Série 3 : changement de variable et base x

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים ברמת הספר: ריבוע של לוגריתם (הצבה t=log⁡axt = \log_a x), ובסיס xx.

Exercices

Exercice 1

פתרו את אי-השוויון (log⁡2x)2<4(\log_2 x)^2 < 4, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x<< x < ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25 <x<< x < 4

Corrigé :

t=log⁡2x⇒t2<4t = \log_2 x \Rightarrow t^2 < 4
−2<t<2-2 < t < 2
2−2<x<222^{-2} < x < 2^2

בסיס גדול מ-11

14<x<4\tfrac14 < x < 4

−2<t<2-2 < t < 2 הוא פתרון ב-tt. התשובה ב-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו את אי-השוויון (log⁡3x)2≥1(\log_3 x)^2 \geq 1, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x≤< x \leq ____

או x≥x \geq ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0 <x≤< x \leq 0.3333333333333333

או x≥x \geq 3

Corrigé :

t2≥1⇒t≤−1 או t≥1t^2 \geq 1 \Rightarrow t \leq -1 \ \text{או} \ t \geq 1
0<x≤13 או x≥30 < x \leq \tfrac13 \ \text{או} \ x \geq 3

הגבול 00 בא מהתחום: t≤−1t \leq -1 נותן x≤13x \leq \frac13, אבל רק ל-xx חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כמה מספרים שלמים מקיימים (log⁡2x)2≤3log⁡2x(\log_2 x)^2 \leq 3\log_2 x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

t2−3t≤0⇒0≤t≤3t^2 - 3t \leq 0 \Rightarrow 0 \leq t \leq 3

לא מחלקים ב-tt

1≤x≤81 \leq x \leq 8
x∈{1,…,8}x \in \{1, \ldots, 8\}

מי שחילק ב-tt קיבל t≤3t \leq 3, ואיבד את התנאי t≥0t \geq 0: אז גם x=12x = \frac12 נראה כפתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו את אי-השוויון (log⁡5x)2−log⁡5x−6>0(\log_5 x)^2 - \log_5 x - 6 > 0, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x<< x < ____

או x>x > ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0 <x<< x < 0.04

או x>x > 125

Corrigé :

(t−3)(t+2)>0⇒t<−2 או t>3(t - 3)(t + 2) > 0 \Rightarrow t < -2 \ \text{או} \ t > 3
0<x<5−2 או x>530 < x < 5^{-2} \ \text{או} \ x > 5^3
0<x<125 או x>1250 < x < \tfrac{1}{25} \ \text{או} \ x > 125

5−2=125=0.045^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04, ולא −25-25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו את אי-השוויון (log⁡2x)2+2log⁡2x−3<0(\log_2 x)^2 + 2\log_2 x - 3 < 0, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x<< x < ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.125 <x<< x < 2

Corrigé :

(t+3)(t−1)<0⇒−3<t<1(t + 3)(t - 1) < 0 \Rightarrow -3 < t < 1
2−3<x<212^{-3} < x < 2^1
18<x<2\tfrac18 < x < 2

בין השורשים, כי הסימן הוא <<.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו את אי-השוויון 2(log⁡9x)2−log⁡9x−1>02(\log_9 x)^2 - \log_9 x - 1 > 0, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x<< x < ____

או x>x > ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0 <x<< x < 0.3333333333333333

או x>x > 9

Corrigé :

(2t+1)(t−1)>0⇒t<−12 או t>1(2t + 1)(t - 1) > 0 \Rightarrow t < -\tfrac12 \ \text{או} \ t > 1
0<x<9−12 או x>90 < x < 9^{-\frac12} \ \text{או} \ x > 9
9−12=19=13\begin{aligned}9^{-\frac12} &= \tfrac{1}{\sqrt9} \\ &= \tfrac13\end{aligned}

מעריך −12-\frac12: שורש, ואז הפוך. 9−12=139^{-\frac12} = \frac13.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את אי-השוויון (log⁡3x)2−6log⁡3x+9>0(\log_3 x)^2 - 6\log_3 x + 9 > 0, והשלימו את הפתרון.

x>x > ____, ו-x≠x \neq ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x>x > 0, ו-x≠x \neq 27

Corrigé :

(t−3)2>0(t - 3)^2 > 0

ריבוע מושלם

t≠3⇒x≠27t \neq 3 \Rightarrow x \neq 27
x>0 , x≠27x > 0 \ , \ x \neq 27

ריבוע חיובי בכל מקום חוץ מהאפס שלו. ואל תשכחו את התחום x>0x > 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לאי-השוויון 9(log⁡13x)2+6log⁡13x+1≤09(\log_{\frac13} x)^2 + 6\log_{\frac13} x + 1 \leq 0 יש פתרון אחד בלבד. מצאו אותו, ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.442

Corrigé :

(3t+1)2≤0(3t + 1)^2 \leq 0

ריבוע מושלם

3t+1=0⇒t=−13\begin{aligned}3t + 1 &= 0 \Rightarrow t \\ &= -\tfrac13\end{aligned}

ריבוע אינו שלילי: רק שוויון

x=(13)−13=33≈1.442\begin{aligned}x &= \left(\tfrac13\right)^{-\frac13} \\ &= \sqrt[3]{3} \approx 1.442\end{aligned}

ריבוע לא יכול להיות שלילי, ולכן ≤0\leq 0 משאיר רק את האפס שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פתרו את אי-השוויון log⁡2x−2log⁡x2<1\log_2 x - 2\log_x 2 < 1, והשלימו את הפתרון. (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/3.)

____ <x<< x < ____

או ____ <x<< x < ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0 <x<< x < 0.5

או 1 <x<< x < 4

Corrigé :

x>0 , x≠1x > 0 \ , \ x \neq 1

תחום: xx הוא גם בסיס

t−2t<1⇒(t−2)(t+1)t<0t - \tfrac2t < 1 \Rightarrow \frac{(t - 2)(t + 1)}{t} < 0

log⁡x2=1t\log_x 2 = \frac1t; לא כופלים ב-tt

t<−1 או 0<t<2t < -1 \ \text{או} \ 0 < t < 2
0<x<12 או 1<x<40 < x < \tfrac12 \ \text{או} \ 1 < x < 4

הנקודה t=0t = 0 (כלומר x=1x = 1) מחלקת את הפתרון לשניים. מי שכפל ב-tt איבד את אחד החלקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡93x+log⁡x81<3.5\log_9 3x + \log_x 81 < 3.5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 71

Corrigé :

t=log⁡9x  log⁡93x=12+t  log⁡x81=2t\begin{aligned}t &= \log_9 x \ \\ \ \log_9 3x &= \tfrac12 + t \ \\ \ \log_x 81 &= \tfrac2t\end{aligned}

log⁡93=12\log_9 3 = \frac12, log⁡981=2\log_9 81 = 2

t+2t−3<0⇒(t−1)(t−2)t<0t + \tfrac2t - 3 < 0 \Rightarrow \frac{(t - 1)(t - 2)}{t} < 0
t<0 או 1<t<2t < 0 \ \text{או} \ 1 < t < 2
0<x<1 או 9<x<810 < x < 1 \ \text{או} \ 9 < x < 81
x∈{10,…,80}x \in \{10, \ldots, 80\}

80−10+1=7180 - 10 + 1 = 71

99 ו-8181 לא נספרים: הסימן חזק. והקטע 0<x<10 < x < 1 ריק משלמים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe