Opérations en coordonnées

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בגישה הגאומטרית חיברנו וקטורים בשרשרת: הסוף של אחד הוא ההתחלה של הבא. בהצגה אלגברית עושים כל פעולה רכיב אחרי רכיב.

u‾+v‾=(u1+v1, u2+v2, u3+v3)\underline{u}+\underline{v}=(u_1+v_1,\,u_2+v_2,\,u_3+v_3)

חיבור

u‾−v‾=(u1−v1, u2−v2, u3−v3)\underline{u}-\underline{v}=(u_1-v_1,\,u_2-v_2,\,u_3-v_3)

חיסור

tu‾=(tu1, tu2, tu3)t\underline{u}=(tu_1,\,tu_2,\,tu_3)

כפל בסקלר tt

כמה זה AB→+BC′→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'}?

Voir la réponse et le corrigé

(4, 0, 0)+(0, 5, 3)=(4, 5, 3)=AC′→(4,\,0,\,0)+(0,\,5,\,3)=(4,\,5,\,3)=\overrightarrow{AC'}. השרשרת של הגישה הגאומטרית נותנת את אותו וקטור כמו החיבור רכיב אחרי רכיב.

ארבע פעולות

נתון u‾=(2, −1, 3)\underline{u}=(2,\,-1,\,3) ו-v‾=(1, 4, −2)\underline{v}=(1,\,4,\,-2).

u‾+v‾=(3, 3, 1)\underline{u}+\underline{v}=(3,\,3,\,1)
u‾−v‾=(2−1, −1−4, 3−(−2))=(1, −5, 5)\begin{aligned}\underline{u}-\underline{v} &= (2-1,\,-1-4,\,3-(-2)) \\ &= (1,\,-5,\,5)\end{aligned}
3u‾=(6, −3, 9)3\underline{u}=(6,\,-3,\,9)

כופלים כל רכיב

2u‾−3v‾=(4, −2, 6)−(3, 12, −6)=(1, −14, 12)\begin{aligned}2\underline{u}-3\underline{v} &= (4,\,-2,\,6)-(3,\,12,\,-6) \\ &= (1,\,-14,\,12)\end{aligned}

קודם הכפל, אחר כך החיסור

צירוף ליניארי

ביטוי כמו αu‾+βv‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v} נקרא צירוף ליניארי של u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}.

כדי להביע וקטור w‾\underline{w} באמצעות u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}, משווים רכיב לרכיב. יש שלוש משוואות ושני נעלמים: פותרים שתיים, ובודקים בשלישית.

מוצאים את המקדמים

u‾=(1, 2, 0)\underline{u}=(1,\,2,\,0), v‾=(0, 1, −2)\underline{v}=(0,\,1,\,-2), w‾=(3, 4, 4)\underline{w}=(3,\,4,\,4). הביעו את w‾\underline{w} באמצעות u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}.

(3, 4, 4)=α(1, 2, 0)+β(0, 1, −2)(3,\,4,\,4)=\alpha(1,\,2,\,0)+\beta(0,\,1,\,-2)
x: α=3z: −2β=4 ⇒ β=−2\begin{aligned}x:\ \alpha &= 3 \qquad z:\ -2\beta \\ &= 4 \ \Rightarrow \ \beta \\ &= -2\end{aligned}

שתי משוואות קלות

y: 2⋅3+(−2)=4 ✓y:\ 2\cdot 3+(-2)=4\ \checkmark

בדיקה במשוואה השלישית

w‾=3u‾−2v‾\underline{w}=3\underline{u}-2\underline{v}

האם (1, 0, 1)(1,\,0,\,1) הוא צירוף ליניארי של u‾=(1, 2, 0)\underline{u}=(1,\,2,\,0) ו-v‾=(0, 1, −2)\underline{v}=(0,\,1,\,-2)?

Voir la réponse et le corrigé

לא. מהרכיב הראשון α=1\alpha=1, מהשלישי β=−12\beta=-\frac{1}{2}. אבל אז הרכיב השני הוא 2−12=322-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}, ולא 00. הבדיקה נכשלה.

וקטורים מקבילים

v‾\underline{v} מקביל ל-u‾\underline{u} אם v‾=tu‾\underline{v}=t\underline{u} למספר t≠0t\ne 0. כלומר: כל הרכיבים מוכפלים באותו מספר.

מקביל, עם פרמטר

מצאו את kk, אם הווקטור (3, k, 6)(3,\,k,\,6) מקביל ל-(1, 2, 2)(1,\,2,\,2).

(3, k, 6)=t(1, 2, 2)(3,\,k,\,6)=t(1,\,2,\,2)
x: t=3z: 6=3⋅2 ✓\begin{aligned}x:\ t &= 3 \qquad z:\ 6 \\ &= 3\cdot 2\ \checkmark\end{aligned}

מוצאים את tt ובודקים

y: k=3⋅2=6\begin{aligned}y:\ k &= 3\cdot 2 \\ &= 6\end{aligned}

האם הנקודות A(1, 0, 2)A(1,\,0,\,2), B(3, 1, 5)B(3,\,1,\,5), C(7, 3, 11)C(7,\,3,\,11) נמצאות על ישר אחד?

Voir la réponse et le corrigé

כן. AB→=(2, 1, 3)\overrightarrow{AB}=(2,\,1,\,3) ו-AC→=(6, 3, 9)=3AB→\overrightarrow{AC}=(6,\,3,\,9)=3\overrightarrow{AB}. שני וקטורים מקבילים עם נקודה משותפת: ישר אחד.

הקודקוד הרביעי של מקבילית

מוצאים את DD

ABCDABCD היא מקבילית. A(1, 2, 0)A(1,\,2,\,0), B(4, 3, 1)B(4,\,3,\,1), C(5, 6, 4)C(5,\,6,\,4). מצאו את DD.

AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

צלעות נגדיות במקבילית: אותו וקטור

BC→=C−B=(1, 3, 3)\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= C-B \\ &= (1,\,3,\,3)\end{aligned}
D=A+BC→=(2, 5, 3)\begin{aligned}D &= A+\overrightarrow{BC} \\ &= (2,\,5,\,3)\end{aligned}

הולכים לפי סדר האותיות: A→B→C→DA \to B \to C \to D. לכן AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} (ולא CD→\overrightarrow{CD}), ו-AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.

שלוש טעויות שחוזרות.

3(2, −1, 3)=(6, −1, 3)3(2,\,-1,\,3)=(6,\,-1,\,3)
(6, −3, 9)(6,\,-3,\,9)

הסקלר כופל את כל הרכיבים, לא רק את הראשון.

(2, 4, 6)∥(1, 2, 4)(2,\,4,\,6)\parallel(1,\,2,\,4)
(2, 4, 8)∥(1, 2, 4)(2,\,4,\,8)\parallel(1,\,2,\,4)

כל היחסים צריכים להיות שווים: 21=42≠64\frac{2}{1}=\frac{4}{2}\ne\frac{6}{4}.

D=A+CB→D=A+\overrightarrow{CB}
D=A+BC→D=A+\overrightarrow{BC}

הכיוון חשוב: מ-AA ל-DD הולכים כמו מ-BB ל-CC.

Exercices

Exercice 1

נתון u‾=(4, −2, 1)\underline{u}=(4,\,-2,\,1) ו-v‾=(−1, 5, 3)\underline{v}=(-1,\,5,\,3). השלימו את רכיבי u‾+v‾\underline{u}+\underline{v}.

הרכיב הראשון: ____ ; השני: ____ ; השלישי: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הרכיב הראשון: 3 ; השני: 3 ; השלישי: 4

Corrigé :

u‾+v‾=(4−1, −2+5, 1+3)=(3, 3, 4)\begin{aligned}\underline{u}+\underline{v} &= (4-1,\,-2+5,\,1+3) \\ &= (3,\,3,\,4)\end{aligned}

מחברים רכיב ראשון לראשון, שני לשני, שלישי לשלישי. לא מחברים רכיבים מאותו וקטור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

עם אותם וקטורים, השלימו את רכיבי 2u‾−v‾2\underline{u}-\underline{v}.

הרכיב הראשון: ____ ; השני: ____ ; השלישי: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הרכיב הראשון: 9 ; השני: -9 ; השלישי: -1

Corrigé :

2u‾=(8, −4, 2)2\underline{u}=(8,\,-4,\,2)

קודם הכפל

2u‾−v‾=(8−(−1), −4−5, 2−3)=(9, −9, −1)\begin{aligned}2\underline{u}-\underline{v} &= (8-(-1),\,-4-5,\,2-3) \\ &= (9,\,-9,\,-1)\end{aligned}

ברכיב הראשון 8−(−1)=98-(-1)=9. מי שכתב 77 שכח שמחסרים מספר שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

w‾=(2, 0, −1)\underline{w}=(2,\,0,\,-1). מהו −3w‾-3\underline{w}?

  1. (−6, 0, −1)(-6,\,0,\,-1)
  2. (−6, 0, 3)(-6,\,0,\,3)
  3. (6, 0, −3)(6,\,0,\,-3)
  4. (−6, −3, 3)(-6,\,-3,\,3)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (−6, 0, 3)(-6,\,0,\,3)

Corrigé :

−3w‾=(−3⋅2, −3⋅0, −3⋅(−1))=(−6, 0, 3)\begin{aligned}-3\underline{w} &= (-3\cdot 2,\,-3\cdot 0,\,-3\cdot(-1)) \\ &= (-6,\,0,\,3)\end{aligned}

כופלים כל רכיב, גם את האפס (−3⋅0=0-3\cdot 0=0) וגם את השלילי (−3⋅(−1)=3-3\cdot(-1)=3).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

u‾=(3, 1, −2)\underline{u}=(3,\,1,\,-2), v‾=(−1, 1, 3)\underline{v}=(-1,\,1,\,3). מצאו את ∣u‾+v‾∣|\underline{u}+\underline{v}|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

u‾+v‾=(2, 2, 1)\underline{u}+\underline{v}=(2,\,2,\,1)

קודם הסכום

∣u‾+v‾∣=4+4+1=3\begin{aligned}|\underline{u}+\underline{v}| &= \sqrt{4+4+1} \\ &= 3\end{aligned}

ואז האורך

קודם מחברים, ורק אחר כך מחשבים אורך. ∣u‾∣+∣v‾∣|\underline{u}|+|\underline{v}| הוא מספר אחר (14+11\sqrt{14}+\sqrt{11}).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הווקטור (2, −4, k)(2,\,-4,\,k) מקביל לווקטור (−1, 2, 3)(-1,\,2,\,3). מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

(2, −4, k)=t(−1, 2, 3)(2,\,-4,\,k)=t(-1,\,2,\,3)
x: t=−2y: −4=−2⋅2 ✓\begin{aligned}x:\ t &= -2 \qquad y:\ -4 \\ &= -2\cdot 2\ \checkmark\end{aligned}
k=−2⋅3=−6\begin{aligned}k &= -2\cdot 3 \\ &= -6\end{aligned}

tt שלילי: הווקטורים מקבילים ובכיוונים הפוכים. מי שענה 66 לקח t=2t=2 ולא בדק את הרכיב הראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הווקטור (2, 3, −1)(2,\,3,\,-1) מקביל לווקטור (4, 6, 2)(4,\,6,\,2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

42=263=22−1=−2\begin{aligned}\frac{4}{2} &= 2 \\ \quad \frac{6}{3} &= 2 \\ \quad \frac{2}{-1} &= -2\end{aligned}

היחסים

שני רכיבים מתאימים, אבל השלישי לא: היחס −2-2 שונה מ-22. צריך שלושה יחסים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

u‾=(1, 1, 0)\underline{u}=(1,\,1,\,0), v‾=(1, 0, 2)\underline{v}=(1,\,0,\,2). הביעו את w‾=(1, 3, −4)\underline{w}=(1,\,3,\,-4) באמצעות u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}: w‾=αu‾+βv‾\underline{w}=\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= 3 ; β=\beta= -2

Corrigé :

y: α=3z: 2β=−4 ⇒ β=−2\begin{aligned}y:\ \alpha &= 3 \qquad z:\ 2\beta \\ &= -4 \ \Rightarrow \ \beta \\ &= -2\end{aligned}

הרכיבים שבהם יש נעלם אחד

x: 3+(−2)=1 ✓x:\ 3+(-2)=1\ \checkmark

בדיקה

מתחילים מהרכיבים הקלים, שבהם מופיע נעלם אחד בלבד, ובודקים ברכיב שנשאר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCDABCD היא מקבילית. A(2, −1, 3)A(2,\,-1,\,3), B(5, 0, 1)B(5,\,0,\,1), C(4, 3, −2)C(4,\,3,\,-2). מהם שיעורי DD?

  1. (7, 4, −4)(7,\,4,\,-4)
  2. (3, −4, 6)(3,\,-4,\,6)
  3. (3, 2, 4)(3,\,2,\,4)
  4. (1, 2, 0)(1,\,2,\,0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (1, 2, 0)(1,\,2,\,0)

Corrigé :

BC→=(−1, 3, −3)\overrightarrow{BC}=(-1,\,3,\,-3)
D=A+BC→=(1, 2, 0)\begin{aligned}D &= A+\overrightarrow{BC} \\ &= (1,\,2,\,0)\end{aligned}
DC→=(3, 1, −2)=AB→ ✓\begin{aligned}\overrightarrow{DC} &= (3,\,1,\,-2) \\ &= \overrightarrow{AB}\ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

מי שבחר (7, 4, −4)=B+C−A(7,\,4,\,-4)=B+C-A בנה מקבילית אחרת, ABDCABDC. בסדר ABCDABCD הקודקוד DD מול BB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מיינו: אילו וקטורים מקבילים ל-(1, −2, 3)(1,\,-2,\,3)?

  • מקביל
  • לא מקביל
  • (−2, 4, −6)(-2,\,4,\,-6)
  • (1, 2, 3)(1,\,2,\,3)
  • (2, −4, 3)(2,\,-4,\,3)
  • (3, −6, 9)(3,\,-6,\,9)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (−2, 4, −6)(-2,\,4,\,-6) — מקביל · (3, −6, 9)(3,\,-6,\,9) — מקביל · (2, −4, 3)(2,\,-4,\,3) — לא מקביל · (1, 2, 3)(1,\,2,\,3) — לא מקביל

Corrigé :

(−2, 4, −6)=−2(1, −2, 3)(-2,\,4,\,-6)=-2(1,\,-2,\,3)
(3, −6, 9)=3(1, −2, 3)(3,\,-6,\,9)=3(1,\,-2,\,3)

מקביל: מכפלה של הווקטור במספר אחד. ב-(2, −4, 3)(2,\,-4,\,3) שני רכיבים כפולים ב-22 והשלישי לא; ב-(1, 2, 3)(1,\,2,\,3) הסימן של הרכיב השני השתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הנקודות A(1, 2, 3)A(1,\,2,\,3), B(2, 4, 7)B(2,\,4,\,7) ו-C(4, 8, k)C(4,\,8,\,k) נמצאות על ישר אחד. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

AB→=(1, 2, 4)AC→=(3, 6, k−3)\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (1,\,2,\,4) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (3,\,6,\,k-3)\end{aligned}
AC→=3AB→ ⇒ k−3=12\begin{aligned}\overrightarrow{AC} &= 3\overrightarrow{AB} \ \Rightarrow \ k-3 \\ &= 12\end{aligned}
k=15k=15

משווים וקטורים, לא נקודות. מי שענה 1212 השווה את kk לרכיב של AC→\overrightarrow{AC} ושכח להוסיף את 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. (u‾=(1, 2, −1)\underline{u}=(1,\,2,\,-1), v‾=(2, −1, 0)\underline{v}=(2,\,-1,\,0))

2u‾=(2, 4, −2)2\underline{u}=(2,\,4,\,-2)
3v‾=(6, −3, 0)3\underline{v}=(6,\,-3,\,0)
2u‾−3v‾=(2−6, 4−3, −2−0)2\underline{u}-3\underline{v}=(2-6,\,4-3,\,-2-0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2u‾−3v‾=(2−6, 4−3, −2−0)2\underline{u}-3\underline{v}=(2-6,\,4-3,\,-2-0) → 2u‾−3v‾=(2−6, 4−(−3), −2−0)=(−4, 7, −2)2\underline{u}-3\underline{v}=(2-6,\,4-(-3),\,-2-0)=(-4,\,7,\,-2)

Corrigé :

4−(−3)=74-(-3)=7

הרכיב השני של 3v‾3\underline{v} הוא −3-3. מחסרים אותו עם הסימן: 4−(−3)=74-(-3)=7, לא 4−34-3.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe