Suite géométrique

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בסדרה הנדסית כופלים בכל צעד באותו מספר. המספר הזה נקרא מנת הסדרה, ומסמנים אותו qq.

כמה גרגרים יש במשבצת ה-1010? ולמה המעריך הוא 99 ולא 1010?

Voir la réponse et le corrigé

a10=1⋅29=512a_{10}=1 \cdot 2^9=512. מהמשבצת הראשונה עד העשירית יש תשע הכפלות, כמו תשע הקפיצות בסדרה חשבונית.

האיבר הכללי

an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}
3162123244485×2×2×2×2…
הסדרה 3,6,12,24,48,…3, 6, 12, 24, 48, \ldots: כל חץ הוא ×2\times 2. מהמקום הראשון למקום החמישי יש ארבעה חיצים: a5=3⋅24=48a_5=3 \cdot 2^4=48.

האיבר השישי

בסדרה הנדסית a1=5a_1=5 ו-q=3q=3. מצאו את a6a_6.

a6=a1⋅q5a_6=a_1 \cdot q^5

חמש הכפלות

=5⋅243=1215=5 \cdot 243=1215

בסדרה הנדסית a1=64a_1=64 ו-q=12q=\frac{1}{2}. מהו a7a_7?

Voir la réponse et le corrigé

a7=64⋅(12)6=6464=1a_7=64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{64}{64}=1. כש-0<q<10<q<1 הסדרה יורדת.

מוצאים את q ואת n

מחלקים איבר באיבר שלפניו: q=an+1anq=\frac{a_{n+1}}{a_n}. ומשני איברים רחוקים: a7a4=q3\frac{a_7}{a_4}=q^3.

נתונים שני איברים

בסדרה הנדסית a2=6a_2=6 ו-a5=162a_5=162. מצאו את qq ואת a1a_1.

a5a2=q3=1626=27\begin{aligned}\frac{a_5}{a_2} &= q^3 \\ &= \frac{162}{6} \\ &= 27\end{aligned}

בין a2a_2 ל-a5a_5 שלוש הכפלות

q=3q=3

שורש שלישי של 2727

a1=a2q=63=2\begin{aligned}a_1 &= \frac{a_2}{q} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

כשהנעלם הוא nn, הוא נמצא במעריך. פותרים בעזרת לוגריתם, כמו בפרק הלוגריתמים.

האיבר הראשון שעובר את 10,000

בסדרה an=3⋅2n−1a_n=3 \cdot 2^{n-1}: מהו המקום של האיבר הראשון שגדול מ-10,00010{,}000?

3⋅2n−1>10000 ⇒ 2n−1>3333.33 \cdot 2^{n-1}>10000 \ \Rightarrow \ 2^{n-1}>3333.3

מבודדים את החזקה

n−1>log⁡3333.3log⁡2≈11.70n-1>\frac{\log 3333.3}{\log 2} \approx 11.70

מוציאים לוגריתם משני האגפים

n−1=12 ⇒ n=13\begin{aligned}n-1 &= 12 \ \Rightarrow \ n \\ &= 13\end{aligned}

השלם הראשון

a12=6144a13=12288\begin{aligned}a_{12} &= 6144 \\ \quad a_{13} &= 12288\end{aligned}

בדיקה בשני הצדדים ✓

סכום של סדרה הנדסית

Sn=a1(qn−1)q−1q≠1S_n=\frac{a_1\left(q^n-1\right)}{q-1} \qquad q \neq 1

כמה גרגרים יש בסך הכול בעשר המשבצות הראשונות?

Voir la réponse et le corrigé

S10=1⋅(210−1)2−1=1023S_{10}=\frac{1 \cdot (2^{10}-1)}{2-1}=1023. שימו לב: זה פחות אחד מהמשבצת ה-1111, 210=10242^{10}=1024.

שלוש טעויות בנוסחאות של סדרה הנדסית.

an=a1⋅qna_n=a_1 \cdot q^n
an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}

יש n−1n-1 הכפלות, כמו n−1n-1 קפיצות.

an=(a1⋅q)n−1a_n=(a_1 \cdot q)^{n-1}
an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}

החזקה חלה רק על qq.

54−186: q=3\begin{aligned}54 \\ -18 \\ 6: \ q &= 3\end{aligned}
q=−13q=-\frac{1}{3}

מחלקים אחרי בלפני: −1854=−13\frac{-18}{54}=-\frac{1}{3}, עם הסימן.

Exercices

Exercice 1

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2 ו-q=3q=3. מצאו את a6a_6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 486

Corrigé :

a6=2⋅35a_6=2 \cdot 3^5
=2⋅243=486=2 \cdot 243=486

מי שקיבל 14581458 חישב 2⋅362 \cdot 3^6: יש חמש הכפלות, לא שש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בסדרה הנדסית a3=12a_3=12 ו-a6=96a_6=96. מצאו את a1a_1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

a6a3=q3=8 ⇒ q=2\begin{aligned}\frac{a_6}{a_3} &= q^3 \\ &= 8 \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}
a3=a1q2 ⇒ 12=4a1 ⇒ a1=3\begin{aligned}a_3 &= a_1 q^2 \ \Rightarrow \ 12 \\ &= 4a_1 \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 3\end{aligned}

בסדרה הנדסית מחלקים שני איברים כדי למצוא את qq. מי שחיסר 96−1296-12 השתמש בכלי של סדרה חשבונית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את הסכום 1+3+9+…1+3+9+\ldots של שמונת האיברים הראשונים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3280

Corrigé :

a1=1q=3n=8\begin{aligned}a_1 &= 1 \\ \quad q &= 3 \\ \quad n &= 8\end{aligned}
S8=38−13−1=65602=3280\begin{aligned}S_8 &= \frac{3^8-1}{3-1} \\ &= \frac{6560}{2} \\ &= 3280\end{aligned}

האיבר השמיני הוא 37=21873^7=2187, וסכום שמונת האיברים הוא 32803280. אל תבלבלו בין איבר לסכום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי מנת הסדרה ההנדסית 54,−18,6,…54, -18, 6, \ldots?

  1. 33
  2. −3-3
  3. 13\frac{1}{3}
  4. −13-\frac{1}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −13-\frac{1}{3}

Corrigé :

q=a2a1=−1854=−13\begin{aligned}q &= \frac{a_2}{a_1} \\ &= \frac{-18}{54} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}
6⋅(−13)=−26 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-2

האיבר הבא: הסימנים מתחלפים

התשובה: −13-\frac{1}{3}. −3-3 מחלקת a1a_1 ב-a2a_2 — הפוך. 13\frac{1}{3} שוכחת את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

המספרים 2,6,18,362, 6, 18, 36 הם ארבעה איברים עוקבים של סדרה הנדסית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

62=3186=33618=2\begin{aligned}\frac{6}{2} &= 3 \\ \quad \frac{18}{6} &= 3 \\ \quad \frac{36}{18} &= 2\end{aligned}

המנות לא שוות

לא נכון. שלוש מנות צריכות להיות שוות. שתי מנות שוות בהתחלה עוד לא מוכיחות שזו סדרה הנדסית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בסדרה ההנדסית 5,10,20,…5, 10, 20, \ldots: באיזה מקום נמצא האיבר 51205120?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

5⋅2n−1=51205 \cdot 2^{n-1}=5120
2n−1=1024=210\begin{aligned}2^{n-1} &= 1024 \\ &= 2^{10}\end{aligned}
n−1=10 ⇒ n=11\begin{aligned}n-1 &= 10 \ \Rightarrow \ n \\ &= 11\end{aligned}

המעריך הוא n−1n-1, ולכן n=11n=11 ולא 1010.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בסדרה הנדסית a1=4a_1=4 ו-q=1.5q=1.5. מהו nn הקטן ביותר שעבורו an>1000a_n>1000?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

4⋅1.5n−1>1000 ⇒ 1.5n−1>2504 \cdot 1.5^{n-1}>1000 \ \Rightarrow \ 1.5^{n-1}>250
n−1>log⁡250log⁡1.5≈13.62n-1>\frac{\log 250}{\log 1.5} \approx 13.62

לוגריתם; 1.5>11.5>1 ולכן הכיוון נשמר

n−1=14 ⇒ n=15\begin{aligned}n-1 &= 14 \ \Rightarrow \ n \\ &= 15\end{aligned}
a14≈778,a15≈1168a_{14} \approx 778 ,\quad a_{15} \approx 1168

בדיקה ✓

מי שעיגל את 13.6213.62 ל-1414 וענה n=14n=14 שכח שהמעריך הוא n−1n-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בסדרה הנדסית a1=6a_1=6 ו-q=12q=\frac{1}{2}. השלימו (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

a4=a_4= ____ ; S4=S_4= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a4=a_4= 0.75 ; S4=S_4= 11.25

Corrigé :

a4=6⋅(12)3=68=0.75\begin{aligned}a_4 &= 6 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 \\ &= \frac{6}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}
S4=6((12)4−1)12−1=6⋅(−1516)−12=11.25\begin{aligned}S_4 &= \frac{6\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4-1\right)}{\frac{1}{2}-1} \\ &= \frac{6 \cdot \left(-\frac{15}{16}\right)}{-\frac{1}{2}} \\ &= 11.25\end{aligned}
6+3+1.5+0.75=11.256+3+1.5+0.75=11.25

בדיקה בחיבור ישיר ✓

כש-q<1q<1 גם המונה וגם המכנה בנוסחת הסכום שליליים, והסכום יוצא חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בסדרה הנדסית a1=3a_1=3 ו-q=2q=2. כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי לקבל 765765?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

3(2n−1)2−1=765\frac{3(2^n-1)}{2-1}=765
2n−1=255 ⇒ 2n=256\begin{aligned}2^n-1 &= 255 \ \Rightarrow \ 2^n \\ &= 256\end{aligned}
n=8n=8

בנוסחת הסכום המעריך הוא nn, לא n−1n-1. מי שכתב 2n−1=2562^{n-1}=256 קיבל 99.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2, q=3q=3 חישבו את a5a_5. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}
a5=2⋅35a_5=2 \cdot 3^5
=2⋅243=486=2 \cdot 243=486
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a5=2⋅35a_5=2 \cdot 3^5 → a5=2⋅34=162a_5=2 \cdot 3^4=162

Corrigé :

a5=2⋅34=2⋅81=162\begin{aligned}a_5 &= 2 \cdot 3^4 \\ &= 2 \cdot 81 \\ &= 162\end{aligned}

ארבע הכפלות

הנוסחה נכונה, אבל בהצבה כתבו q5q^5 במקום q5−1q^{5-1}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים a2=10a_2=10 ו-a4=40a_4=40. חשבו את S6S_6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 315

Corrigé :

q2=4010=4 ⇒ q=2\begin{aligned}q^2 &= \frac{40}{10} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}

האיברים חיוביים, ולכן q=2q=2 ולא −2-2

a1=102=5\begin{aligned}a_1 &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}
S6=5(26−1)2−1=315\begin{aligned}S_6 &= \frac{5(2^6-1)}{2-1} \\ &= 315\end{aligned}

בלי הנתון «כל איבריה חיוביים», גם q=−2q=-2 אפשרי: −5,10,−20,40,…-5, 10, -20, 40, \ldots וסכום אחר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe