Une fonction avec un paramètre

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשאלה עם פרמטר (למשל aa) נותנים נתון אחד נוסף. ממנו מוצאים את aa, ואז ממשיכים כרגיל.

(x0, y0)∈f(x_0,\,y_0)\in f

נקודה על הגרף: מציבים, f(x0)=y0f(x_0)=y_0

f′(x0)=0f^{\prime}(x_0)=0

קיצון ב-x0x_0: מציבים בנגזרת

m=f′(x0)m=f^{\prime}(x_0)

שיפוע של משיק: מציבים בנגזרת

x=x0x=x_0

אסימפטוטה אנכית: מה שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס ב-x0x_0

נתון: נקודת קיצון

בעבור a=8a=8: האם יש ל-ff עוד נקודת קיצון?

Voir la réponse et le corrigé

לא. 2x−8x=02x-\frac8x=0 נותן x2=4x^2=4, כלומר x=±2x=\pm2. אבל x=−2x=-2 מחוץ לתחום x>0x>0.

123−2−112345xya=2a=8x = 0(1,1)(2,-1.55)
f(x)=x2−aln⁡xf(x)=x^2-a\ln x בעבור a=2a=2 ו-a=8a=8. כל ערך של aa נותן פונקציה אחרת, עם מינימום במקום אחר.

נתון: אסימפטוטה

לפונקציה f(x)=ln⁡(x2−a)f(x)=\ln(x^2-a) יש אסימפטוטה אנכית x=3x=3. מצאו את aa.

אסימפטוטה אנכית של ln⁡\ln: איפה שמה שבפנים מתאפס.

32−a=03^2-a=0

מציבים x=3x=3 בביטוי שבפנים

a=9a=9
x2−9>0⇒x<−3 או x>3x^2-9>0 \Rightarrow x<-3 \ \text{או} \ x>3

עכשיו אפשר למצוא את התחום

x=−3 x=3\begin{aligned}x &= -3 \\ \ x &= 3\end{aligned}

ויש אסימפטוטה שנייה

ואם a=−4a=-4? כלומר f(x)=ln⁡(x2+4)f(x)=\ln(x^2+4). איפה האסימפטוטה?

Voir la réponse et le corrigé

אין אסימפטוטה אנכית: x2+4≥4x^2+4\ge 4, ולא מתאפס אף פעם.

נתון: שיפוע של משיק

שתי טעויות עם פרמטר.

f(2)=0f(2)=0
f′(2)=0f^{\prime}(2)=0

"קיצון ב-x=2x=2" הוא נתון על הנגזרת. ערך הפונקציה בקיצון יכול להיות כל מספר.

(ln⁡(ax+1))′=1ax+1\big(\ln(ax+1)\big)^{\prime}=\frac{1}{ax+1}
aax+1\frac{a}{ax+1}

הפרמטר שבפנים נשאר במונה, כמו כל מספר.

אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו וכתבו את ff מחדש. משם זו חקירה רגילה.

Exercices

Exercice 1

לפונקציה f(x)=x−aln⁡xf(x)=x-a\ln x יש נקודת קיצון ב-x=3x=3. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=1−axf^{\prime}(x)=1-\frac ax
f′(3)=1−a3=0⇒a=3\begin{aligned}f^{\prime}(3) &= 1-\frac a3 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a=3. מציבים בנגזרת. מי שהציב ב-ff קיבל משוואה עם ln⁡3\ln 3, ולא את הקיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הגרף של f(x)=aln⁡x+x2f(x)=a\ln x+x^2 עובר בנקודה (e, e2+4)(e,\,e^2+4). מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f(e)=a⋅1+e2f(e)=a\cdot 1+e^2

ln⁡e=1\ln e=1

a+e2=e2+4⇒a=4\begin{aligned}a+e^2 &= e^2+4 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

a=4a=4. נקודה על הגרף = הצבה בפונקציה, לא בנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לפונקציה f(x)=ln⁡(2x−a)f(x)=\ln(2x-a) יש אסימפטוטה אנכית x=3x=3. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

2⋅3−a=02\cdot 3-a=0

מה שבפנים מתאפס באסימפטוטה

a=6a=6

a=6a=6, לא a=3a=3: מציבים את x=3x=3 בכל הביטוי 2x−a2x-a.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=ln⁡(ax+2)f(x)=\ln(ax+2). שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=0x=0 הוא 1.51.5. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=aax+2f^{\prime}(x)=\frac{a}{ax+2}
f′(0)=a2=1.5⇒a=3\begin{aligned}f^{\prime}(0) &= \frac a2 \\ &= 1.5 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a=3. ב-x=0x=0 המכנה הוא 22, לא 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x2−8ln⁡xf(x)=x^2-8\ln x. מהי נקודת הקיצון שלה?

  1. מינימום (2, 4−8ln⁡2)(2,\,4-8\ln 2)
  2. מינימום (−2, 4−8ln⁡2)(-2,\,4-8\ln 2)
  3. מקסימום (2, 4−8ln⁡2)(2,\,4-8\ln 2)
  4. מינימום (2, 0)(2,\,0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מינימום (2, 4−8ln⁡2)(2,\,4-8\ln 2)

Corrigé :

f′(x)=2x2−8x=0⇒x=2\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2x^2-8}{x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

x=−2x=-2 נפסל

f′(1)<0, f′(3)>0f^{\prime}(1)<0 ,\ f^{\prime}(3)>0

מינימום

מינימום ב-(2, 4−8ln⁡2)(2,\,4-8\ln 2). x=−2x=-2 מחוץ לתחום, ו-yy בא מ-f(2)f(2), לא מ-f′(2)=0f^{\prime}(2)=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

אם a<0a<0, אין לפונקציה f(x)=x2−aln⁡xf(x)=x^2-a\ln x נקודות קיצון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=2x2−axf^{\prime}(x)=\frac{2x^2-a}{x}
a<0⇒2x2−a>0a<0 \Rightarrow 2x^2-a>0

המונה והמכנה חיוביים

נכון. כאשר a<0a<0 הנגזרת חיובית בכל התחום: הפונקציה עולה תמיד. אין קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לפונקציה f(x)=ln⁡(x2−a)f(x)=\ln(x^2-a) יש אסימפטוטה אנכית x=4x=4. מצאו את aa ואת התחום. השלימו.

a=a= ____ ; התחום: x<x< ____ או x>x> ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= 16 ; התחום: x<x< -4 או x>x> 4

Corrigé :

16−a=0⇒a=16\begin{aligned}16-a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 16\end{aligned}
x2−16>0x^2-16>0
x<−4 או x>4x<-4 \ \text{או} \ x>4

a=16a=16. התחום מחוץ לשורשים. ויש שתי אסימפטוטות: x=−4x=-4 ו-x=4x=4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לפונקציה f(x)=ax−ln⁡xf(x)=ax-\ln x יש נקודת קיצון ב-x=12x=\frac12. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=a−1xf^{\prime}(x)=a-\frac1x
a−112=a−2=0\begin{aligned}a-\frac{1}{\frac12} &= a-2 \\ &= 0\end{aligned}
a=2a=2

a=2a=2. 112=2\frac{1}{\frac12}=2, לא 12\frac12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לפונקציה f(x)=x−aln⁡xf(x)=x-a\ln x יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. מצאו את aa. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=1−axf^{\prime}(x)=1-\frac{a}{x}
f′(2)=1−a2=0\begin{aligned}f^{\prime}(2) &= 1-\frac a2 \\ &= 0\end{aligned}
a=12a=\frac12
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=12a=\frac12 → a=2a=2

Corrigé :

a2=1⇒a=2\begin{aligned}\frac a2 &= 1 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

כופלים ב-22

בשורה 3 חילקו במקום לכפול. בדיקה: 1−22=01-\frac22=0 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=aln⁡x−xf(x)=a\ln x-x. המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 מקביל לציר ה-xx. מצאו את aa, ואז את ערך הפונקציה בנקודת הקיצון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

f′(1)=a−1=0⇒a=1\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= a-1 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

משיק מקביל לציר = שיפוע 00

f(1)=ln⁡1−1=−1\begin{aligned}f(1) &= \ln 1-1 \\ &= -1\end{aligned}

a=1a=1, וערך הפונקציה −1-1. "מקביל לציר ה-xx" פירושו שיפוע 00, כלומר נקודת קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה f(x)=ln⁡(x2−a)f(x)=\ln(x^2-a), ו-a>0a>0. כמה אסימפטוטות אנכיות יש לפונקציה?

  1. אין
  2. אחת
  3. שתיים
  4. תלוי ב-aa
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שתיים

Corrigé :

x2−a=0⇒x=±a\begin{aligned}x^2-a &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt a\end{aligned}

שני שורשים, כי a>0a>0

שתיים: x=−ax=-\sqrt a ו-x=ax=\sqrt a. המספר לא תלוי ב-aa, רק המקום.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe