Trouver un paramètre à partir d'une aire · La fonction exponentielle · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשאלות רבות נותנים את השטח, ומבקשים את הפרמטר. הפרמטר נמצא בדרך כלל באחד מגבולות האינטגרציה, למשל בישר $x = \ln a$ . העבודה היא כמו בחישוב שטח רגיל, אבל בסוף לא מקבלים מספר: מקבלים ביטוי עם $a$ , ומשווים אותו לשטח הנתון.

ארבעה צעדים

1

כותבים את השטח כאינטגרל, וגבולות האינטגרציה כוללים את $a$

2

מוצאים פונקציה קדומה

3

מציבים את הגבולות, ומקבלים ביטוי עם $a$

4

משווים לשטח הנתון ופותרים את המשוואה. בודקים שהפתרון מקיים את התנאי על $a$

בשטח שבציור, האם אפשר לבחור $a$ כך שהשטח יהיה $0.5$ ?

Voir la réponse et le corrigé

כן. השטח שווה $2a$ , ולכן $a = 0.25$ . אין לזה בעיה: $\ln 0.25$ הוא מספר שלילי, והרצועה פשוט עוברת לצד השמאלי של ציר ה- $y$ . הדרישה היחידה היא $a > 0$ , כדי ש- $\ln a$ יהיה מוגדר.

כשהפונקציה הקדומה היא ln

Activité interactive

שטח עם פרמטר, צעד אחרי צעד

\int_0^{\ln a} \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln 2 \quad (a > 1)

לחצו «להתחיל». המונה $e^x$ הוא בדיוק הנגזרת של המכנה $e^x + 2$ .

פונקציה קדומה

\int \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln(e^x + 2) + C

נגזרת המכנה נמצאת במונה, ולכן הפונקציה הקדומה היא $\ln$ של המכנה. אין צורך בערך מוחלט: $e^x + 2 > 0$ .

מציבים

\ln(e^{\ln a} + 2) - \ln(e^0 + 2) = \ln(a + 2) - \ln 3

$e^{\ln a} = a$ ו- $e^0 = 1$ .

כלל הלוגריתם

\ln\frac{a + 2}{3} = \ln 2

הפרש של שני $\ln$ הוא $\ln$ של המנה.

On résout

\begin{aligned}\frac{a + 2}{3} &= 2 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$\ln$ שווים, ולכן גם המספרים שווים. $a = 4$ מקיים את התנאי $a > 1$ .

בכל שאלה כזאת השלב האחרון הוא משוואה: לפעמים לינארית, לפעמים עם $e^a$ , ולפעמים עם $\ln$ .

Faire l'activité sur elev

שטח או אינטגרל? אם הגרף מתחת לציר ה- $x$ בקטע, האינטגרל שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט שלו. לפני שמשווים לשטח הנתון, בודקים את הסימן של הפונקציה בקטע.

הטעות של סדר הגבולות.

F(\ln a) - F(\ln 3a)

F(\ln 3a) - F(\ln a)

מציבים קודם את הגבול העליון, ומחסירים את הערך בגבול התחתון. סדר הפוך נותן שטח שלילי, ואז גם $a$ יוצא שלילי.

Exercices

Exercice 1

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^x$ , ציר ה- $x$ והישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln(3a)$ הוא $8$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\int_{\ln a}^{\ln 3a} e^x\,dx = e^{\ln 3a} - e^{\ln a}

= 3a - a = 2a

\begin{aligned}2a &= 8 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 4$ . $e^{\ln 3a} = 3a$ , ולא $3e^a$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^{-x}$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $0.75$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.386

Corrigé :

\begin{aligned}\int_0^a e^{-x}\,dx &= \left[-e^{-x}\right]_0^a \\ &= 1 - e^{-a}\end{aligned}

\begin{aligned}1 - e^{-a} &= 0.75 \Rightarrow e^{-a} \\ &= 0.25\end{aligned}

\begin{aligned}-a &= \ln 0.25 \Rightarrow a \\ &= \ln 4 \approx 1.386\end{aligned}

$a = \ln 4 \approx 1.386$ . הפונקציה הקדומה של $e^{-x}$ היא $-e^{-x}$ : שכחה של המינוס נותנת שטח שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^{2x}$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = \ln a$ (כאשר $a > 1$ ) הוא $12$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}\int_0^{\ln a} e^{2x}\,dx &= \left[\tfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\ln a} \\ &= \frac{a^2 - 1}{2}\end{aligned}

$e^{2\ln a} = (e^{\ln a})^2 = a^2$

\begin{aligned}\frac{a^2 - 1}{2} &= 12 \Rightarrow a^2 \\ &= 25\end{aligned}

a = 5

$a = -5$ לא מקיים $a > 1$

$a = 5$ . התנאי $a > 1$ פוסל את הפתרון השלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = 2e^x$ , ציר ה- $x$ והישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln(a+1)$ שווה $2$ לכל $a > 0$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\int_{\ln a}^{\ln(a+1)} 2e^x\,dx = 2(a + 1) - 2a

= 2

הטענה נכונה: $a$ מתבטל. רצועה שרוחבה גדל פי $\frac{a+1}{a}$ בין שני ישרים של $\ln$ נותנת תמיד את אותו שטח מתחת ל- $e^x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 2}$ . השטח המוגבל על ידי הגרף שלה, ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = \ln a$ (כאשר $a > 1$ ) הוא $\ln 3$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

\int_0^{\ln a} \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln(a + 2) - \ln 3

\begin{aligned}\ln\frac{a + 2}{3} &= \ln 3 \Rightarrow \frac{a + 2}{3} \\ &= 3\end{aligned}

a = 7

$a = 7$ . לא לשכוח את $\ln 3$ שמגיע מהגבול התחתון $x = 0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ . השטח המוגבל על ידי הגרף שלה, ציר ה- $x$ והישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln(3a)$ הוא $\ln 2$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

\left[\ln(e^x + 1)\right]_{\ln a}^{\ln 3a} = \ln(3a + 1) - \ln(a + 1)

\frac{3a + 1}{a + 1} = 2

\begin{aligned}3a + 1 &= 2a + 2 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

$a = 1$ . כאן השטח הוא $\ln$ של מנה, ולכן משווים את המנה ל- $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

השטח המוגבל על ידי הגרפים של $y = e^x$ ו- $y = e^{-x}$ והישר $x = a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $1.5$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.159

Corrigé :

\int_0^a (e^x - e^{-x})\,dx = e^a + e^{-a} - 2

הגרפים נחתכים ב- $x = 0$ , ומימין $e^x$ למעלה

\begin{aligned}e^a + e^{-a} &= 3.5 \Rightarrow t^2 - 3.5t + 1 \\ &= 0 \ (t = e^a)\end{aligned}

כופלים ב- $t$

t = \frac{3.5 + \sqrt{8.25}}{2} \approx 3.186

$t > 1$ כי $a > 0$

a = \ln t \approx 1.159

$a \approx 1.159$ . הפתרון השני, $t \approx 0.314$ , נותן $a < 0$ , ולכן נפסל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^{-x}$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = -a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $3$ . איזו משוואה מקיים $a$ ?

$e^a + 1 = 3$
$e^{-a} = 3$
$e^a - 1 = 3$
$1 - e^{-a} = 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $e^a - 1 = 3$

Corrigé :

\begin{aligned}\int_{-a}^0 e^{-x}\,dx &= \left[-e^{-x}\right]_{-a}^0 \\ &= -1 + e^{a}\end{aligned}

\begin{aligned}e^a - 1 &= 3 \Rightarrow a \\ &= \ln 4\end{aligned}

$e^a - 1 = 3$ . המשוואה $1 - e^{-a} = 3$ שייכת לקטע $[0, a]$ , ואין לה פתרון כאן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = xe^{x^2}$ , ציר ה- $x$ והישר $x = a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $4$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.482

Corrigé :

\begin{aligned}\int_0^a xe^{x^2}\,dx &= \left[\tfrac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^a \\ &= \frac{e^{a^2} - 1}{2}\end{aligned}

$2x$ הוא הנגזרת של המעריך $x^2$

\begin{aligned}e^{a^2} &= 9 \Rightarrow a^2 \\ &= \ln 9\end{aligned}

a = \sqrt{\ln 9} \approx 1.482

$a = \sqrt{\ln 9} \approx 1.482$ . הגרף פוגש את ציר ה- $x$ רק בראשית, ולכן הגבול התחתון הוא $0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לכל $0 < a < b$ , השטח מתחת לגרף של $y = e^x$ בין הישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln b$ שווה $b - a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\int_{\ln a}^{\ln b} e^x\,dx &= e^{\ln b} - e^{\ln a} \\ &= b - a\end{aligned}

הטענה נכונה, והיא קיצור שימושי: בין שני ישרים של $\ln$ , השטח מתחת ל- $e^x$ הוא ההפרש בין המספרים שבתוך ה- $\ln$ .

Vérifier la réponse sur elev

ארבעה צעדים

כשהפונקציה הקדומה היא ln

Exercices

La suite se pratique sur elev