Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: ערכים, תחום, נגזרות, משיק, חקירה, גרף הנגזרת, פרמטר ושטח. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Exercice 1

חשבו: ln⁡e−2\ln e^{-2}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

ln⁡e−2=−2\ln e^{-2}=-2

−2-2. ln⁡\ln יכול להיות שלילי; רק מה שבפנים חייב להיות חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו התחום של f(x)=ln⁡x+ln⁡(4−x)f(x)=\ln x+\ln(4-x)?

  1. x>4x>4
  2. x>0x>0
  3. 0<x<40<x<4
  4. x<4x<4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 0<x<40<x<4

Corrigé :

x>0,4−x>0⇒x<4x>0 ,\quad 4-x>0 \Rightarrow x<4

שני תנאים

0<x<40<x<4: שני התנאים יחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=ln⁡(x2+x)f(x)=\ln(x^2+x). חשבו את f′(1)f^{\prime}(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

f′(x)=2x+1x2+xf^{\prime}(x)=\frac{2x+1}{x^2+x}
f′(1)=32=1.5\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= \frac32 \\ &= 1.5\end{aligned}

1.51.5. במונה 2x+12x+1, הנגזרת של כל הביטוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=xln⁡x−xf(x)=x\ln x-x. מהו ערך המינימום של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡x\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \ln x+1-1 \\ &= \ln x\end{aligned}
ln⁡x=0⇒x=1\begin{aligned}\ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
f(1)=0−1=−1\begin{aligned}f(1) &= 0-1 \\ &= -1\end{aligned}

−1-1. הנגזרת יוצאת פשוטה: ln⁡x\ln x. מי שכתב f′=ln⁡x+1f^{\prime}=\ln x+1 שכח את נגזרת −x-x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

(ln⁡x)2(\ln x)^2 ו-ln⁡(x2)\ln(x^2) הן אותה פונקציה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln(x^2)=2\ln x

חוק החזקה

(ln⁡e)2=1ln⁡(e2)=2\begin{aligned}(\ln e)^2 &= 1 \\ \quad \ln(e^2) &= 2\end{aligned}

דוגמה נגדית

לא נכון. (ln⁡x)2(\ln x)^2 הוא ריבוע של הלוגריתם, ו-ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln(x^2)=2\ln x. ב-x=ex=e: 1≠21\neq 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

המשיק לגרף של y=ln⁡xy=\ln x בנקודה שבה x=e2x=e^2 חותך את ציר ה-yy. באיזה ערך של yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

y0=ln⁡e2=2m=1e2\begin{aligned}y_0 &= \ln e^2 \\ &= 2 \\ \quad m &= \frac{1}{e^2}\end{aligned}
y−2=1e2(x−e2)y-2=\frac{1}{e^2}(x-e^2)
x=0⇒y=2−1=1\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

11. 1e2⋅e2=1\frac{1}{e^2}\cdot e^2=1: החישוב יוצא נקי בלי מחשבון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=ln⁡(25−x2)f(x)=\ln(25-x^2). השלימו. עגלו לשתי ספרות.

התחום: ____ <x<<x< ____ ; ערך המקסימום: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : התחום: -5 <x<<x< 5 ; ערך המקסימום: 3.22

Corrigé :

25−x2>0⇒−5<x<525-x^2>0 \Rightarrow -5<x<5
f′(x)=−2x25−x2=0⇒x=0\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{-2x}{25-x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}
f(0)=ln⁡25≈3.22f(0)=\ln 25\approx 3.22

מקסימום ב-(0, ln⁡25)(0,\,\ln 25). ליד x=±5x=\pm5 הגרף יורד בלי סוף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

xyy = −1x = 0I
xyy = 1x = 0II
xyy = −1x = 0III
xyx = 0IV

נתונה f(x)=ln⁡x−xf(x)=\ln x-x. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את f′(x)f^{\prime}(x).

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף II
  4. גרף IV
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף I

Corrigé :

f′(x)=1x−1x>0\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac1x-1 \\ \quad x>0\end{aligned}
x=1:f′=0+→−\begin{aligned}x &= 1: f^{\prime} \\ &= 0 \\ \quad +\to-\end{aligned}

עולה ואחר כך יורדת: מקסימום

גרף I. גרף II הוא 1−1x1-\frac1x, בסימן ההפוך. גרף III מוגדר גם ל-x<0x<0. גרף IV לא חוצה את הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לפונקציה f(x)=ax2−ln⁡xf(x)=ax^2-\ln x יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

f′(x)=2ax−1xf^{\prime}(x)=2ax-\frac1x
f′(1)=2a−1=0⇒a=12\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= 2a-1 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= \frac12\end{aligned}

a=0.5a=0.5. מציבים בנגזרת, לא בפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=ln⁡xxf(x)=\frac{\ln x}{x}. חשבו את השטח בין הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=ex=e. עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.37

Corrigé :

f′(x)=1−ln⁡xx2≥01≤x≤e\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{1-\ln x}{x^2}\ge 0 \\ \quad 1\le x\le e\end{aligned}

מעל הציר

S=f(e)−f(1)=1e−0\begin{aligned}S &= f(e)-f(1) \\ &= \frac1e-0\end{aligned}
≈0.37\approx 0.37

1e≈0.37\frac1e\approx 0.37. בדקו קודם את הסימן של f′f^{\prime} בתחום: כאן הוא לא שלילי, ולכן f(e)−f(1)f(e)-f(1).

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe