Résoudre ensemble — problèmes en contexte · Suites · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון שאלה 1 של הבגרות: סיפור, ואחריו כמה סעיפים שנשענים זה על זה. פותרים כל שאלה יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלה מילולית, לפני כל חישוב: איזו סדרה זו (מוסיפים או כופלים?), ומה מבקשים: איבר, סכום, או מקום $n$ .

1 — חיסכון חודשי: סדרה חשבונית

Activité interactive

דנה חוסכת כסף. בחודש הראשון היא חסכה $200$ ₪, ובכל חודש היא חוסכת $50$ ₪ יותר מבחודש הקודם. א. כמה כסף תחסוך דנה בחודש ה- $12$ ? ב. כמה כסף תחסוך בסך הכול ב- $12$ החודשים הראשונים? ג. אחרי כמה חודשים יהיו לה בסך הכול $9200$ ₪?

\begin{aligned}a_1 &= 200 \\ \quad d &= 50\end{aligned}

לחצו «להתחיל». « $50$ ₪ יותר בכל חודש» פירושו: מוסיפים אותו מספר. זו סדרה חשבונית.

א. איבר

\begin{aligned}a_{12} &= 200+11 \cdot 50 \\ &= 750\end{aligned}

בחודש ה- $12$ היא חוסכת $750$ ₪: איבר, לא סכום.

ב. סכום

\begin{aligned}S_{12} &= \frac{12(200+750)}{2} \\ &= 5700\end{aligned}

את $a_{12}$ כבר מצאנו בסעיף א.

ג. המשוואה

\begin{aligned}S_n &= \frac{n\left[400+50(n-1)\right]}{2} \\ &= 25n^2+175n\end{aligned}

הנעלם עכשיו הוא מספר החודשים $n$ .

ג. פתרון

\begin{aligned}25n^2+175n &= 9200 \ \Rightarrow \ n^2+7n-368 \\ &= 0\end{aligned}

מחלקים ב- $25$ .

ג. n

\begin{aligned}n &= \frac{-7 \pm 39}{2} \ \Rightarrow \ n \\ &= 16\end{aligned}

הפתרון השלילי $-23$ נפסל: אחרי $16$ חודשים.

שלוש שאלות, שלושה כלים: $a_n$ בסעיף א, $S_n$ בסעיף ב, ובסעיף ג $S_n$ עם $n$ נעלם.

Faire l'activité sur elev

איך בודקים את התשובה של סעיף ג בלי משוואה?

Voir la réponse et le corrigé

מציבים $n=16$ : $a_{16}=200+15 \cdot 50=950$ , ו- $S_{16}=\frac{16(200+950)}{2}=9200$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מכירות שמכפילות את עצמן: סדרה הנדסית

Activité interactive

יריד הספרים

ביריד ספרים מכרו ביום הראשון $5$ ספרים. בכל יום מכרו פי 2 ספרים מאשר ביום הקודם. א. כמה ספרים מכרו ביום השישי? ב. כמה ספרים מכרו בסך הכול בששת הימים הראשונים? ג. באיזה יום מכרו לראשונה יותר מ- $2000$ ספרים?

איזו סדרה מתארת את מספר הספרים בכל יום?

חשבונית, $d=2$

Voir la réponse et le corrigé

«פי 2» הוא כפל, לא חיבור של $2$ .

הנדסית, $a_1=5$ , $q=2$

Voir la réponse et le corrigé

כל יום כופלים באותו מספר.

\begin{aligned}a_6 &= 5 \cdot 2^5 \\ &= 160\end{aligned}

ביום השישי: $160$ ספרים.

מה מחשבים בסעיף ב?

$a_6$ , כי זה היום האחרון

Voir la réponse et le corrigé

$a_6$ הוא רק היום השישי, לא כל הימים.

$S_6$ , סכום ששת האיברים הראשונים

Voir la réponse et le corrigé

«בסך הכול» הוא סכום.

\begin{aligned}S_6 &= \frac{5(2^6-1)}{2-1} \\ &= 315\end{aligned}

בששת הימים: $315$ ספרים.

איך מוצאים את היום בסעיף ג?

פותרים $5 \cdot 2^{n-1}>2000$

Voir la réponse et le corrigé

שואלים על יום אחד, ולכן על איבר.

פותרים $5(2^n-1)>2000$

Voir la réponse et le corrigé

זה הסכום של כל הימים. השאלה היא על מה שמכרו באותו יום.

2^{n-1}>400 \ \Rightarrow \ n-1>\frac{\log 400}{\log 2} \approx 8.64

מוציאים לוגריתם.

מהו היום?

היום ה- $9$

Voir la réponse et le corrigé

כאן $n-1>8.64$ , ולכן $n-1$ הוא לפחות $9$ .

היום ה- $10$

Voir la réponse et le corrigé

$n-1=9$ , ולכן $n=10$ .

\begin{aligned}a_9 &= 1280 \\ \quad a_{10} &= 2560\end{aligned}

בדיקה בשני הצדדים ✓

Voir la réponse et le corrigé

א. $160$ ספרים. ב. $315$ ספרים. ג. ביום ה- $10$ . הטעות של סעיף ג: לבלבל בין «באותו יום» (איבר) ל«בסך הכול» (סכום).

Faire l'activité sur elev

ובאיזה יום הסכום הכולל עבר לראשונה את $2000$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$5(2^n-1)>2000 \ \Rightarrow \ 2^n>401$ , ולכן $n=9$ : $S_9=2555$ . יום אחד קודם — כי הסכום כולל את כל הימים.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה, ושאלה 5 שואלת על הסכום.

3 — סדרה הנדסית אינסופית

Activité interactive

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת. סכום הסדרה גדול פי $3$ מהאיבר הראשון שלה, ו- $a_2=8$ . א. מצאו את מנת הסדרה. ב. מצאו את $a_1$ ואת סכום הסדרה. ג. חשבו את סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.

\begin{aligned}S &= 3a_1 \\ \quad a_2 &= 8\end{aligned}

לחצו «להתחיל». «פי $3$ מהאיבר הראשון» הוא משוואה עם $a_1$ ו- $q$ .

א. המשוואה

\frac{a_1}{1-q}=3a_1

מחלקים ב- $a_1$ , שאינו $0$ .

א. q

\begin{aligned}1-q &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

$|q|<1$ ✓, והסדרה יורדת.

ב. a₁

\begin{aligned}a_1 &= \frac{a_2}{q} \\ &= \frac{8}{\frac{2}{3}} \\ &= 12\end{aligned}

ב. הסכום

\begin{aligned}S &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

לפי הנתון: פי $3$ מ- $a_1$ .

ג. תת-סדרה

\begin{aligned}a_2 \\ \ a_4 \\ \ a_6 \\ \ \ldots: \quad b_1 &= 8 \\ \quad q_b &= q^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

בין שני מקומות זוגיים יש שתי הכפלות.

ג. הסכום

\begin{aligned}\frac{8}{1-\frac{4}{9}} &= \frac{8}{\frac{5}{9}} \\ &= \frac{72}{5} \\ &= 14.4\end{aligned}

האיברים במקומות הזוגיים הם סדרה הנדסית חדשה: מתחילה ב- $a_2$ , והמנה שלה $q^2$ .

Faire l'activité sur elev

מהו סכום האיברים במקומות האי-זוגיים?

Voir la réponse et le corrigé

$36-14.4=21.6$ . או ישר: $\frac{12}{1-\frac{4}{9}}=21.6$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — יחס בין סכומים

Activité interactive

עשרה איברים

בסדרה הנדסית יש $10$ איברים. $a_1=3$ ו- $q=2$ . א. חשבו את סכום חמשת האיברים הראשונים ואת סכום חמשת האיברים האחרונים. ב. מצאו את היחס בין הסכום השני לסכום הראשון. ג. מצאו את היחס בין סכום האיברים במקומות הזוגיים לסכום האיברים במקומות האי-זוגיים.

איך מחשבים את סכום חמשת האחרונים?

$S_{10}-S_5$

Voir la réponse et le corrigé

כל העשרה, פחות חמשת הראשונים.

$2 \cdot S_5$

Voir la réponse et le corrigé

הסכומים לא מוכפלים ב- $q$ אלא ב- $q^5$ : כל איבר רחוק חמישה מקומות.

$S_5$ עם $n=10$

Voir la réponse et le corrigé

זה כבר $S_{10}$ , סכום כל העשרה.

\begin{aligned}S_5 &= 3 \cdot 31 \\ &= 93 \\ \quad S_{10} &= 3 \cdot 1023 \\ &= 3069 \\ \quad S_{10}-S_5 &= 2976\end{aligned}

מהו היחס?

$q^5=32$

Voir la réponse et le corrigé

כל איבר אחרון הוא פי $q^5$ מהאיבר שנמצא חמישה מקומות לפניו.

$q=2$

Voir la réponse et le corrigé

זו המנה בין שני איברים שכנים.

$q^{10}=1024$

Voir la réponse et le corrigé

הקבוצות רחוקות חמישה מקומות, לא עשרה.

\begin{aligned}\frac{2976}{93} &= 32 \\ &= 2^5\end{aligned}

ומה היחס בין הזוגיים לאי-זוגיים?

$q=2$

Voir la réponse et le corrigé

$a_2=q a_1$ , $a_4=q a_3$ ... כל זוגי הוא פי $q$ מהאי-זוגי שלפניו.

$q^2=4$

Voir la réponse et le corrigé

$q^2$ היא המנה בתוך תת-הסדרה, לא בין שתי תת-הסדרות.

\begin{aligned}\frac{a_2+a_4+\ldots+a_{10}}{a_1+a_3+\ldots+a_9} &= q \\ &= 2\end{aligned}

$\frac{2046}{1023}=2$ ✓

Voir la réponse et le corrigé

א. $93$ ו- $2976$ . ב. $32$ . ג. $2$ . אפשר למצוא יחס בין סכומים בלי לחשב אותם: מוציאים $q^k$ כגורם משותף.

Faire l'activité sur elev

אם היו בסדרה $12$ איברים, מה היה היחס בין סכום ששת האחרונים לסכום ששת הראשונים?

Voir la réponse et le corrigé

$q^6=64$ : כל איבר אחרון רחוק שישה מקומות מהאיבר שמולו.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

יוסי מתאמן בריצה. ביום הראשון רץ $2$ ק״מ, ובכל יום רץ $0.5$ ק״מ יותר מאשר ביום הקודם. השלימו (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

ביום ה- $10$ רץ ____ ק״מ ; בעשרת הימים הראשונים רץ בסך הכול ____ ק״מ ; הוא ירוץ בסך הכול $65$ ק״מ אחרי ____ ימים

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ביום ה- $10$ רץ 6.5 ק״מ ; בעשרת הימים הראשונים רץ בסך הכול 42.5 ק״מ ; הוא ירוץ בסך הכול $65$ ק״מ אחרי 13 ימים

Corrigé :

\begin{aligned}a_{10} &= 2+9 \cdot 0.5 \\ &= 6.5\end{aligned}

איבר

\begin{aligned}S_{10} &= \frac{10(2+6.5)}{2} \\ &= 42.5\end{aligned}

סכום

\begin{aligned}\frac{n\left[4+0.5(n-1)\right]}{2} &= 65 \ \Rightarrow \ n^2+7n-260 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}n &= \frac{-7 \pm 33}{2} \ \Rightarrow \ n \\ &= 13\end{aligned}

הפתרון השלילי נפסל

כמו בשאלה 1: סעיף ג שואל על הסכום, והנעלם הוא $n$ . מי שפתר $a_n=65$ חיפש יום שבו רץ $65$ ק״מ ביום אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

לאתר חדש נרשמו ביום הראשון $4$ משתמשים. בכל יום נרשמים פי 2 משתמשים מאשר ביום הקודם. באיזה יום נרשמו לראשונה יותר מ- $1000$ משתמשים באותו יום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

4 \cdot 2^{n-1}>1000 \ \Rightarrow \ 2^{n-1}>250

איבר: «באותו יום»

n-1>\frac{\log 250}{\log 2} \approx 7.97 \ \Rightarrow \ n=9

\begin{aligned}a_8 &= 512 \\ \quad a_9 &= 1024\end{aligned}

בדיקה ✓

השאלה על יום אחד, ולכן משתמשים באיבר $a_n$ ולא בסכום $S_n$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת. סכום הסדרה גדול פי $4$ מהאיבר הראשון שלה, ו- $a_2=9$ . השלימו (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

$q=$ ____ ; $a_1=$ ____ ; סכום הסדרה: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $q=$ 0.75 ; $a_1=$ 12 ; סכום הסדרה: 48

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{a_1}{1-q} &= 4a_1 \ \Rightarrow \ 1-q \\ &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

\begin{aligned}a_1 &= \frac{9}{\frac{3}{4}} \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 4 \cdot 12 \\ &= 48\end{aligned}

מי שענה $q=\frac{1}{4}$ מצא את $1-q$ ועצר שלב אחד מוקדם מדי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בסדרה הנדסית יש $12$ איברים, ו- $q=2$ . מצאו את היחס בין סכום ששת האיברים האחרונים לסכום ששת האיברים הראשונים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

\begin{aligned}a_7 &= q^6 a_1 \\ \ \ldots \\ \ a_{12} &= q^6 a_6\end{aligned}

כל איבר רחוק שישה מקומות מהאיבר שמולו

\begin{aligned}\frac{a_7+\ldots+a_{12}}{a_1+\ldots+a_6} &= q^6 \\ &= 64\end{aligned}

לא צריך את $a_1$ : הוא מצטמצם. מי שענה $2$ לקח את המנה בין שני איברים שכנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ביריד מכרו ביום הראשון $5$ ספרים, ובכל יום פי 2 מאשר ביום הקודם. אחרי כמה ימים עבר לראשונה מספר הספרים הכולל את $2000$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

S_n=5(2^n-1)>2000 \ \Rightarrow \ 2^n>401

סכום: «הכולל»

\begin{aligned}2^8 &= 256 \\ \quad 2^9 &= 512 \ \Rightarrow \ n \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}S_8 &= 1275 \\ \quad S_9 &= 2555\end{aligned}

בדיקה ✓

אותו יריד כמו בשאלה 2 של הלימוד, שאלה אחרת: כאן «בסך הכול», ולכן סכום. התשובה יוצאת יום אחד לפני היום ה- $10$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — חיסכון חודשי: סדרה חשבונית

2 — מכירות שמכפילות את עצמן: סדרה הנדסית

3 — סדרה הנדסית אינסופית

4 — יחס בין סכומים

Exercices

La suite se pratique sur elev