Suite arithmétique · Suites · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד אותו מספר. המספר הזה נקרא הפרש הסדרה, ומסמנים אותו $d$ .

$a_1=5$ ו- $d=4$ . כמה קפיצות יש מ- $a_1$ עד $a_6$ , ומהו $a_6$ ?

Voir la réponse et le corrigé

חמש קפיצות: $a_6=5+5 \cdot 4=25$ . מהמקום הראשון למקום ה- $n$ יש תמיד $n-1$ קפיצות.

האיבר הכללי

a_n=a_1+(n-1)d

$n-1$ הוא מספר הקפיצות. אם $d$ שלילי, הסדרה יורדת.

האיבר ה-20

בסדרה חשבונית $a_1=7$ ו- $d=3$ . מצאו את $a_{20}$ .

a_{20}=a_1+19d

$19$ קפיצות

=7+19 \cdot 3=64

בסדרה חשבונית $a_1=50$ ו- $d=-4$ . מהו $a_{13}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$a_{13}=50+12 \cdot (-4)=2$ . כש- $d$ שלילי, כל קפיצה מורידה.

האם המספר נמצא בסדרה?

אפשר לכתוב את האיבר הכללי בצורה $a_n=dn+(a_1-d)$ . למשל $a_1=7$ , $d=4$ נותן $a_n=4n+3$ .

למה $3$ לא בסדרה, אף על פי ש- $4 \cdot 0+3=3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

כי יצא $n=0$ , והמקומות מתחילים ב- $1$ . האיבר הראשון הוא $a_1=7$ .

סכום של סדרה חשבונית

מחברים את האיבר הראשון לאחרון, את השני לאחד-לפני-האחרון... כל זוג נותן אותו סכום: $a_1+a_n$ .

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

כשיודעים את האיבר האחרון

S_n=\frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}

כשיודעים את ההפרש $d$

הסכום $3+7+11+\ldots+79$

חשבו את הסכום.

\begin{aligned}a_1 &= 3 \\ \quad d &= 4\end{aligned}

מזהים את הסדרה

\begin{aligned}3+(n-1) \cdot 4 &= 79 \ \Rightarrow \ n \\ &= 20\end{aligned}

קודם מוצאים כמה איברים יש

\begin{aligned}S_{20} &= \frac{20(3+79)}{2} \\ &= 820\end{aligned}

ורק אז הסכום

בסדרה חשבונית $a_1=2$ ו- $d=3$ . מהו $S_{10}$ , סכום עשרת האיברים הראשונים?

Voir la réponse et le corrigé

$S_{10}=\frac{10(2 \cdot 2+9 \cdot 3)}{2}=\frac{10 \cdot 31}{2}=155$ .

נתון האיבר האחרון? קודם מוצאים את $n$ מתוך $a_n=a_1+(n-1)d$ . בלי $n$ אין סכום.

שלוש טעויות שחוזרות.

a_{20}=a_1+20d

a_{20}=a_1+19d

מ- $a_1$ עד $a_{20}$ יש $19$ קפיצות, לא $20$ .

\begin{aligned}3 \\ 7 \\ \ldots \\ 79: \ n &= \frac{79-3}{4} \\ &= 19\end{aligned}

\begin{aligned}n &= \frac{79-3}{4}+1 \\ &= 20\end{aligned}

החילוק נותן את מספר הקפיצות. מספר האיברים גדול ממנו ב- $1$ .

S_n=\frac{(n-1)(a_1+a_n)}{2}

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

בסכום סופרים איברים ( $n$ ), לא קפיצות.

Exercices

Exercice 1

בסדרה חשבונית $a_1=12$ ו- $d=5$ . מצאו את $a_{30}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 157

Corrigé :

a_{30}=a_1+29d

=12+29 \cdot 5=157

מי שקיבל $162$ הכפיל ב- $30$ במקום ב- $29$ : יש $n-1$ קפיצות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בסדרה חשבונית $a_4=17$ ו- $a_9=42$ . מצאו את האיבר הראשון $a_1$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}a_9-a_4 &= 5d \\ &= 25 \ \Rightarrow \ d \\ &= 5\end{aligned}

בין $a_4$ ל- $a_9$ יש חמש קפיצות

\begin{aligned}a_4 &= a_1+3d \ \Rightarrow \ 17 \\ &= a_1+15\end{aligned}

a_1=2

שתי משוואות, שני נעלמים. מי שחילק ב- $9-4+1=6$ ספר איברים במקום קפיצות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כמה איברים יש בסדרה החשבונית $8, 11, 14, \ldots, 113$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

\begin{aligned}a_1 &= 8 \\ \quad d &= 3\end{aligned}

8+(n-1) \cdot 3=113

\begin{aligned}n-1 &= 35 \ \Rightarrow \ n \\ &= 36\end{aligned}

התשובה $35$ היא מספר הקפיצות. מוסיפים $1$ כדי לספור גם את האיבר הראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בסדרה חשבונית $a_1=4$ ו- $d=2$ . חשבו את $S_{25}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 700

Corrigé :

S_{25}=\frac{25(2 \cdot 4+24 \cdot 2)}{2}

=\frac{25 \cdot 56}{2}=700

בנוסחה $2a_1+(n-1)d$ מכפילים את $a_1$ ב- $2$ . מי ששכח קיבל $\frac{25 \cdot 52}{2}=650$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בסדרה $a_n=6n-5$ : מהו המקום של האיבר הראשון שגדול מ- $100$ ?

$19$
$17$
$18$
$103$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $18$

Corrigé :

6n-5>100 \ \Rightarrow \ n>17.5

אי-שוויון

\begin{aligned}n &= 18 \\ \quad a_{18} &= 103\end{aligned}

המספר השלם הראשון שגדול מ- $17.5$

התשובה: $18$ . $17$ נותן $a_{17}=97$ , שעוד לא עבר את $100$ . $103$ הוא האיבר, לא המקום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הסדרה $a_n=2-3n$ היא סדרה חשבונית שהפרשה $d=-3$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= \left(2-3(n+1)\right)-(2-3n) \\ &= -3\end{aligned}

ההפרש קבוע

נכון. כל איבר כללי מהצורה $a_n=dn+c$ הוא סדרה חשבונית, והמקדם של $n$ הוא $d$ . כאן הסדרה יורדת: $-1, -4, -7, \ldots$

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בסדרה חשבונית $a_1=-20$ ו- $d=3$ . מצאו את האיבר החיובי הראשון.

המקום שלו: $n=$ ____ ; האיבר: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המקום שלו: $n=$ 8 ; האיבר: 1

Corrigé :

-20+(n-1) \cdot 3>0 \ \Rightarrow \ n-1>6.67

\begin{aligned}n-1 &= 7 \ \Rightarrow \ n \\ &= 8\end{aligned}

מספר הקפיצות חייב להיות שלם

\begin{aligned}a_8 &= -20+21 \\ &= 1 \\ \quad a_7 &= -2\end{aligned}

בדיקה: $a_7$ עוד שלילי

מי שעצר ב- $n=7$ קיבל $a_7=-2$ , שעוד שלילי. וגם $0$ אינו חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בסדרה חשבונית $a_1=3$ ו- $d=4$ . כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי שהסכום יהיה $210$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

\begin{aligned}S_n &= \frac{n\left[6+4(n-1)\right]}{2} \\ &= n(2n+1)\end{aligned}

2n^2+n-210=0

משוואה ריבועית ב- $n$

\begin{aligned}n &= \frac{-1 \pm 41}{4} \ \Rightarrow \ n \\ &= 10\end{aligned}

הפתרון השלילי $-10.5$ נפסל

כש- $n$ הוא הנעלם בסכום, מקבלים משוואה ריבועית. פוסלים פתרון שלילי או לא שלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חישבו את הסכום $5+9+13+\ldots+85$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

d=4

\begin{aligned}n &= \frac{85-5}{4} \\ &= 20\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{20(5+85)}{2} \\ &= 900\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $n=\frac{85-5}{4}=20$ → $n=\frac{85-5}{4}+1=21$

Corrigé :

\begin{aligned}5+(n-1) \cdot 4 &= 85 \ \Rightarrow \ n \\ &= 21\end{aligned}

\begin{aligned}S_{21} &= \frac{21 \cdot 90}{2} \\ &= 945\end{aligned}

הסכום הנכון

החילוק $\frac{85-5}{4}=20$ סופר קפיצות. יש $21$ איברים, והסכום $945$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חשבו את סכום כל המספרים הדו-ספרתיים שמתחלקים ב- $7$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 728

Corrigé :

14, 21, \ldots, 98

הראשון $14$ , האחרון $98$ , $d=7$

\begin{aligned}14+(n-1) \cdot 7 &= 98 \ \Rightarrow \ n \\ &= 13\end{aligned}

\begin{aligned}S_{13} &= \frac{13(14+98)}{2} \\ &= 728\end{aligned}

הדו-ספרתי הראשון שמתחלק ב- $7$ הוא $14$ , לא $7$ . והאחרון הוא $98$ , כי $105$ כבר תלת-ספרתי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

התאימו לכל נתון את הנוסחה שמתאימה לו.

נתונים $a_1$ , $d$ , ומבקשים איבר
נתונים $a_1$ , האיבר האחרון $a_n$ ו- $n$
נתונים $a_1$ , $d$ ו- $n$ , ומבקשים סכום
נתונים שני איברים $a_k$ ו- $a_m$

$a_m-a_k=(m-k)d$
$a_n=a_1+(n-1)d$
$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$
$S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נתונים $a_1$ , $d$ , ומבקשים איבר — $a_n=a_1+(n-1)d$ · נתונים $a_1$ , האיבר האחרון $a_n$ ו- $n$ — $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ · נתונים $a_1$ , $d$ ו- $n$ , ומבקשים סכום — $S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$ · נתונים שני איברים $a_k$ ו- $a_m$ — $a_m-a_k=(m-k)d$

Corrigé :

a_m-a_k=(m-k)d

בין $a_k$ ל- $a_m$ יש $m-k$ קפיצות

הנוסחה האחרונה היא הקיצור של שאלה $2$ : מחסרים שני איברים, ו- $a_1$ נעלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

בסדרה חשבונית $a_3+a_7=30$ . מצאו את $a_5$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

\begin{aligned}a_3 &= a_5-2d \\ \quad a_7 &= a_5+2d\end{aligned}

$a_5$ באמצע, שתי קפיצות מכל צד

\begin{aligned}a_3+a_7 &= 2a_5 \\ &= 30 \ \Rightarrow \ a_5 \\ &= 15\end{aligned}

לא צריך את $a_1$ ולא את $d$ . איבר אמצעי הוא הממוצע של שני איברים שרחוקים ממנו באותו מרחק.

Vérifier la réponse sur elev

האיבר הכללי

האם המספר נמצא בסדרה?

סכום של סדרה חשבונית

Exercices

La suite se pratique sur elev