Graphe de f et graphe de f′

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבגרות נותנים לפעמים ארבעה גרפים, ושואלים: איזה מהם מתאר את פונקציית הנגזרת? ונמקו.

f′(x)>0f^{\prime}(x)>0

הגרף של f′f^{\prime} מעל ציר ה-xx: ff עולה

f′(x)<0f^{\prime}(x)<0

הגרף של f′f^{\prime} מתחת לציר ה-xx: ff יורדת

f′(x0)=0f^{\prime}(x_0)=0

הגרף של f′f^{\prime} חוצה את הציר: ל-ff יש קיצון

Df′=DfD_{f^{\prime}}=D_f

ל-f′f^{\prime} אותו תחום כמו ל-ff. אם ff מוגדרת רק ל-x>0x>0, גם f′f^{\prime}

לפי הגרף הנכון, באיזה תחום ff עולה?

Voir la réponse et le corrigé

x>1x>1: שם הגרף של f′f^{\prime} מעל ציר ה-xx.

מה הסימן של f′f^{\prime} כאשר x<0x<0? מה זה אומר על ff?

Voir la réponse et le corrigé

f′<0f^{\prime}<0: המונה 2x2x שלילי, והמכנה חיובי. לכן ff יורדת ב-x<0x<0.

פעולות על פונקציות

מ-ff בונים פונקציות חדשות. שתי פעולות חוזרות בבגרות: הזזה וערך מוחלט.

g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-k

הגרף זז למטה kk. אותה נגזרת, אותו xx של הקיצון

g(x)=0  ⟺  f(x)=k\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= k\end{aligned}

נקודות החיתוך של gg עם ציר ה-xx = כמה פעמים הקו y=ky=k חותך את ff

g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|

מה שמתחת לציר ה-xx מתהפך למעלה. מה שמעליו נשאר

1234−2−112xyx = 0(1,0)I
1234−2−112xyx = 0(1,0)II
I: y=ln⁡xy=\ln x. II: y=∣ln⁡x∣y=|\ln x|. החלק של ln⁡x\ln x שבין 00 ל-11 (מתחת לציר) מתהפך למעלה. ב-(1, 0)(1,\,0) נוצר "שפיץ": מינימום של ∣ln⁡x∣|\ln x|.

כמה פתרונות יש למשוואה ∣ln⁡x∣=1|\ln x|=1?

Voir la réponse et le corrigé

שניים: ln⁡x=1\ln x=1 נותן x=ex=e, ו-ln⁡x=−1\ln x=-1 נותן x=1ex=\frac1e.

f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). כמה נקודות חיתוך יש ל-g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-k עם ציר ה-xx?

g(x)=0g(x)=0 פירושו f(x)=kf(x)=k. סופרים חיתוכים של הקו y=ky=k עם הגרף של ff.

k<1k<1

הקו מתחת למינימום: אין חיתוך

k=1k=1

הקו נוגע במינימום: חיתוך אחד

k>1k>1

הגרף יורד מאינסוף עד 11 ועולה שוב: שני חיתוכים

שטח מתחת לגרף של הנגזרת

אם ff ידועה, השטח בין הגרף של f′f^{\prime} לציר ה-xx מחושב בלי לחפש פונקציה קדומה: ff עצמה היא הקדומה של f′f^{\prime}.

∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)\int_a^b f^{\prime}(x)\,dx=f(b)-f(a)

f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x. חשבו את השטח בין הגרף של f′f^{\prime}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1, x=ex=e.

בתחום הזה f′≥0f^{\prime}\ge 0: הגרף מעל הציר.

S=∫1ef′(x) dx=f(e)−f(1)\begin{aligned}S &= \int_1^e f^{\prime}(x)\,dx \\ &= f(e)-f(1)\end{aligned}
f(e)=e2−2f(1)=1\begin{aligned}f(e) &= e^2-2 \\ \quad f(1) &= 1\end{aligned}
S=e2−3≈4.39S=e^2-3\approx 4.39

כשהגרף של הנגזרת מתחת לציר.

S=f(1)−f(0.5)S=f(1)-f(0.5)
S=f(0.5)−f(1)S=f(0.5)-f(1)

בתחום 0.5≤x≤10.5\le x\le 1 מתקיים f′<0f^{\prime}<0, ולכן f(1)−f(0.5)f(1)-f(0.5) שלילי. שטח הוא חיובי: מחסרים בסדר ההפוך.

Exercices

Exercice 1

12345−3−2−11xyf'y = 1x = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f^{\prime}(x) של פונקציה ff המוגדרת ל-x>0x>0. באיזה תחום ff עולה?

  1. 0<x<10<x<1
  2. x<1x<1
  3. x>1x>1
  4. x>0x>0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x>1x>1

Corrigé :

x>1:f′(x)>0x>1: f^{\prime}(x)>0

שם הגרף של f′f^{\prime} מעל הציר

0<x<1:f′(x)<00<x<1: f^{\prime}(x)<0

שם ff יורדת

x>1x>1. שואלים איפה הגרף של f′f^{\prime} מעל הציר, ולא איפה הוא עולה: הוא עולה בכל התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

123−5−4−3−2−112345xyf'x = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f^{\prime}(x). כמה נקודות קיצון יש לפונקציה ff?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(1)=0f^{\prime}(1)=0

הגרף חוצה את הציר פעם אחת

−→+-\to+

הסימן מתחלף: מינימום

נקודה אחת. האסימפטוטה x=0x=0 אינה נקודת קיצון: שם ff לא מוגדרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

xyI
xyII
xyIII
xyIV

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). איזה מבין הגרפים מתאר את f′(x)f^{\prime}(x)?

  1. גרף IV
  2. גרף II
  3. גרף I
  4. גרף III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף II

Corrigé :

f′(x)=2xx2+1f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+1}

מוגדרת לכל xx

x<0:f′<0, x>0:f′>0x<0: f^{\prime}<0 ,\ x>0: f^{\prime}>0
IV:x>0\text{IV}: x>0

גרף IV חסר את x<0x<0: נפסל

גרף II. גרף IV נראה נכון, אבל ff מוגדרת לכל xx, ולכן גם f′f^{\prime}. גרף III הפוך בסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפונקציות f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x ו-g(x)=x−ln⁡x−5g(x)=x-\ln x-5 יש אותה פונקציית נגזרת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

g′(x)=f′(x)−0=1−1x\begin{aligned}g^{\prime}(x) &= f^{\prime}(x)-0 \\ &= 1-\frac1x\end{aligned}

הנגזרת של 55 היא 00

נכון. gg היא ff מוזזת למטה ב-55. השיפוע בכל xx לא משתנה, ולכן גם הקיצון באותו xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). בעבור איזה ערך של kk יש ל-g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-k בדיוק נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

g(x)=0  ⟺  f(x)=k\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= k\end{aligned}
k=f(1)=1\begin{aligned}k &= f(1) \\ &= 1\end{aligned}

הקו y=ky=k נוגע במינימום

k=1k=1. בכל k>1k>1 יש שתי נקודות, ובכל k<1k<1 אין אף אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

כמה פתרונות יש למשוואה ∣ln⁡x∣=2|\ln x|=2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

ln⁡x=2⇒x=e2\begin{aligned}\ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}
ln⁡x=−2⇒x=e−2\begin{aligned}\ln x &= -2 \Rightarrow x \\ &= e^{-2}\end{aligned}

שניים. ערך מוחלט שווה 22 כשמה שבפנים 22 או −2-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x. חשבו את השטח בין הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=ex=e. עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.72

Corrigé :

f′(x)=1−1x≥01≤x≤e\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 1-\frac1x\ge 0 \\ \quad 1\le x\le e\end{aligned}

הגרף מעל הציר

S=f(e)−f(1)=(e−1)−1\begin{aligned}S &= f(e)-f(1) \\ &= (e-1)-1\end{aligned}
=e−2≈0.72=e-2\approx 0.72

e−2≈0.72e-2\approx 0.72. לא צריך פונקציה קדומה: ff היא הקדומה של f′f^{\prime}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x. חשבו את השטח בין הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=2x=2. עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.61

Corrigé :

f′(x)=2x−2x≥01≤x≤2\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 2x-\frac2x\ge 0 \\ \quad 1\le x\le 2\end{aligned}
S=f(2)−f(1)=(4−2ln⁡2)−1\begin{aligned}S &= f(2)-f(1) \\ &= (4-2\ln 2)-1\end{aligned}
=3−2ln⁡2≈1.61=3-2\ln 2\approx 1.61

≈1.61\approx 1.61. מי שחישב f′(2)−f′(1)=3f^{\prime}(2)-f^{\prime}(1)=3 הציב בנגזרת במקום בפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהי נקודת המינימום של y=∣ln⁡x∣y=|\ln x|?

  1. (e, 1)(e,\,1)
  2. אין לה מינימום
  3. (0, 0)(0,\,0)
  4. (1, 0)(1,\,0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (1, 0)(1,\,0)

Corrigé :

∣ln⁡x∣≥0|\ln x|\ge 0

ערך מוחלט אף פעם לא שלילי

∣ln⁡1∣=0|\ln 1|=0

השוויון רק ב-x=1x=1

(1, 0)(1,\,0), ה"שפיץ". (0, 0)(0,\,0) מחוץ לתחום. במינימום הזה הנגזרת לא מתאפסת: היא לא קיימת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). מיינו: בכל ערך של xx, האם ff עולה או יורדת?

  • עולה
  • יורדת
  • x=−0.5x=-0.5
  • x=−2x=-2
  • x=−4x=-4
  • x=0.5x=0.5
  • x=1x=1
  • x=3x=3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=−2x=-2 — יורדת · x=3x=3 — עולה · x=−0.5x=-0.5 — יורדת · x=0.5x=0.5 — עולה · x=−4x=-4 — יורדת · x=1x=1 — עולה

Corrigé :

f′(x)=2xx2+1f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+1}

המכנה חיובי, הסימן לפי 2x2x

שלילי: יורדת. חיובי: עולה. זה לא תלוי בגודל של xx, רק בסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). מהי נקודת המינימום של g(x)=f(x)−3g(x)=f(x)-3? השלימו.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 1 , y=y= -2

Corrigé :

g′(x)=f′(x)g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)

אותו xx של הקיצון

g(1)=1−3=−2\begin{aligned}g(1) &= 1-3 \\ &= -2\end{aligned}

הגרף ירד ב-33

(1, −2)(1,\,-2). ההזזה למטה משנה את yy בלבד. מי שכתב x=−2x=-2 הזיז את הנקודה הצידה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe