Série 3 — niveau bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שתי שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה.

סעיף מאוחר משתמש בתשובה של סעיף מוקדם. בשאלה השנייה, סעיף ה נפתר בעזרת סעיפים א ו-ב.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). א. מצאו את תחום ההגדרה של ff ואת האסימפטוטות האנכיות שלה.

התחום: x<x< ____ או x>x> ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : התחום: x<x< 3 או x>x> 5

Corrigé :

(x−3)(x−5)>0(x-3)(x-5)>0
x<3 או x>5x<3 \ \text{או} \ x>5

מחוץ לשורשים

x=3 x=5\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= 5\end{aligned}

האסימפטוטות, בקצוות

האסימפטוטות x=3x=3 ו-x=5x=5 הן בדיוק קצוות התחום. x=4x=4 (הקודקוד) אינו אסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים. עגלו לשתי ספרות.

ציר ה-yy: y≈y\approx ____ ; ציר ה-xx: x≈x\approx ____ , x≈x\approx ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ציר ה-yy: y≈y\approx 2.71 ; ציר ה-xx: x≈x\approx 2.59 , x≈x\approx 5.41

Corrigé :

f(0)=ln⁡15≈2.71f(0)=\ln 15\approx 2.71

00 בתחום

x2−8x+15=1⇒x2−8x+14=0\begin{aligned}x^2-8x+15 &= 1 \Rightarrow x^2-8x+14 \\ &= 0\end{aligned}

ln⁡t=0  ⟺  t=1\ln t=0 \iff t=1

x=4±2x=4\pm\sqrt2

שני הפתרונות בתחום

ב-f(x)=0f(x)=0 משווים את מה שבפנים ל-11, לא ל-00: x2−8x+15=0x^2-8x+15=0 נותן את האסימפטוטות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של ff.

  1. יורדת ב-x<3x<3, עולה ב-x>5x>5
  2. עולה בכל התחום
  3. יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4
  4. עולה ב-x<3x<3, יורדת ב-x>5x>5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A יורדת ב-x<3x<3, עולה ב-x>5x>5

Corrigé :

f′(x)=2x−8x2−8x+15f^{\prime}(x)=\frac{2x-8}{x^2-8x+15}
x<3:−+<0,x>5:++>0x<3: \frac{-}{+}<0 ,\quad x>5: \frac{+}{+}>0

המכנה חיובי בתחום

יורדת ב-x<3x<3 ועולה ב-x>5x>5. התשובה עם x=4x=4 שוכחת שבין 33 ל-55 אין פונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ד. לפונקציה יש נקודת מינימום ב-x=4x=4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(4)=0f^{\prime}(4)=0

מועמד

16−32+15=−1<016-32+15=-1<0

x=4x=4 מחוץ לתחום

לא נכון. אין ל-ff נקודות קיצון בכלל: המועמד היחיד מחוץ לתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

xyx = 3x = 5I
xyx = 3x = 5II
xyx = 3x = 5III
xyx = 3x = 5IV

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ה. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f^{\prime}(x).

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף IV

Corrigé :

Df′:x<3 או x>5D_{f^{\prime}}: x<3 \ \text{או} \ x>5

בין 33 ל-55 אין גרף: I נפסל

x<3:f′<0x<3: f^{\prime}<0

מתחת לציר משמאל: II ו-III נפסלים

x>5:f′>0x>5: f^{\prime}>0

מעל הציר מימין

גרף IV. שלוש בדיקות: התחום (שני חלקים), הסימן משמאל, הסימן מימין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx. עגלו לשתי ספרות.

x=x= ____ , x≈x\approx ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 1 , x≈x\approx 7.39

Corrigé :

ln⁡x (ln⁡x−2)=0\ln x\,(\ln x-2)=0

מוציאים גורם משותף

ln⁡x=0⇒x=1\begin{aligned}\ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
ln⁡x=2⇒x=e2≈7.39\begin{aligned}\ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\approx 7.39\end{aligned}

x=1x=1 ו-x=e2x=e^2. מי שחילק ב-ln⁡x\ln x איבד את הפתרון x=1x=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ב. מצאו את נקודת הקיצון של ff. עגלו לשתי ספרות.

x≈x\approx ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x≈x\approx 2.72 , y=y= -1

Corrigé :

f′(x)=2ln⁡xx−2x=2(ln⁡x−1)x\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2\ln x}{x}-\frac2x \\ &= \frac{2(\ln x-1)}{x}\end{aligned}
ln⁡x=1⇒x=e\begin{aligned}\ln x &= 1 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
f(e)=1−2=−1\begin{aligned}f(e) &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

(e, −1)(e,\,-1). yy בא מ-f(e)=12−2⋅1f(e)=1^2-2\cdot 1, לא מהנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ג. מהו סוג הקיצון, ומהם תחומי העלייה והירידה?

  1. מינימום; יורדת ב-1<x<e21<x<e^2
  2. מינימום; יורדת ב-0<x<e0<x<e, עולה ב-x>ex>e
  3. מקסימום; עולה ב-0<x<e0<x<e, יורדת ב-x>ex>e
  4. מינימום; יורדת ב-x<ex<e, עולה ב-x>ex>e
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מינימום; יורדת ב-0<x<e0<x<e, עולה ב-x>ex>e

Corrigé :

f′(1)=2(0−1)1=−2<0\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= \frac{2(0-1)}{1} \\ &= -2<0\end{aligned}
f′(e2)=2(2−1)e2>0f^{\prime}(e^2)=\frac{2(2-1)}{e^2}>0

מינימום. התשובה "x<ex<e" שוכחת את התחום x>0x>0. 1<x<e21<x<e^2 הוא תחום השליליות, לא הירידה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ד. בעבור איזה ערך של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k פתרון אחד בלבד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

f(x)≥f(e)=−1f(x)\ge f(e)=-1

המינימום הוא הערך הקטן ביותר

k=−1k=-1

הקו y=ky=k נוגע במינימום

k=−1k=-1. ליד x=0x=0 ובקצה הימני הגרף עולה בלי סוף, ולכן כל k>−1k>-1 נותן שני פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=ex=e ו-x=e2x=e^2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

e≤x≤e2:f′(x)≥0e\le x\le e^2: f^{\prime}(x)\ge 0

מעל הציר

S=f(e2)−f(e)S=f(e^2)-f(e)

הקדומה של f′f^{\prime} היא ff

=0−(−1)=1=0-(-1)=1

משתמשים בסעיפים א ו-ב

S=1S=1. בלי לחפש קדומה: הערכים f(e2)=0f(e^2)=0 ו-f(e)=−1f(e)=-1 כבר חושבו בסעיפים הקודמים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe