Produit scalaire en coordonnées

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בפרק המכפלה הסקלרית בגישה גאומטרית: u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α\underline{u}\cdot\underline{v}=|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha. בהצגה אלגברית יש דרך שלא צריכה את הזווית.

u‾⋅v‾=u1v1+u2v2+u3v3\underline{u}\cdot\underline{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3

כופלים רכיב ברכיב, ומחברים

מהי המכפלה הסקלרית AB→⋅AS→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AS}?

Voir la réponse et le corrigé

(4, 0, 0)⋅(2, 2, 3)=4⋅2+0⋅2+0⋅3=8(4,\,0,\,0)\cdot(2,\,2,\,3)=4\cdot 2+0\cdot 2+0\cdot 3=8. התוצאה היא מספר, לא וקטור.

מכפלה סקלרית

u‾=(1, 2, −2)\underline{u}=(1,\,2,\,-2), v‾=(3, 0, 4)\underline{v}=(3,\,0,\,4). חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

u‾⋅v‾=1⋅3+2⋅0+(−2)⋅4\underline{u}\cdot\underline{v}=1\cdot 3+2\cdot 0+(-2)\cdot 4
=3+0−8=−5=3+0-8=-5

הזווית בין שני וקטורים

cos⁡α=u‾⋅v‾∣u‾∣⋅∣v‾∣\cos\alpha=\frac{\underline{u}\cdot\underline{v}}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}

מדפי הנוסחאות

מוצאים זווית

מצאו את הזווית בין u‾=(1, 2, −2)\underline{u}=(1,\,2,\,-2) ל-v‾=(3, 0, 4)\underline{v}=(3,\,0,\,4).

u‾⋅v‾=−5\underline{u}\cdot\underline{v}=-5

מהדוגמה הקודמת

∣u‾∣=1+4+4=3∣v‾∣=9+0+16=5\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{1+4+4} \\ &= 3 \\ \quad |\underline{v}| &= \sqrt{9+0+16} \\ &= 5\end{aligned}

שני האורכים

cos⁡α=−53⋅5=−13 ⇒ α≈109.47∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{-5}{3\cdot 5} \\ &= -\frac{1}{3} \ \Rightarrow \ \alpha\approx 109.47^\circ\end{aligned}

קוסינוס שלילי: זווית קהה

u‾⋅v‾>0\underline{u}\cdot\underline{v}>0

זווית חדה

u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0

זווית ישרה: מאונכים

u‾⋅v‾<0\underline{u}\cdot\underline{v}<0

זווית קהה

בפירמידה, מהו גודל הזווית SABSAB? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

cos⁡∢SAB=84⋅17≈0.485\cos\sphericalangle SAB=\frac{8}{4\cdot\sqrt{17}}\approx 0.485, ולכן ∢SAB≈60.98∘\sphericalangle SAB\approx 60.98^\circ.

וקטורים מאונכים

u‾⊥v‾\underline{u}\perp\underline{v} בדיוק כאשר u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0. כדי להוכיח שני קטעים מאונכים, מחשבים את המכפלה ומראים שהיא אפס.

מאונך, עם פרמטר

מצאו את kk, אם (2, k, −1)⊥(3, 1, 4)(2,\,k,\,-1)\perp(3,\,1,\,4).

2⋅3+k⋅1+(−1)⋅4=02\cdot 3+k\cdot 1+(-1)\cdot 4=0

מכפלה סקלרית שווה לאפס

6+k−4=0 ⇒ k=−2\begin{aligned}6+k-4 &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -2\end{aligned}

שטח של משולש

שטח משולש ABCABC הוא 12⋅∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅sin⁡∢A\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\sin\sphericalangle A. את הזווית מוצאים במכפלה הסקלרית.

שטח משולש במרחב

מצאו את שטח המשולש שקודקודיו A(1, 0, 0)A(1,\,0,\,0), B(0, 2, 0)B(0,\,2,\,0), C(0, 0, 2)C(0,\,0,\,2).

AB→=(−1, 2, 0)AC→=(−1, 0, 2)\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (-1,\,2,\,0) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (-1,\,0,\,2)\end{aligned}

שני וקטורים מ-AA

cos⁡A=15⋅5=15 ⇒ A≈78.46∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{1}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\ &= \frac{1}{5} \ \Rightarrow \ A\approx 78.46^\circ\end{aligned}
S=12⋅5⋅5⋅sin⁡78.46∘≈2.45S=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\sin 78.46^\circ\approx 2.45

זווית של משולש בקודקוד AA: שני הווקטורים יוצאים מ-AA, כמו AB→\overrightarrow{AB} ו-AC→\overrightarrow{AC}. וקטור שנכנס ל-AA נותן את הזווית המשלימה ל-180∘180^\circ.

שלוש טעויות שחוזרות.

u‾⋅v‾=(u1v1, u2v2, u3v3)\underline{u}\cdot\underline{v}=(u_1v_1,\,u_2v_2,\,u_3v_3)
u1v1+u2v2+u3v3u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3

המכפלה הסקלרית היא מספר. אחרי הכפל, מחברים.

cos⁡A=AB→⋅CA→∣AB→∣⋅∣CA→∣\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CA}|}
cos⁡A=AB→⋅AC→∣AB→∣⋅∣AC→∣\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}

CA→\overrightarrow{CA} נכנס ל-AA. כך מקבלים 180∘−A180^\circ-A.

cos⁡α=u‾⋅v‾\cos\alpha=\underline{u}\cdot\underline{v}
cos⁡α=u‾⋅v‾∣u‾∣⋅∣v‾∣\cos\alpha=\frac{\underline{u}\cdot\underline{v}}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}

לא שוכחים לחלק במכפלת האורכים.

Exercices

Exercice 1

u‾=(3, −2, 1)\underline{u}=(3,\,-2,\,1), v‾=(2, 4, 6)\underline{v}=(2,\,4,\,6). חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

u‾⋅v‾=3⋅2+(−2)⋅4+1⋅6\underline{u}\cdot\underline{v}=3\cdot 2+(-2)\cdot 4+1\cdot 6
=6−8+6=4=6-8+6=4

כופלים רכיב ברכיב ומחברים את שלוש המכפלות. התוצאה היא מספר, לא וקטור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הווקטורים u‾=(2, −1, 3)\underline{u}=(2,\,-1,\,3) ו-v‾=(4, 5, −1)\underline{v}=(4,\,5,\,-1) מאונכים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

u‾⋅v‾=2⋅4+(−1)⋅5+3⋅(−1)=8−5−3=0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 2\cdot 4+(-1)\cdot 5+3\cdot (-1) \\ &= 8-5-3 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלה סקלרית אפס פירושה מאונכים. אין צורך בזווית ובאורכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את kk, אם הווקטורים (k, 2, −3)(k,\,2,\,-3) ו-(4, k, 2)(4,\,k,\,2) מאונכים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

4k+2k−6=04k+2k-6=0

מכפלה סקלרית שווה לאפס

6k=6 ⇒ k=1\begin{aligned}6k &= 6 \ \Rightarrow \ k \\ &= 1\end{aligned}

kk מופיע בשני הווקטורים: k⋅4k\cdot 4 וגם 2⋅k2\cdot k. מי שראה רק אחד מהם קיבל k=32k=\frac{3}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

u‾=(1, 1, 0)\underline{u}=(1,\,1,\,0), v‾=(0, 1, 1)\underline{v}=(0,\,1,\,1). מצאו את הזווית בין הווקטורים (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

u‾⋅v‾=1∣u‾∣=∣v‾∣=2\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 1 \\ \quad |\underline{u}| &= |\underline{v}| \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}
cos⁡α=12⋅2=12 ⇒ α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

מחלקים במכפלת שני האורכים: 2⋅2=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2. מי שחילק ב-2\sqrt{2} בלבד קיבל cos⁡α>0.7\cos\alpha>0.7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מצאו את הזווית בין u‾=(2, 1, −2)\underline{u}=(2,\,1,\,-2) ל-v‾=(1, −1, 1)\underline{v}=(1,\,-1,\,1). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 101.1

Corrigé :

u‾⋅v‾=2−1−2=−1\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 2-1-2 \\ &= -1\end{aligned}
∣u‾∣=3∣v‾∣=3\begin{aligned}|\underline{u}| &= 3 \\ \quad |\underline{v}| &= \sqrt{3}\end{aligned}
cos⁡α=−133≈−0.1925 ⇒ α≈101.1∘\cos\alpha=\frac{-1}{3\sqrt{3}}\approx -0.1925 \ \Rightarrow \ \alpha\approx 101.1^\circ

הקוסינוס שלילי, ולכן הזווית קהה. מי שקיבל זווית חדה איבד את הסימן של המכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו סוג הזווית בין u‾=(1, −3, 2)\underline{u}=(1,\,-3,\,2) ל-v‾=(2, 1, −1)\underline{v}=(2,\,1,\,-1)?

  1. אי אפשר לדעת בלי האורכים
  2. קהה
  3. חדה
  4. ישרה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B קהה

Corrigé :

u‾⋅v‾=2−3−2=−3<0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 2-3-2 \\ &= -3<0\end{aligned}

הסימן של המכפלה הסקלרית קובע את סוג הזווית. האורכים חיוביים תמיד, ולא משנים את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון משולש ABCABC: A(1, 0, 1)A(1,\,0,\,1), B(3, 1, 3)B(3,\,1,\,3), C(2, −2, 3)C(2,\,-2,\,3). מצאו את גודל הזווית BACBAC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 63.61

Corrigé :

AB→=(2, 1, 2)AC→=(1, −2, 2)\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (2,\,1,\,2) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (1,\,-2,\,2)\end{aligned}

שניהם יוצאים מ-AA

AB→⋅AC→=2−2+4=4∣AB→∣=∣AC→∣=3\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2-2+4 \\ &= 4 \\ \quad |\overrightarrow{AB}| &= |\overrightarrow{AC}| \\ &= 3\end{aligned}
cos⁡∢BAC=49 ⇒ ∢BAC≈63.61∘\cos\sphericalangle BAC=\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ \sphericalangle BAC\approx 63.61^\circ

שני הווקטורים יוצאים מ-AA. מי שהשתמש ב-BA→\overrightarrow{BA} קיבל 116.39∘116.39^\circ, את הזווית המשלימה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

באותו משולש ABCABC, חשבו את השטח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.03

Corrigé :

S=12⋅∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅sin⁡∢AS=\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\sin\sphericalangle A
=12⋅3⋅3⋅sin⁡63.61∘≈4.03=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot\sin 63.61^\circ\approx 4.03

בנוסחת השטח יש סינוס, לא קוסינוס. מי שכפל ב-49\frac{4}{9} קיבל 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בתיבה שבסרטוט AA בראשית, AB=4AB=4, AD=5AD=5, AA′=3AA'=3. השלימו (את הזווית עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

AC′→⋅AB→=\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{AB}= ____ ; ∢C′AB≈\sphericalangle C'AB\approx ____ מעלות

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AC′→⋅AB→=\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{AB}= 16 ; ∢C′AB≈\sphericalangle C'AB\approx 55.55 מעלות

Corrigé :

AC′→=(4, 5, 3)AB→=(4, 0, 0)\begin{aligned}\overrightarrow{AC'} &= (4,\,5,\,3) \\ \quad \overrightarrow{AB} &= (4,\,0,\,0)\end{aligned}
AC′→⋅AB→=16\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{AB}=16
cos⁡∢C′AB=1650⋅4 ⇒ ≈55.55∘\cos\sphericalangle C'AB=\frac{16}{\sqrt{50}\cdot 4} \ \Rightarrow \ \approx 55.55^\circ

האורך של AC′→\overrightarrow{AC'} הוא 50\sqrt{50}, האלכסון של התיבה, ולא 55.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. (מחשבים את ∢A\sphericalangle A במשולש A(0, 0, 0)A(0,\,0,\,0), B(2, 0, 0)B(2,\,0,\,0), C(1, 2, 2)C(1,\,2,\,2).)

AB→=(2, 0, 0)\overrightarrow{AB}=(2,\,0,\,0)
CA→=(−1, −2, −2)\overrightarrow{CA}=(-1,\,-2,\,-2)
cos⁡A=AB→⋅CA→2⋅3=−13\begin{aligned}\cos A &= \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}}{2\cdot 3} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}
A≈109.47∘A\approx 109.47^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : CA→=(−1, −2, −2)\overrightarrow{CA}=(-1,\,-2,\,-2) → AC→=(1, 2, 2)\overrightarrow{AC}=(1,\,2,\,2)

Corrigé :

AB→⋅AC→=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2
cos⁡A=22⋅3=13 ⇒ A≈70.53∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{2}{2\cdot 3} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ A\approx 70.53^\circ\end{aligned}

לזווית AA צריך שני וקטורים שיוצאים מ-AA. הווקטור CA→\overrightarrow{CA} נכנס ל-AA, ולכן התקבלה הזווית המשלימה: 180∘−70.53∘180^\circ-70.53^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

התאימו את המכפלה הסקלרית לסוג הזווית בין שני וקטורים (לא אפס).

  • u‾⋅v‾=7\underline{u}\cdot\underline{v}=7
  • u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0
  • u‾⋅v‾=−7\underline{u}\cdot\underline{v}=-7
  • זווית חדה
  • Angle droit (זווית הישרה)
  • זווית קהה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : u‾⋅v‾=7\underline{u}\cdot\underline{v}=7 — זווית חדה · u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0 — Angle droit (זווית הישרה) · u‾⋅v‾=−7\underline{u}\cdot\underline{v}=-7 — זווית קהה

Corrigé :

cos⁡α=u‾⋅v‾∣u‾∣⋅∣v‾∣\cos\alpha=\frac{\underline{u}\cdot\underline{v}}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}

המכנה חיובי

המכנה, מכפלת האורכים, תמיד חיובי. לכן הסימן של cos⁡α\cos\alpha הוא הסימן של המכפלה הסקלרית.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe