Question 4 au format de l'examen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה 4 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

  1. x≥1x \ge 1
  2. x≠0x \ne 0
  3. כל xx
  4. x>0x > 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x>0x > 0

Corrigé :

ln⁡x: x>0\ln x : \ x > 0

הריבוע לא מרחיב את התחום

תחום ההגדרה הוא x>0x > 0. הריבוע מבטיח ש-ff לא שלילית, אבל לא עוזר ל-ln⁡\ln להיות מוגדר: קודם צריך ln⁡x\ln x, ורק אחר כך מעלים בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ב. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה-xx שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=2ln⁡x⋅1x=2ln⁡xx\begin{aligned}f'(x) &= 2\ln x \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{2\ln x}{x}\end{aligned}

כלל השרשרת: נגזרת של ריבוע, כפול הנגזרת של מה שבפנים

f′(x)=0⇒ln⁡x=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
0<x<1:f′<0 ; x>1:f′>00 < x < 1 : f' < 0 \ ; \ x > 1 : f' > 0

מינימום, f(1)=0f(1) = 0

מינימום ב-(1,0)(1, 0). טעות נפוצה: לגזור (ln⁡x)2(\ln x)^2 כאילו היה ln⁡(x2)\ln\left(x^2\right) ולקבל 2x\frac{2}{x}, שלא מתאפסת אף פעם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ג. טענה: f(x)≥0f(x) \ge 0 בכל תחום ההגדרה, ולכן נקודת הקיצון שמצאתם היא המינימום של ff בכל התחום. האם הטענה נכונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(ln⁡x)2≥0(\ln x)^2 \ge 0

ריבוע אינו שלילי

f(1)=0f(1) = 0

והערך 00 מתקבל

הטענה נכונה. ריבוע לא שלילי, והוא מגיע ל-00 רק כאשר ln⁡x=0\ln x = 0. זו הוכחה בלי נגזרת: לפעמים התבנית של הפונקציה אומרת הכול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ד. הנגזרת השנייה היא f′′(x)=2(1−ln⁡x)x2f''(x) = \frac{2(1 - \ln x)}{x^2}. מהו שיעור ה-xx של נקודת הפיתול של ff? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.718

Corrigé :

1−ln⁡x=0⇒x=e≈2.718\begin{aligned}1 - \ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= e \approx 2.718\end{aligned}
x<e:f′′>0 ; x>e:f′′<0x < e : f'' > 0 \ ; \ x > e : f'' < 0

הסימן מתחלף: נקודת פיתול (e,1)(e, 1)

נקודת הפיתול היא (e,1)(e, 1): משמאל לה קעירות כלפי מעלה, ומימין לה קעירות כלפי מטה. הגרף עדיין עולה אחריה, אבל לאט יותר ויותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

xyx = 0I
xyx = 0II
xyx = 0III
xyx = 0IV

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ה. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה ff?

  1. גרף IV
  2. גרף III
  3. גרף I
  4. גרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף IV

Corrigé :

f≥0f \ge 0

גרפים I ו-III יורדים מתחת לציר ה-xx: נפסלים

f(1)=0f(1) = 0

בגרף II המינימום מתחת לציר: נפסל

גרף IV. שתי תכונות הספיקו: ff לא שלילית, והמינימום שלה על ציר ה-xx, ב-(1,0)(1, 0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

xyy = 0x = 0I
xyy = 0x = 0II
xyy = 0x = 0III
xyy = 0x = 0IV

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ו. איזה מבין הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′f'?

  1. גרף II
  2. גרף III
  3. גרף I
  4. גרף IV
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף II

Corrigé :

f′(1)=0f'(1) = 0

הנגזרת מתאפסת במינימום של ff: גרף I לא חותך את הציר, נפסל

0<x<1:f′<0 ; x>1:f′>00 < x < 1 : f' < 0 \ ; \ x > 1 : f' > 0

ff יורדת ואז עולה: בגרף IV הסימנים הפוכים, נפסל

f′(x)=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בגרף III האפס נמצא ב-x=ex = e ולא ב-x=1x = 1: זה הגרף של f′′f''

גרף II. הקשר בין הגרפים: איפה ש-ff יורדת, f′f' מתחת לציר; איפה ש-ff עולה, f′f' מעליו; ובמינימום של ff, f′f' חותכת את הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ז. לגרף של הנגזרת f′f' יש נקודת מקסימום. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.736

Corrigé :

(f′)′=f′′=0⇒x=e\begin{aligned}(f')' &= f'' \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}

המקסימום של f′f' נמצא איפה ש-f′′f'' מחליפה סימן מחיובי לשלילי

f′(e)=2ln⁡ee=2e≈0.736\begin{aligned}f'(e) &= \frac{2\ln e}{e} \\ &= \frac{2}{e} \approx 0.736\end{aligned}

המקסימום של f′f' הוא (e,2e)\left(e, \frac{2}{e}\right), באותו xx של נקודת הפיתול של ff. שם ff עולה הכי מהר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ח. טענה: לגרף של הנגזרת f′f' יש אסימפטוטה אופקית y=0y = 0 כאשר x→+∞x \to +\infty. האם הטענה נכונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=2⋅ln⁡xxf'(x) = 2 \cdot \frac{\ln x}{x}
x→+∞: ln⁡xx→0x \to +\infty : \ \frac{\ln x}{x} \to 0

xx גדל מהר יותר מ-ln⁡x\ln x

הטענה נכונה. ff עצמה עולה בלי גבול, אבל השיפוע שלה הולך וקטן לכיוון 00. אסימפטוטה של f′f' לא אומרת שיש אסימפטוטה ל-ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ט. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=ex = e.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

1≤x≤e:f′(x)≥01 \le x \le e : f'(x) \ge 0

השטח בין x=1x = 1, שם f′f' חותכת את הציר, לבין x=ex = e

∫1ef′(x) dx=f(e)−f(1)\int_1^e f'(x)\,dx = f(e) - f(1)

ff est une primitive (פונקציה קדומה) de f′f'

(ln⁡e)2−(ln⁡1)2=1−0=1\begin{aligned}(\ln e)^2 - (\ln 1)^2 &= 1 - 0 \\ &= 1\end{aligned}

השטח הוא 11. אין צורך לחפש פונקציה קדומה ל-2ln⁡xx\frac{2\ln x}{x}: היא כבר נתונה, זו ff. השטח מתחיל ב-x=1x = 1, נקודת החיתוך של f′f' עם הציר, ולא ב-x=0x = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. י. לנקודה שבה הגרף של f′f' מגיע למקסימום מתאימה, בגרף של ff:

  1. נקודת חיתוך עם ציר ה-xx
  2. נקודת מינימום
  3. נקודת מקסימום
  4. נקודת פיתול
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D נקודת פיתול

Corrigé :

(f′)′=f′′(f')' = f''

קיצון של f′f' הוא מקום שבו f′′f'' מחליפה סימן

f′′:+→−f'' : + \to -

החלפת סימן של f′′f'' היא נקודת פיתול של ff

נקודת פיתול. קיצון של ff מתאים לחיתוך של f′f' עם ציר ה-xx, וקיצון של f′f' מתאים לנקודת פיתול של ff. מי שמחליף בין השניים טועה בשאלות גרפים רבות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe