Étude d’une fonction avec ln

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חקירה של פונקציה עם ln⁡\ln היא חקירה רגילה. ההבדל: הצעד הראשון, התחום, קובע את כל השאר.

11

תחום ההגדרה

22

אסימפטוטות אנכיות, בקצוות התחום

33

נקודות קיצון: f′(x)=0f^{\prime}(x)=0, בתוך התחום

44

תחומי עלייה וירידה: טבלת סימנים

55

נקודות חיתוך עם הצירים, ושרטוט

דוגמה: f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x

הסבירו מדוע f(x)>0f(x)>0 לכל xx בתחום.

Voir la réponse et le corrigé

הערך הקטן ביותר של ff הוא המינימום, f(1)=1f(1)=1. כל שאר הערכים גדולים ממנו, ולכן f(x)≥1>0f(x)\ge 1>0. מכאן גם: אין חיתוך עם ציר ה-xx.

כשהתחום בנוי משני חלקים

האם ל-f(x)=ln⁡(x2−6x+8)f(x)=\ln(x^2-6x+8) יש נקודת מינימום ב-x=3x=3?

Voir la réponse et le corrigé

לא. x=3x=3 מחוץ לתחום. f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 שם, אבל נקודת קיצון חייבת להיות נקודה על הגרף.

ln⁡x\ln x במונה

f(x)=ln⁡xxf(x)=\frac{\ln x}{x}

התחום x>0x>0. הנגזרת מכלל המנה.

f′(x)=1−ln⁡xx2f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}

המכנה x2x^2 חיובי

1−ln⁡x=0⇒ln⁡x=1⇒x=e\begin{aligned}1-\ln x &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
f(e)=ln⁡ee=1e≈0.37\begin{aligned}f(e) &= \frac{\ln e}{e} \\ &= \frac1e\approx 0.37\end{aligned}

הנקודה (e, 1e)(e,\,\frac1e)

0<x<e:f′>0,x>e:f′<00<x<e: f^{\prime}>0 ,\quad x>e: f^{\prime}<0

עולה ואחר כך יורדת: מקסימום

f(x)=0⇒ln⁡x=0⇒x=1\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (1, 0)(1,\,0)

1234567−1xyfx = 0(1,0)(e,1/e)
f(x)=ln⁡xxf(x)=\frac{\ln x}{x}: מקסימום ב-(e, 1e)(e,\,\frac1e), חיתוך ב-(1, 0)(1,\,0), ואסימפטוטה x=0x=0.

שתי טעויות של תחום בחקירה.

f′(x)=0⇒x=±1\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm1\end{aligned}
x=1x=1

x=−1x=-1 מחוץ לתחום x>0x>0. פוסלים לפני שבונים טבלה.

f(0)=0−2ln⁡0f(0)=0-2\ln 0
x=0∉Dx=0 \notin D

אם 00 מחוץ לתחום, אין חיתוך עם ציר ה-yy. אל תציבו.

בטבלת הסימנים, הטבלה מתחילה בגבול התחום. אל תבדקו סימן במקום שבו הפונקציה לא מוגדרת.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x. מצאו את נקודת הקיצון שלה. השלימו.

הנקודה: x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הנקודה: x=x= 1 , y=y= 1

Corrigé :

f′(x)=1−1x=0⇒x=1\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 1-\frac1x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
f(1)=1−0=1\begin{aligned}f(1) &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

(1, 1)(1,\,1). מי שכתב y=0y=0 הציב ב-f′f^{\prime} במקום ב-ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x. באיזה תחום הפונקציה עולה?

  1. x<1x<1
  2. 0<x<10<x<1
  3. x>0x>0
  4. x>1x>1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x>1x>1

Corrigé :

f′(x)=x−1xf^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x}
x>1:f′>0x>1: f^{\prime}>0

x>1x>1. x<1x<1 כולל מספרים שליליים, שם ff לא מוגדרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון. עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.37

Corrigé :

f′(x)=ln⁡x+1=0\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \ln x+1 \\ &= 0\end{aligned}
ln⁡x=−1⇒x=e−1≈0.37\begin{aligned}\ln x &= -1 \Rightarrow x \\ &= e^{-1}\approx 0.37\end{aligned}

x=1e≈0.37x=\frac1e\approx 0.37. מי שכתב ln⁡x=1\ln x=1 שכח את הסימן: ln⁡x+1=0\ln x+1=0 נותן −1-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x. מהו ערך המינימום של הפונקציה? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.37

Corrigé :

f(e−1)=e−1⋅(−1)f(e^{-1})=e^{-1}\cdot(-1)

ln⁡e−1=−1\ln e^{-1}=-1

=−1e≈−0.37=-\frac1e\approx -0.37

−1e≈−0.37-\frac1e\approx -0.37. הערך שלילי: ln⁡x\ln x שלילי ליד x=0.37x=0.37.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לפונקציה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1) יש נקודת מינימום ב-(0, 0)(0,\,0).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=2xx2+1f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+1}

המכנה תמיד חיובי

x<0:f′<0, x>0:f′>0x<0: f^{\prime}<0 ,\ x>0: f^{\prime}>0
f(0)=ln⁡1=0\begin{aligned}f(0) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

נכון. כאן התחום הוא כל xx, ולכן x=0x=0 בתוכו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=2ln⁡x−xf(x)=2\ln x-x. מצאו את ערך המקסימום. עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.61

Corrigé :

f′(x)=2x−1=0⇒x=2\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac2x-1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
f(2)=2ln⁡2−2≈−0.61f(2)=2\ln 2-2\approx -0.61

≈−0.61\approx -0.61. מקסימום יכול להיות שלילי: "מקסימום" אומר שזו הנקודה הגבוהה בסביבה, לא שהיא מעל הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

סדרו את שלבי החקירה של פונקציה עם ln⁡\ln.

  • גוזרים את הפונקציה
  • טבלת סימנים וסוג הקיצון
  • פוסלים פתרונות מחוץ לתחום
  • פותרים f′(x)=0f^{\prime}(x)=0
  • תחום ההגדרה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה · גוזרים את הפונקציה · פותרים f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 · פוסלים פתרונות מחוץ לתחום · טבלת סימנים וסוג הקיצון

Corrigé :

D→f′→f′=0→פסילה→טבלהD \to f^{\prime} \to f^{\prime}=0 \to \text{פסילה} \to \text{טבלה}

התחום ראשון: בלעדיו אי אפשר לפסול. הטבלה אחרונה: היא צריכה את כל הנקודות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=(ln⁡x)2f(x)=(\ln x)^2. מהי נקודת הקיצון שלה?

  1. מקסימום (e, 1)(e,\,1)
  2. מינימום (1, 0)(1,\,0)
  3. אין נקודת קיצון
  4. מקסימום (1, 0)(1,\,0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מינימום (1, 0)(1,\,0)

Corrigé :

f′(x)=2ln⁡xx=0⇒x=1\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2\ln x}{x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
0<x<1:f′<0, x>1:f′>00<x<1: f^{\prime}<0 ,\ x>1: f^{\prime}>0
f(1)=0f(1)=0

מינימום (1, 0)(1,\,0). וזה הגיוני: (ln⁡x)2(\ln x)^2 הוא ריבוע של מספר, לכן אף פעם לא שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x2−8ln⁡xf(x)=x^2-8\ln x. מיינו: בכל ערך של xx, האם ff עולה או יורדת?

  • עולה
  • יורדת
  • x=0.5x=0.5
  • x=1.9x=1.9
  • x=1x=1
  • x=2.5x=2.5
  • x=3x=3
  • x=5x=5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=1x=1 — יורדת · x=3x=3 — עולה · x=0.5x=0.5 — יורדת · x=5x=5 — עולה · x=1.9x=1.9 — יורדת · x=2.5x=2.5 — עולה

Corrigé :

f′(x)=2x−8x=2x2−8x\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 2x-\frac8x \\ &= \frac{2x^2-8}{x}\end{aligned}
x=2x=2

הנגזרת מתאפסת, בתוך התחום

משמאל ל-22 יורדת, מימין עולה. x=1.9x=1.9 קרוב ל-22, אבל עדיין משמאל לו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מצאו את התחום של f(x)=ln⁡(x2−9)f(x)=\ln(x^2-9), ואת נקודות הקיצון שלה. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x2−9>0x^2-9>0
−3<x<3-3<x<3
f′(x)=2xx2−9f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2-9}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : −3<x<3-3<x<3 → x<−3 או x>3x<-3 \ \text{או} \ x>3

Corrigé :

x2>9x^2>9

מחוץ לשורשים

f′(x)=0⇒x=0∉D\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \notin D\end{aligned}

אין קיצון

בשורה 2 כתבו את המקום שבו מה שבפנים שלילי. ובגלל התחום הנכון, x=0x=0 נפסל: אין קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה f(x)=ln⁡xxf(x)=\frac{\ln x}{x}. מהו ערך המקסימום של הפונקציה? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.37

Corrigé :

1−ln⁡x=0⇒x=e\begin{aligned}1-\ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
f(e)=1e≈0.37f(e)=\frac1e\approx 0.37

1e≈0.37\frac1e\approx 0.37. שיעור ה-xx הוא e≈2.72e\approx 2.72; השאלה היא על ערך הפונקציה, yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). לאילו ערכים של kk אין פתרון למשוואה f(x)=kf(x)=k? השלימו.

k<k< ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k<k< 1

Corrigé :

f(x)≥f(1)=1f(x)\ge f(1)=1

המינימום הוא הערך הקטן ביותר

ff לא יורדת אף פעם מתחת ל-11. לכן f(x)=kf(x)=k עם k<1k<1 חסרת פתרון. ב-k=1k=1 יש פתרון אחד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe