Suite géométrique infinie convergente

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מפילים כדור מגובה 400400 ס״מ. אחרי כל פגיעה ברצפה הוא עולה לחצי מהגובה הקודם. האם הכדור יעבור מרחק אינסופי?

יש אינסוף קפיצות. האם סכום הגבהים 200+100+50+…200+100+50+\ldots גדל בלי סוף?

Voir la réponse et le corrigé

לא. כל קפיצה סוגרת חצי מהמרחק שנשאר עד 400400. הסכום מתקרב ל-400400, ואף פעם לא עובר אותו.

הסכומים החלקיים

SnS_n הוא הסכום של nn האיברים הראשונים. בסדרה 6+3+1.5+…6+3+1.5+\ldots נצייר את S1,S2,S3,…S_1, S_2, S_3, \ldots

הסכומים החלקיים של 6+3+1.5+…6+3+1.5+\ldots
120123456789024681012nS
S1=6S_1=6, S2=9S_2=9, S3=10.5S_3=10.5... הנקודות מתקרבות לקו 1212 ולא מגיעות אליו. המספר 1212 הוא סכום הסדרה האינסופית.

הנוסחה

S=a11−q−1<q<1S=\frac{a_1}{1-q} \qquad -1<q<1

למה? כש-∣q∣<1|q|<1, החזקה qnq^n קטנה ומתקרבת ל-00. בנוסחה Sn=a1(1−qn)1−qS_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} נשאר a11−q\frac{a_1}{1-q}.

סדרה כזו נקראת סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. כש-∣q∣≥1|q| \geq 1 אין סכום.

q=12q=\frac{1}{2}

מתכנסת: האיברים קטנים

q=−12q=-\frac{1}{2}

מתכנסת: הסימנים מתחלפים, והאיברים קטנים

q=1q=1

לא מתכנסת: 5+5+5+…5+5+5+\ldots

q=−1q=-1

לא מתכנסת: 5−5+5−…5-5+5-\ldots

q=2q=2

לא מתכנסת: האיברים גדלים

סכום עם q שלילי

חשבו את הסכום 9−3+1−13+…9-3+1-\frac{1}{3}+\ldots

a1=9q=−13\begin{aligned}a_1 &= 9 \\ \quad q &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

∣q∣<1|q|<1 ✓

S=91−(−13)=943\begin{aligned}S &= \frac{9}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)} \\ &= \frac{9}{\frac{4}{3}}\end{aligned}

מציבים את qq עם הסימן

=274=6.75=\frac{27}{4}=6.75

מהו סכום הסדרה ההנדסית האינסופית שבה a1=20a_1=20 ו-q=0.2q=0.2?

Voir la réponse et le corrigé

S=201−0.2=200.8=25S=\frac{20}{1-0.2}=\frac{20}{0.8}=25.

מוצאים את a₁ או את q מתוך הסכום

נתון הסכום ונתונה המנה

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 3636, ו-q=23q=\frac{2}{3}. מצאו את a1a_1.

a11−23=36\frac{a_1}{1-\frac{2}{3}}=36
a1=36⋅13=12\begin{aligned}a_1 &= 36 \cdot \frac{1}{3} \\ &= 12\end{aligned}

נתון הסכום ונתון האיבר הראשון

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 4040, ו-a1=10a_1=10. מצאו את qq.

101−q=40 ⇒ 1−q=14\begin{aligned}\frac{10}{1-q} &= 40 \ \Rightarrow \ 1-q \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}
q=34q=\frac{3}{4}

∣q∣<1|q|<1 ✓: התשובה אפשרית

המרחק של הכדור

הכדור מההתחלה נופל מ-400400 ס״מ, ואז עולה ויורד. איזה מרחק יעבור בסך הכול?

400400

הנפילה הראשונה: פעם אחת

2⋅(200+100+50+…)2 \cdot (200+100+50+\ldots)

כל גובה אחר: פעמיים, למעלה ולמטה

400+2⋅2001−12=400+800=1200\begin{aligned}400+2 \cdot \frac{200}{1-\frac{1}{2}} &= 400+800 \\ &= 1200\end{aligned}

התשובה: 12001200 ס״מ

לפני שמציבים ב-a11−q\frac{a_1}{1-q}: בודקים ש-∣q∣<1|q|<1. וכשמוצאים qq מתוך סכום, בודקים שוב בסוף.

שלוש טעויות של הסכום האינסופי.

3+6+12+…: S=31−2=−3\begin{aligned}3+6+12+\ldots: \ S &= \frac{3}{1-2} \\ &= -3\end{aligned}
q=2: אין סכוםq=2: \ \text{אין סכום}

סכום של מספרים חיוביים לא יכול לצאת שלילי. ∣q∣>1|q|>1, ולכן אין סכום.

q=−12: S=a11−12\begin{aligned}q &= -\tfrac{1}{2}: \ S \\ &= \frac{a_1}{1-\frac{1}{2}}\end{aligned}
S=a11+12S=\frac{a_1}{1+\frac{1}{2}}

1−q=1−(−12)=321-q=1-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}. מינוס כפול מינוס.

an=5⋅(12)n: a1=5\begin{aligned}a_n &= 5 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^n: \ a_1 \\ &= 5\end{aligned}
a1=52a_1=\frac{5}{2}

מציבים n=1n=1 באיבר הכללי. אל תניחו שהמקדם הוא a1a_1.

Exercices

Exercice 1

חשבו את הסכום 12+4+43+…12+4+\frac{4}{3}+\ldots

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

a1=12q=412=13\begin{aligned}a_1 &= 12 \\ \quad q &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}
S=121−13=1223=18\begin{aligned}S &= \frac{12}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \frac{12}{\frac{2}{3}} \\ &= 18\end{aligned}

חלוקה בשבר היא כפל בהפוך: 12⋅32=1812 \cdot \frac{3}{2}=18. מי שקיבל 88 כפל ב-23\frac{2}{3} במקום לחלק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את הסכום 15−5+53−…15-5+\frac{5}{3}-\ldots (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.25

Corrigé :

q=−515=−13\begin{aligned}q &= \frac{-5}{15} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}
S=151+13=1543=454=11.25\begin{aligned}S &= \frac{15}{1+\frac{1}{3}} \\ &= \frac{15}{\frac{4}{3}} \\ &= \frac{45}{4} \\ &= 11.25\end{aligned}

מי שקיבל 22.522.5 הציב 1−131-\frac{1}{3}: שכח את הסימן של qq.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לסדרה ההנדסית האינסופית 1+1.1+1.21+…1+1.1+1.21+\ldots יש סכום סופי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

q=1.11=1.1>1\begin{aligned}q &= \frac{1.1}{1} \\ &= 1.1>1\end{aligned}

לא נכון. q=1.1q=1.1, והאיברים גדלים. הנוסחה הייתה נותנת 11−1.1=−10\frac{1}{1-1.1}=-10: מספר שלילי, סימן שאסור היה להציב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 5050, ו-q=0.6q=0.6. מצאו את a1a_1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

a11−0.6=50\frac{a_1}{1-0.6}=50
a1=50⋅0.4=20\begin{aligned}a_1 &= 50 \cdot 0.4 \\ &= 20\end{aligned}

מכפילים את הסכום ב-1−q1-q, לא ב-qq. מי שקיבל 3030 חישב 50⋅0.650 \cdot 0.6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 2424, והאיבר הראשון הוא 1818. מצאו את qq.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

181−q=24 ⇒ 1−q=1824=34\begin{aligned}\frac{18}{1-q} &= 24 \ \Rightarrow \ 1-q \\ &= \frac{18}{24} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}
q=14=0.25\begin{aligned}q &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

∣q∣<1|q|<1 ✓

מי שענה 0.750.75 מצא את 1−q1-q, ולא את qq.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לאיזו מנה qq יש לסדרה ההנדסית האינסופית סכום?

  1. q=1.2q=1.2
  2. q=−0.8q=-0.8
  3. q=1q=1
  4. q=−1.5q=-1.5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B q=−0.8q=-0.8

Corrigé :

∣−0.8∣=0.8<1|-0.8|=0.8<1

רק כאן

התשובה: q=−0.8q=-0.8. מנה שלילית לא מפריעה, כל עוד ∣q∣<1|q|<1. ב-q=1q=1 מחברים אותו מספר בלי סוף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

כתבו את 0.777…0.777\ldots כסכום 0.7+0.07+0.007+…0.7+0.07+0.007+\ldots, ומצאו אותו כשבר פשוט.

  1. 97\frac{9}{7}
  2. 77100\frac{77}{100}
  3. 710\frac{7}{10}
  4. 79\frac{7}{9}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 79\frac{7}{9}

Corrigé :

a1=0.7q=0.1\begin{aligned}a_1 &= 0.7 \\ \quad q &= 0.1\end{aligned}
S=0.71−0.1=0.70.9=79\begin{aligned}S &= \frac{0.7}{1-0.1} \\ &= \frac{0.7}{0.9} \\ &= \frac{7}{9}\end{aligned}

התשובה: 79\frac{7}{9}. 710\frac{7}{10} הוא רק האיבר הראשון, ו-77100\frac{77}{100} רק שני האיברים הראשונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בסדרה הנדסית אינסופית יורדת a2=6a_2=6, וסכום הסדרה הוא 3232. ידוע ש-q>12q>\frac{1}{2}. מצאו את qq ואת a1a_1.

q=q= ____ ; a1=a_1= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : q=q= 0.75 ; a1=a_1= 8

Corrigé :

a1q=6a11−q=32\begin{aligned}a_1 q &= 6 \\ \quad \frac{a_1}{1-q} &= 32\end{aligned}

שתי משוואות

32(1−q)q=6 ⇒ 16q2−16q+3=0\begin{aligned}32(1-q)q &= 6 \ \Rightarrow \ 16q^2-16q+3 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים a1=32(1−q)a_1=32(1-q)

q=14 או q=34\begin{aligned}q &= \frac{1}{4} \ \text{או} \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}
q=34 ⇒ a1=634=8\begin{aligned}q &= \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= \frac{6}{\frac{3}{4}} \\ &= 8\end{aligned}

לפי הנתון q>12q>\frac{1}{2}

לשני הפתרונות יש סדרה אמיתית: גם 24+6+1.5+…24+6+1.5+\ldots מתכנסת ל-3232. רק הנתון q>12q>\frac{1}{2} בוחר ביניהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כדור נופל מגובה 66 מטר. אחרי כל פגיעה ברצפה הוא עולה ל-23\frac{2}{3} מהגובה הקודם. איזה מרחק (במטרים) יעבור הכדור בסך הכול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

6⋅23=46 \cdot \frac{2}{3}=4

הגובה של הקפיצה הראשונה

4+83+…=41−23=12\begin{aligned}4+\frac{8}{3}+\ldots &= \frac{4}{1-\frac{2}{3}} \\ &= 12\end{aligned}

סכום כל הגבהים

6+2⋅12=306+2 \cdot 12=30

כל גובה נספר פעמיים: למעלה ולמטה

מי שענה 1818 ספר את הקפיצות רק פעם אחת. מי שענה 3636 ספר גם את הנפילה הראשונה פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חישבו את הסכום 8−4+2−…8-4+2-\ldots. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

q=−48=−12\begin{aligned}q &= \frac{-4}{8} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}
S=81−12=16\begin{aligned}S &= \frac{8}{1-\frac{1}{2}} \\ &= 16\end{aligned}
∣q∣<1|q|<1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S=81−12=16S=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=16 → S=81+12=163S=\frac{8}{1+\frac{1}{2}}=\frac{16}{3}

Corrigé :

1−q=1−(−12)=32\begin{aligned}1-q &= 1-\left(-\tfrac{1}{2}\right) \\ &= \tfrac{3}{2}\end{aligned}
S=832=163\begin{aligned}S &= \frac{8}{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{16}{3}\end{aligned}

הציבו qq בלי הסימן. 1616 הוא הסכום של 8+4+2+…8+4+2+\ldots, עם כל האיברים חיוביים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה הסדרה an=5⋅(12)na_n=5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n, n≥1n \geq 1. חשבו את סכום כל איבריה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

a1=5⋅12=52q=12\begin{aligned}a_1 &= 5 \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{5}{2} \\ \quad q &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מציבים n=1n=1

S=521−12=5\begin{aligned}S &= \frac{\frac{5}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\ &= 5\end{aligned}

מי שענה 1010 לקח a1=5a_1=5. במעריך כתוב nn ולא n−1n-1, ולכן 55 הוא לא האיבר הראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

בסדרה 8+4+2+…8+4+2+\ldots הסכום האינסופי הוא 1616. מהו nn הקטן ביותר שעבורו Sn>15.9S_n>15.9?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

Sn=16(1−(12)n)>15.9S_n=16\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right)>15.9

סכום חלקי

(12)n<1160 ⇒ 2n>160\left(\tfrac{1}{2}\right)^n<\frac{1}{160} \ \Rightarrow \ 2^n>160

הופכים: כיוון אי-השוויון מתהפך

n>log⁡160log⁡2≈7.32 ⇒ n=8n>\frac{\log 160}{\log 2} \approx 7.32 \ \Rightarrow \ n=8
S7=15.875S8=15.9375\begin{aligned}S_7 &= 15.875 \\ \quad S_8 &= 15.9375\end{aligned}

בדיקה ✓

כשהופכים שבר באי-שוויון, הכיוון מתהפך. מי שלא הפך קיבל n<7.32n<7.32, וזה לא הגיוני: סכום גדל כש-nn גדל.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe