Équations exponentielles de bases différentes · Logarithmes et fonction logarithme · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בפרק החזקות פתרנו $2^x=8$ בעזרת בסיס משותף. אבל ב- $2^x=7$ אי אפשר לכתוב את $7$ כחזקה שלמה של $2$ .

הלוגריתם נותן את התשובה מיד: $x=\log_2 7$ . ובמחשבון: $\frac{\log 7}{\log 2} \approx 2.81$ .

Activité interactive

3^x=20

לוגריתם

מה עושים לשני האגפים?

\log 3^x=\log 20

\log 3 \cdot x=20

Voir la réponse et le corrigé

לוקחים $\log$ משני האגפים. אגף ימין הופך ל- $\log 20$ .

3x=20

Voir la réponse et le corrigé

$3^x$ היא חזקה, לא כפל.

שני האגפים חיוביים, ולכן מותר לקחת לוגריתם.

חוק החזקה

מה עושים עם $\log 3^x$ ?

x \cdot \log 3=\log 20

\log (3x)=\log 20

Voir la réponse et le corrigé

המעריך יורד לפני הלוגריתם: $x \cdot \log 3$ .

עכשיו $x$ כבר לא במעריך.

מחלקים

איך מבודדים את $x$ ?

x=\frac{\log 20}{\log 3}\approx 2.73

x=\log \frac{20}{3}\approx 0.82

Voir la réponse et le corrigé

מחלקים את המספר $\log 20$ במספר $\log 3$ . לא מחלקים בתוך הלוגריתם.

זה בדיוק $\log_3 20$ .

$x\approx 2.73$ . בדיקה: $3^{2.73}\approx 20$ ✓

פותרים יחד: $3^x=20$

Faire l'activité sur elev

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא הפתרון של $3^x=20$ ? ענו בלי מחשבון.

Voir la réponse et le corrigé

$3^2=9$ ו- $3^3=27$ , ו- $20$ ביניהם. לכן $2<x<3$ . כך בודקים שהתשובה מהמחשבון סבירה.

הנעלם בשני האגפים

ב- $2^{x+1}=5^x$ יש שני בסיסים שונים. לוקחים $\log$ , מורידים את המעריכים, ומקבלים משוואה לינארית ב- $x$ .

פתרו $2^{x+1}=5^x$

עגלו לשתי ספרות.

(x+1)\log 2=x\log 5

לוגריתם וחוק החזקה

x\log 2+\log 2=x\log 5

פותחים סוגריים

\log 2=x(\log 5-\log 2)

מעבירים את $x$ לצד אחד

x=\frac{\log 2}{\log 5-\log 2}\approx 0.76

מחלקים

פתרו $5^x=2 \cdot 3^x$ . עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

מחלקים ב- $3^x$ : $\left(\frac{5}{3}\right)^x=2$ . לכן $x=\frac{\log 2}{\log \frac53}\approx 1.36$ .

עם ln

כשהבסיס הוא $e$ , נוח לקחת $\ln$ : $\ln e^x=x$ . כך $e^x=5$ נותן מיד $x=\ln 5$ .

\begin{aligned}e^x &= 5 \Rightarrow x \\ &= \ln 5\approx 1.61\end{aligned}

לוקחים $\ln$

\begin{aligned}e^{2x-1} &= 3 \Rightarrow 2x-1 \\ &= \ln 3 \Rightarrow x\approx 1.05\end{aligned}

המעריך כולו שווה ל- $\ln 3$

\begin{aligned}4e^x &= 12 \Rightarrow e^x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3\end{aligned}

קודם מבודדים את החזקה

משוואה ריבועית בחזקה

פתרו $4^x-3 \cdot 2^x-10=0$

$4^x=(2^x)^2$ . מציבים $t=2^x$ .

t^2-3t-10=0

הצבה

\begin{aligned}(t-5)(t+2) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 5 \\ \ t &= -2\end{aligned}

משוואה ריבועית

2^x=-2

אין פתרון: חזקה חיובית

\begin{aligned}2^x &= 5 \Rightarrow x \\ &= \frac{\log 5}{\log 2}\approx 2.32\end{aligned}

לוגריתם

למה $2^x=-2$ אין פתרון, אבל $\log_2 x=-2$ יש?

Voir la réponse et le corrigé

$2^x$ תמיד חיובי, ולכן לא שווה $-2$ . אבל $\log_2 x$ יכול להיות שלילי: $x=2^{-2}=\frac14$ .

שלוש טעויות שחוזרות.

\begin{aligned}2^x &= 7 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{7}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}2^x &= 7 \Rightarrow x \\ &= \log_2 7\approx 2.81\end{aligned}

חזקה אינה כפל. $2^{3.5}\approx 11.3$ , לא $7$ .

\log(3 \cdot 2^x)=x\log 6

\log(3 \cdot 2^x)=\log 3+x\log 2

המעריך $x$ שייך רק ל- $2$ . מפרקים קודם לפי חוק המכפלה.

\begin{aligned}e^x &= -4 \Rightarrow x \\ &= \ln(-4)\end{aligned}

e^x>0

אין פתרון. $\ln(-4)$ לא מוגדר.

בשאלות גדילה ודעיכה מוצאים זמן בדיוק כך: $q^t=k \Rightarrow t=\frac{\log k}{\log q}$ . נפגוש את זה בפרק הבא.

Exercices

Exercice 1

פתרו את המשוואה $2^x=12$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.58

Corrigé :

x\log 2=\log 12

לוגריתם לשני האגפים

x=\frac{\log 12}{\log 2}\approx 3.58

מחלקים

בדיקת סבירות: $2^3=8$ ו- $2^4=16$ , אז $3<x<4$ . מי שקיבל $6$ חילק $12$ ב- $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו את המשוואה $5^x=0.2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

\begin{aligned}0.2 &= \tfrac{1}{5} \\ &= 5^{-1}\end{aligned}

בסיס משותף

x=-1

משווים מעריכים

לא כל משוואה צריכה מחשבון. קודם בודקים אם המספר הוא חזקה של הבסיס. מי שקיבל $0.04$ כפל $0.2 \cdot 0.2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו את המשוואה $1.5^x=10$ . עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.68

Corrigé :

x=\frac{\log 10}{\log 1.5}

לוגריתם וחלוקה

=\frac{1}{0.176}\approx 5.68

$\log 10=1$

בסיס קרוב ל- $1$ גדל לאט, ולכן המעריך גדול. מי שקיבל $0.18$ חילק הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו הפתרון של המשוואה $7^x=3$ ?

$\frac{\log 3}{\log 7}$
$\frac{\log 7}{\log 3}$
$\frac{3}{7}$
$\log \frac{3}{7}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{\log 3}{\log 7}$

Corrigé :

x\log 7=\log 3

לוגריתם וחוק החזקה

x=\frac{\log 3}{\log 7}

מחלקים ב- $\log 7$

$3<7$ , ולכן $0<x<1$ . $\frac{\log 7}{\log 3}$ גדול מ- $1$ : זה הפתרון של $3^x=7$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו את המשוואה $e^x=9$ . עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.2

Corrigé :

x=\ln 9

לוקחים $\ln$

\approx 2.20

מקש ln

מקש $\ln$ , לא $\log$ . מי שקיבל $0.95$ חישב את $\log 9$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו את המשוואה $3 \cdot 2^x=48$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

2^x=16

קודם מחלקים ב- $3$

\begin{aligned}2^x &= 2^4 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

בסיס משותף

$3 \cdot 2^x$ אינו $6^x$ . מי שכתב $6^x=48$ קיבל $x\approx 2.16$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את המשוואה $3^{x+2}=7^x$ . עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.59

Corrigé :

(x+2)\ln 3=x\ln 7

לוגריתם לשני האגפים

2\ln 3=x(\ln 7-\ln 3)

מבודדים את $x$

x=\frac{2\ln 3}{\ln 7-\ln 3}\approx 2.59

מחלקים

הסוגריים נשארים: $(x+2)\ln 3$ . מי שכתב $x+2\ln 3$ שכח שגם $2$ מוכפל ב- $\ln 3$ . בדקו: $3^{4.59}\approx 7^{2.59}\approx 155$ ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו את $9^x-4 \cdot 3^x+3=0$ בעזרת ההצבה $t=3^x$ . השלימו.

$t_1=$ ____ , $t_2=$ ____ ( $t_1<t_2$ ) ; $x_1=$ ____ , $x_2=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $t_1=$ 1 , $t_2=$ 3 ( $t_1<t_2$ ) ; $x_1=$ 0 , $x_2=$ 1

Corrigé :

\begin{aligned}9^x &= (3^x)^2 \Rightarrow t^2-4t+3 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

(t-1)(t-3)=0

$t=1$ או $t=3$

\begin{aligned}3^x &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0 \qquad 3^x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

$t=1$ נותן $x=0$ , לא $x=1$ : $3^0=1$ . מי שענה $1$ ו- $3$ שכח לחזור מ- $t$ ל- $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

למשוואה $2^x=-8$ יש פתרון: $x=-3$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

2^{-3}=\tfrac{1}{8}

מעריך שלילי נותן שבר

2^x>0

לכל $x$

לא נכון. אין פתרון. מעריך שלילי נותן מספר קטן וחיובי, אף פעם לא מספר שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פתרו את $4 \cdot 5^x=100$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

4 \cdot 5^x=100

20^x=100

x=\log_{20} 100\approx 1.54

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $20^x=100$ → $5^x=25$

Corrigé :

5^x=25

מחלקים ב- $4$

x=2

$5^2=25$

בשורה 2 כפלו $4 \cdot 5$ לפני החזקה. המעריך שייך רק ל- $5$ . בדיקה: $4 \cdot 5^2=100$ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

פתרו את $e^{2x}-5e^x+6=0$ . כתבו את סכום הפתרונות, מעוגל לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.79

Corrigé :

\begin{aligned}t &= e^x: \ t^2-5t+6 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2 \\ \ t &= 3\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}x &= \ln 2 \\ \ x &= \ln 3\end{aligned}

לוקחים $\ln$

\ln 2+\ln 3=\ln 6\approx 1.79

חוק המכפלה

סכום ה- $t$ הוא $5$ , אבל השאלה על ה- $x$ . וסכום של שני לוגריתמים הוא $\ln$ של המכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיינו: איזו משוואה נפתרת בבסיס משותף, ואיזו צריכה לוגריתם?

בסיס משותף
צריך לוגריתם

$2^x=3^{x-1}$
$25^x=125$
$3^x=10$
$4^x=32$
$8^x=\frac{1}{4}$
$e^x=2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $4^x=32$ — בסיס משותף · $3^x=10$ — צריך לוגריתם · $25^x=125$ — בסיס משותף · $2^x=3^{x-1}$ — צריך לוגריתם · $8^x=\frac{1}{4}$ — בסיס משותף · $e^x=2$ — צריך לוגריתם

Corrigé :

\begin{aligned}4^x &= 32 \Rightarrow 2^{2x} \\ &= 2^5\end{aligned}

חזקות של $2$

\begin{aligned}25^x &= 125 \Rightarrow 5^{2x} \\ &= 5^3\end{aligned}

חזקות של $5$

$8^x=\frac14$ נראית קשה, אבל $2^{3x}=2^{-2}$ . בודקים קודם אם יש בסיס משותף, ורק אחר כך לוקחים לוגריתם.

Vérifier la réponse sur elev

הנעלם בשני האגפים

עם ln

משוואה ריבועית בחזקה

Exercices

La suite se pratique sur elev