לכל tt. הכמות נעשית קטנה מאוד, אבל היא לא 00.

דוגמה: ערך של מכונית

מכונית שמאבדת מערכה

מכונית נקנתה ב-120,000120{,}000 ש״ח. בכל שנה היא מאבדת 12%12\% מערכה. מה ערכה אחרי 5 שנים?

q=1−0.12=0.88\begin{aligned}q &= 1-0.12 \\ &= 0.88\end{aligned}

ירידה, ולכן q<1q<1

f(5)=120,000⋅0.885f(5)=120{,}000\cdot 0.88^5

מציבים t=5t=5

f(5)≈63,327.83f(5)\approx 63{,}327.83

ש״ח

מעגלים רק בסוף. את 0.8850.88^5 משאירים במחשבון כמו שהוא.

tt לא חייב להיות מספר שלם. t=0.5t=0.5 הוא חצי תקופה, ו-t=2.5t=2.5 הן שתי תקופות וחצי.

שתי טעויות שחוזרות.

120,000⋅(1−5⋅0.12)120{,}000\cdot(1-5\cdot 0.12)
120,000⋅0.885120{,}000\cdot 0.88^5

5⋅12%=60%5 \cdot 12\%=60\% היא ירידה בחיבור. אבל בכל שנה ה-12%12\% נלקחים מערך שכבר ירד.

q=0.12q=0.12
q=0.88q=0.88

0.120.12 הוא החלק שהולך. qq הוא החלק שנשאר.

Exercices

Exercice 1

כמות קטנה ב-7%7\% בכל שנה. מהו המכפיל qq?

  1. q=1.07q=1.07
  2. q=0.93q=0.93
  3. q=0.7q=0.7
  4. q=0.07q=0.07
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B q=0.93q=0.93

Corrigé :

q=1−7100=0.93\begin{aligned}q &= 1-\frac{7}{100} \\ &= 0.93\end{aligned}

ירידה: מחסירים מ-11

q=0.93q=0.93. 0.070.07 הוא החלק שהולך, לא החלק שנשאר. 0.70.7 הוא ירידה של 30%30\%, ו-1.071.07 הוא עלייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במעבדה יש 25002500 חיידקים. מספרם גדל ב-30%30\% בכל שעה. כמה חיידקים יהיו אחרי 4 שעות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7140.25

Corrigé :

q=1.3q=1.3

גדילה של 30%30\%

f(4)=2500⋅1.34f(4)=2500\cdot 1.3^4

מציבים t=4t=4

=2500⋅2.8561=7140.25=2500\cdot 2.8561=7140.25

מי שחישב 2500⋅(1+4⋅0.3)=55002500\cdot(1+4\cdot 0.3)=5500 הוסיף את אותו מספר בכל שעה. אבל ה-30%30\% נלקחים כל פעם ממספר גדול יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

קבעו אם הטענה נכונה: כמות שגדלה ב-10%10\% בכל שנה, גדלה ב-20%20\% בשנתיים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

1.12=1.211.1^2=1.21

שתי שנים: כופלים פעמיים

1.21 ⇒ +21%1.21 \ \Rightarrow \ +21\%

ולא 20%20\%

הטענה לא נכונה. בשנה השנייה ה-10%10\% נלקחים גם מהעלייה של השנה הראשונה. לכן מתקבלים 21%21\%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

התאימו לכל תיאור את המכפיל qq של תקופה אחת.

  • גדלה ב-5%5\%
  • קטנה ב-5%5\%
  • גדלה ב-50%50\%
  • קטנה ב-50%50\%
  • מוכפלת
  • 0.50.5
  • 0.950.95
  • 1.051.05
  • 1.51.5
  • 22
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : גדלה ב-5%5\% — 1.051.05 · קטנה ב-5%5\% — 0.950.95 · גדלה ב-50%50\% — 1.51.5 · קטנה ב-50%50\% — 0.50.5 · מוכפלת — 22

Corrigé :

+p% ⇒ q=1+p100+p\% \ \Rightarrow \ q=1+\frac{p}{100}

גדילה

−p% ⇒ q=1−p100-p\% \ \Rightarrow \ q=1-\frac{p}{100}

דעיכה

הבלבול הנפוץ: 1.51.5 ו-1.051.05. גדילה של 5%5\% היא 1.051.05. 1.51.5 היא גדילה של 50%50\%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמות מתוארת על ידי f(t)=f(0)⋅0.92tf(t)=f(0)\cdot 0.92^t. בכמה אחוזים היא קטנה בכל תקופה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

1−0.92=0.081-0.92=0.08

החלק שהולך בכל תקופה

0.08=8%0.08=8\%

התשובה 88, לא 9292: 92%92\% זה מה שנשאר אחרי כל תקופה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מספר התושבים בעיר מתואר על ידי f(t)=3000⋅1.04tf(t)=3000\cdot 1.04^t, כאשר tt בשנים. השלימו.

בהתחלה גרו בעיר ____ תושבים. בכל שנה מספרם גדל ב- ____ אחוז. אחרי שנתיים גרים בעיר ____ תושבים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בהתחלה גרו בעיר 3000 תושבים. בכל שנה מספרם גדל ב- 4 אחוז. אחרי שנתיים גרים בעיר 3244.8 תושבים.

Corrigé :

f(0)=3000⋅1.040=3000\begin{aligned}f(0) &= 3000\cdot 1.04^0 \\ &= 3000\end{aligned}

הכמות ההתחלתית

q=1.04 ⇒ +4%q=1.04 \ \Rightarrow \ +4\%

האחוז

f(2)=3000⋅1.0816=3244.8\begin{aligned}f(2) &= 3000\cdot 1.0816 \\ &= 3244.8\end{aligned}

אחרי שנתיים

מספר תושבים לא שלם הוא תוצאה של מודל, לא של ספירה. מי שכתב 32403240 חישב 3000⋅1.083000\cdot 1.08: הוא חיבר את האחוזים במקום לכפול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מיינו את המכפילים: האם הכמות גדלה או קטנה?

  • גדילה
  • דעיכה
  • q=0.5q=0.5
  • q=0.8q=0.8
  • q=0.97q=0.97
  • q=1.03q=1.03
  • q=1.25q=1.25
  • q=2q=2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : q=1.03q=1.03 — גדילה · q=0.97q=0.97 — דעיכה · q=2q=2 — גדילה · q=0.5q=0.5 — דעיכה · q=1.25q=1.25 — גדילה · q=0.8q=0.8 — דעיכה

Corrigé :

q>1q>1

גדילה

0<q<10<q<1

דעיכה

ההחלטה היא לפי 11, לא לפי 00: גם 0.970.97 חיובי, אבל הוא קטן מ-11, ולכן הכמות קטנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

דנה חישבה כמה יישאר מ-50005000 ש״ח שקטנים ב-20%20\% בכל שנה, אחרי 3 שנים. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

q=1−0.2=0.8\begin{aligned}q &= 1-0.2 \\ &= 0.8\end{aligned}
f(3)=5000⋅0.83f(3)=5000\cdot 0.8^3
f(3)=5000⋅2.4=12,000\begin{aligned}f(3) &= 5000\cdot 2.4 \\ &= 12{,}000\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(3)=5000⋅2.4=12,000f(3)=5000\cdot 2.4=12{,}000 → f(3)=5000⋅0.512=2560f(3)=5000\cdot 0.512=2560

Corrigé :

0.83=0.8⋅0.8⋅0.8=0.512\begin{aligned}0.8^3 &= 0.8\cdot 0.8\cdot 0.8 \\ &= 0.512\end{aligned}

חזקה, לא כפל ב-33

5000⋅0.512=25605000\cdot 0.512=2560

ש״ח

בשורה 3 חישבו 0.8⋅30.8\cdot 3 במקום 0.830.8^3. הסימן: בדעיכה התוצאה חייבת להיות קטנה מ-50005000.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ערך של מניה מתואר על ידי f(t)=800⋅1.21tf(t)=800\cdot 1.21^t, כאשר tt בשנים. מה ערך המניה אחרי חצי שנה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 880

Corrigé :

t=0.5t=0.5

חצי שנה

1.210.5=1.21=1.1\begin{aligned}1.21^{0.5} &= \sqrt{1.21} \\ &= 1.1\end{aligned}

חזקה של חצי היא שורש

f(0.5)=800⋅1.1=880\begin{aligned}f(0.5) &= 800\cdot 1.1 \\ &= 880\end{aligned}

מי שכתב 800⋅1.212800\cdot\frac{1.21}{2} חילק את המכפיל ב-22. חצי תקופה היא חזקה 0.50.5, כלומר שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

123412345xyI
123412345xyII
123412345xyIII
123412345xyIV

איזה גרף מתאר את f(t)=4⋅0.5tf(t)=4\cdot 0.5^t?

  1. גרף IV
  2. גרף III
  3. גרף II
  4. גרף I
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף I

Corrigé :

f(0)=4f(0)=4

הגרף עובר ב-(0, 4)(0,\,4)

q=0.5<1q=0.5<1

הגרף יורד

f(4)=4⋅0.0625=0.25>0\begin{aligned}f(4) &= 4\cdot 0.0625 \\ &= 0.25>0\end{aligned}

ולא מגיע ל-00

גרף III גם יורד מ-44, אבל הוא ישר: הוא מוריד את אותו מספר בכל תקופה, ומגיע ל-00. דעיכה היא עקומה שמתקרבת ל-00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מחיר של מוצר היה 500500 ש״ח. המחיר עלה ב-6%6\% בכל שנה, במשך 3 שנים. מה המחיר אחרי 3 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 595.51

Corrigé :

500⋅1.063500\cdot 1.06^3

שלוש עליות של 6%6\%

=500⋅1.191016=595.508=500\cdot 1.191016=595.508
≈595.51\approx 595.51

ש״ח

עלייה של 18%18\% הייתה נותנת 590590. ההפרש קטן כאן, אבל הוא גדל ככל שעוברות יותר שנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

הגרף של f(t)=200⋅qtf(t)=200\cdot q^t יורד. איזה מהערכים יכול להיות qq?

  1. q=−0.5q=-0.5
  2. q=1.2q=1.2
  3. q=0.85q=0.85
  4. q=1q=1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C q=0.85q=0.85

Corrigé :

0<q<10<q<1

זה התנאי לדעיכה

0<0.85<10<0.85<1

q=0.85q=0.85. q=1q=1 נותן כמות קבועה. qq שלילי לא מתאר שום תהליך: 200⋅(−0.5)t200\cdot(-0.5)^t מחליף סימן.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe