Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים ברמה בינונית: תחום של ביטוי ממעלה שנייה, מכפלה ומנה, משיק, קיצון ושטח מתחת ל-f′f^{\prime}.

"f′(x)=0f^{\prime}(x)=0" הוא רק מועמד. לפני שכותבים "קיצון", בודקים שהנקודה בתחום.

Exercices

Exercice 1

מצאו את התחום של y=ln⁡(x2−9)y=\ln(x^2-9). השלימו.

x<x< ____ או x>x> ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x<x< -3 או x>x> 3

Corrigé :

x2−9>0⇒(x−3)(x+3)>0x^2-9>0 \Rightarrow (x-3)(x+3)>0
x<−3 או x>3x<-3 \ \text{או} \ x>3

מחוץ לשורשים

מחוץ לשורשים. מי שכתב −3<x<3-3<x<3 בחר את המקום שבו מה שבפנים שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x. חשבו את f′(e)f^{\prime}(e).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=ln⁡x+1f^{\prime}(x)=\ln x+1

מכפלה

f′(e)=1+1=2\begin{aligned}f^{\prime}(e) &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

22. מי שגזר 1⋅1x1\cdot\frac1x הכפיל את הנגזרות במקום כלל המכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי הנגזרת של f(x)=ln⁡xx2f(x)=\frac{\ln x}{x^2}?

  1. 12x2\frac{1}{2x^2}
  2. 2ln⁡x−1x3\frac{2\ln x-1}{x^3}
  3. 1−ln⁡xx2\frac{1-\ln x}{x^2}
  4. 1−2ln⁡xx3\frac{1-2\ln x}{x^3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 1−2ln⁡xx3\frac{1-2\ln x}{x^3}

Corrigé :

f′(x)=1x⋅x2−ln⁡x⋅2xx4f^{\prime}(x)=\frac{\frac1x\cdot x^2-\ln x\cdot 2x}{x^4}

כלל המנה

=x−2xln⁡xx4=1−2ln⁡xx3=\frac{x-2x\ln x}{x^4}=\frac{1-2\ln x}{x^3}

מצמצמים ב-xx

1−2ln⁡xx3\frac{1-2\ln x}{x^3}. התשובה עם 2ln⁡x−12\ln x-1 הפכה את הסדר במונה: u′vu^{\prime}v קודם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=ln⁡(3x−2)f(x)=\ln(3x-2). המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 חותך את ציר ה-yy. באיזה ערך של yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f(1)=ln⁡1=0\begin{aligned}f(1) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}
f′(1)=33−2=3\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= \frac{3}{3-2} \\ &= 3\end{aligned}
y=3(x−1)=3x−3\begin{aligned}y &= 3(x-1) \\ &= 3x-3\end{aligned}
x=0⇒y=−3\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -3\end{aligned}

−3-3. המשיק y=3x−3y=3x-3. השיפוע 33 בא מנגזרת הפנימית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חקרו את f(x)=x−2ln⁡xf(x)=x-2\ln x. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=1−2xf^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x}
f′(x)=0⇒x=2\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
f(2)=2−2ln⁡2≈0.61f(2)=2-2\ln 2\approx 0.61
max⁡(2, 0.61)\max(2,\ 0.61)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : max⁡(2, 0.61)\max(2,\ 0.61) → min⁡(2, 0.61)\min(2,\ 0.61)

Corrigé :

f′(1)=−1<0f′(3)=13>0\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= -1<0 \\ \quad f^{\prime}(3) &= \tfrac13>0\end{aligned}

יורדת ואחר כך עולה

בשורה 4 סוג הקיצון הפוך. יורדת ואז עולה = מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מיינו: איזו פונקציה מוגדרת לכל xx?

  • לכל xx
  • לא לכל xx
  • ln⁡(1−x2)\ln(1-x^2)
  • ln⁡(ex)\ln(e^x)
  • ln⁡(x2−1)\ln(x^2-1)
  • ln⁡(x2)\ln(x^2)
  • ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1)
  • ln⁡(x2+2x+5)\ln(x^2+2x+5)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1) — לכל xx · ln⁡(x2)\ln(x^2) — לא לכל xx · ln⁡(x2+2x+5)\ln(x^2+2x+5) — לכל xx · ln⁡(x2−1)\ln(x^2-1) — לא לכל xx · ln⁡(ex)\ln(e^x) — לכל xx · ln⁡(1−x2)\ln(1-x^2) — לא לכל xx

Corrigé :

x2+2x+5=(x+1)2+4>0x^2+2x+5=(x+1)^2+4>0
ex>0e^x>0

לכל xx

ln⁡(x2)\ln(x^2) לא מוגדר ב-x=0x=0 בלבד, וזה מספיק כדי לא להיות "לכל xx".

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=ln⁡(x2−4x+5)f(x)=\ln(x^2-4x+5). מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=2x−4x2−4x+5=0\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2x-4}{x^2-4x+5} \\ &= 0\end{aligned}
x=2x=2

בתחום: 4−8+5=1>04-8+5=1>0

x=2x=2. כאן התחום הוא כל xx (מה שבפנים תמיד חיובי), ולכן הנקודה לא נפסלת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). חשבו את השטח בין הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=0x=0 ו-x=2x=2. עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.61

Corrigé :

f′(x)=2xx2+1≥00≤x≤2\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2x}{x^2+1}\ge 0 \\ \quad 0\le x\le 2\end{aligned}

מעל הציר

S=f(2)−f(0)=ln⁡5−ln⁡1\begin{aligned}S &= f(2)-f(0) \\ &= \ln 5-\ln 1\end{aligned}
=ln⁡5≈1.61=\ln 5\approx 1.61

ln⁡5≈1.61\ln 5\approx 1.61. ff היא הקדומה של f′f^{\prime}: לא צריך לחפש אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לפונקציה f(x)=ln⁡(x2−6x+8)f(x)=\ln(x^2-6x+8) יש נקודת קיצון ב-x=3x=3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(3)=0f^{\prime}(3)=0

הנגזרת מתאפסת

32−18+8=−1<03^2-18+8=-1<0

אבל x=3x=3 מחוץ לתחום

לא נכון. f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 לא מספיק: הנקודה חייבת להיות בתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x2−4ln⁡xf(x)=x^2-4\ln x. מהו ערך המינימום של הפונקציה? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.61

Corrigé :

2x−4x=0⇒x2=2⇒x=2\begin{aligned}2x-\frac4x &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \sqrt2\end{aligned}

x=−2x=-\sqrt2 נפסל

f(2)=2−4ln⁡2=2−2ln⁡2≈0.61\begin{aligned}f(\sqrt2) &= 2-4\ln\sqrt2 \\ &= 2-2\ln 2\approx 0.61\end{aligned}

≈0.61\approx 0.61. ln⁡2=12ln⁡2\ln\sqrt2=\frac12\ln 2: מי ששכח את החצי קיבל 2−4ln⁡2<02-4\ln 2<0.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe