Angles dans l’espace

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

במרחב יש שלושה סוגים של זוויות: בין שני ישרים, בין ישר למישור, ובין שני מישורים. את שלושתם מחשבים בעזרת וקטורים.

זווית בין שני ישרים

הזווית בין שני ישרים היא הזווית בין וקטורי הכיוון שלהם.

אבל זווית בין ישרים היא תמיד חדה (או ישרה). לכן במונה לוקחים ערך מוחלט.

cos⁡α=∣d1‾⋅d2‾∣∣d1‾∣⋅∣d2‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{d_1}\cdot\underline{d_2}|}{|\underline{d_1}|\cdot|\underline{d_2}|}

אותה נוסחה כמו זווית בין וקטורים, עם ערך מוחלט במונה

הזווית בין ישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0) לישר בכיוון (1,0,1)(1, 0, 1)

מכפלה סקלרית, שני אורכים, ואז cos⁡\cos.

d1‾⋅d2‾=1⋅1+1⋅0+0⋅1=1\begin{aligned}\underline{d_1}\cdot\underline{d_2} &= 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1 \\ &= 1\end{aligned}

המכפלה הסקלרית

∣d1‾∣=2∣d2‾∣=2\begin{aligned}|\underline{d_1}| &= \sqrt{2} \\ \quad |\underline{d_2}| &= \sqrt{2}\end{aligned}

האורכים

cos⁡α=∣1∣2⋅2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ

ומה עושים אם המכפלה הסקלרית יוצאת שלילית?

Voir la réponse et le corrigé

לוקחים ערך מוחלט. בלעדיו היינו מקבלים 120∘120^\circ, אבל בין שני ישרים יש שתי זוויות, 60∘60^\circ ו-120∘120^\circ, והזווית בין הישרים היא החדה.

שני ישרים מאונכים כשהמכפלה הסקלרית של וקטורי הכיוון היא 00. זה נכון גם כשהישרים מצטלבים ולא נפגשים.

זווית בין ישר למישור

הזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר לבין ההיטל שלו על המישור.

וקטור הנורמל n‾\underline{n} ניצב למישור. לכן הזווית בין d‾\underline{d} ל-n‾\underline{n} משלימה את α\alpha ל-90∘90^\circ, ובמקום cos⁡\cos מקבלים sin⁡\sin.

sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}

d‾\underline{d} וקטור הכיוון של הישר, n‾\underline{n} הנורמל של המישור

הזווית בין ישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0) למישור y+z−4=0y + z - 4 = 0

הנורמל נקרא מהמקדמים של המשוואה.

n‾=(0,1,1)\underline{n} = (0, 1, 1)

המקדמים של xx, yy ו-zz

d‾⋅n‾=0+1+0=1\begin{aligned}\underline{d}\cdot\underline{n} &= 0 + 1 + 0 \\ &= 1\end{aligned}
sin⁡α=12⋅2=12\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

סינוס, לא קוסינוס

α=30∘\alpha = 30^\circ
d‾⋅n‾=0\underline{d}\cdot\underline{n} = 0

הישר מקביל למישור (או מוכל בו): הזווית 0∘0^\circ

d‾=k n‾\underline{d} = k\,\underline{n}

הישר ניצב למישור: הזווית 90∘90^\circ

זווית בין שני מישורים

הזווית בין שני מישורים היא הזווית בין וקטורי הנורמל שלהם. גם היא חדה, ולכן שוב ערך מוחלט.

cos⁡α=∣n1‾⋅n2‾∣∣n1‾∣⋅∣n2‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}

הזווית בין המישורים x+y−1=0x + y - 1 = 0 ו-y+z+2=0y + z + 2 = 0

שני נורמלים, ואותו חישוב כמו בין ישרים.

n1‾=(1,1,0)n2‾=(0,1,1)\begin{aligned}\underline{n_1} &= (1, 1, 0) \\ \quad \underline{n_2} &= (0, 1, 1)\end{aligned}
cos⁡α=∣0+1+0∣2⋅2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|0 + 1 + 0|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ

שני מישורים מאונכים כש-n1‾⋅n2‾=0\underline{n_1}\cdot\underline{n_2} = 0.

שתי טעויות שעולות נקודות בבחינה. הראשונה: זווית בין ישר למישור.

cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣∣n‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}
sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}

בין ישר למישור משתמשים בסינוס: n‾\underline{n} ניצב למישור, לא שוכב עליו.

cos⁡α=−12⇒α=120∘\begin{aligned}\cos\alpha &= -\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \\ &= 120^\circ\end{aligned}
cos⁡α=∣−12∣⇒α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \left|-\frac{1}{2}\right| \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זווית בין ישרים או בין מישורים היא חדה. שוכחים ערך מוחלט, ומקבלים את הזווית המשלימה ל-180∘180^\circ.

איך זוכרים? ישר וישר, מישור ומישור: cos⁡\cos. ישר ומישור: sin⁡\sin, כי הנורמל «מסובב» את הזווית ב-90∘90^\circ.

Exercices

Exercice 1

מהי הזווית (במעלות) בין ישר בכיוון (1,0,0)(1, 0, 0) לישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

cos⁡α=∣1∣1⋅2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|1|}{1\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}
α=45∘\alpha = 45^\circ

המונה הוא המכפלה הסקלרית, והמכנה הוא מכפלת האורכים, לא מכפלת הרכיבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי הזווית בין הישרים ℓ1: x‾=(1,0,3)+t(2,−1,2)\ell_1: \ \underline{x} = (1, 0, 3) + t(2, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(0,4,−1)+s(1,2,2)\ell_2: \ \underline{x} = (0, 4, -1) + s(1, 2, 2)? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 63.61

Corrigé :

d1‾⋅d2‾=2−2+4=4\begin{aligned}\underline{d_1}\cdot\underline{d_2} &= 2 - 2 + 4 \\ &= 4\end{aligned}
∣d1‾∣=3∣d2‾∣=3\begin{aligned}|\underline{d_1}| &= 3 \\ \quad |\underline{d_2}| &= 3\end{aligned}
cos⁡α=49⇒α≈63.61∘\cos\alpha = \frac{4}{9} \Rightarrow \alpha \approx 63.61^\circ

הזווית תלויה רק בוקטורי הכיוון. הנקודות (1,0,3)(1, 0, 3) ו-(0,4,−1)(0, 4, -1) לא נכנסות לחישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

וקטורי הכיוון של שני ישרים הם (1,−1,0)(1, -1, 0) ו-(−1,0,1)(-1, 0, 1). מהי הזווית בין הישרים?

  1. 120∘120^\circ
  2. 90∘90^\circ
  3. 60∘60^\circ
  4. 30∘30^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 60∘60^\circ

Corrigé :

d1‾⋅d2‾=−1\underline{d_1}\cdot\underline{d_2} = -1

שלילי

cos⁡α=∣−1∣2⋅2=12⇒α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|-1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

120∘120^\circ היא הזווית בין הווקטורים. בין הישרים לוקחים את הזווית החדה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,0,2)+t(2,1,−1)\ell_1: \ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(2, 1, -1) ו-ℓ2: x‾=(0,3,0)+s(1,−1,1)\ell_2: \ \underline{x} = (0, 3, 0) + s(1, -1, 1). הטענה: הישרים מאונכים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(2,1,−1)⋅(1,−1,1)=2−1−1=0\begin{aligned}(2, 1, -1)\cdot(1, -1, 1) &= 2 - 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

המכפלה הסקלרית של וקטורי הכיוון

ישרים מאונכים לא חייבים להיפגש: גם ישרים מצטלבים יכולים להיות מאונכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

וקטורי הכיוון של שני ישרים הם (1,k,2)(1, k, 2) ו-(3,1,−1)(3, 1, -1). לאיזה ערך של kk הישרים מאונכים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

3+k−2=03 + k - 2 = 0

מכפלה סקלרית שווה לאפס

k=−1k = -1

מאונכים פירושו מכפלה סקלרית אפס, לא וקטורים פרופורציונליים (זה מקבילים).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהי הזווית (במעלות) בין הישר ℓ: x‾=t(1,0,1)\ell: \ \underline{x} = t(1, 0, 1) למישור z=0z = 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

n‾=(0,0,1)\underline{n} = (0, 0, 1)

הנורמל של המישור z=0z = 0

sin⁡α=∣1∣2⋅1=12⇒α=45∘\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{|1|}{\sqrt{2}\cdot 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

הנורמל של z=0z = 0 הוא (0,0,1)(0, 0, 1): המקדמים של xx ו-yy הם אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהי הזווית בין הישר ℓ: x‾=(0,1,0)+t(1,2,2)\ell: \ \underline{x} = (0, 1, 0) + t(1, 2, 2) למישור 2x−y+2z+5=02x - y + 2z + 5 = 0? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 26.39

Corrigé :

d‾⋅n‾=2−2+4=4\begin{aligned}\underline{d}\cdot\underline{n} &= 2 - 2 + 4 \\ &= 4\end{aligned}
sin⁡α=43⋅3=49\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{4}{3\cdot 3} \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}
α≈26.39∘\alpha \approx 26.39^\circ

עם cos⁡\cos היינו מקבלים 63.61∘63.61^\circ, הזווית המשלימה. בין ישר למישור: sin⁡\sin.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

איזו נוסחה נותנת את הזווית α\alpha בין ישר שווקטור הכיוון שלו d‾\underline{d} למישור שהנורמל שלו n‾\underline{n}?

  1. sin⁡α=d‾⋅n‾\sin\alpha = \underline{d}\cdot\underline{n}
  2. cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}
  3. tan⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\tan\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}
  4. sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}

Corrigé :

β=90∘−α\beta = 90^\circ - \alpha

β\beta הזווית בין d‾\underline{d} ל-n‾\underline{n}

cos⁡β=sin⁡α\cos\beta = \sin\alpha

הנוסחה עם cos⁡\cos נותנת את הזווית בין הישר לנורמל, לא למישור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהי הזווית (במעלות) בין המישורים x−z+1=0x - z + 1 = 0 ו-y−z=0y - z = 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

n1‾=(1,0,−1)n2‾=(0,1,−1)\begin{aligned}\underline{n_1} &= (1, 0, -1) \\ \quad \underline{n_2} &= (0, 1, -1)\end{aligned}
cos⁡α=∣0+0+1∣2⋅2=12⇒α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

במישור x−z+1=0x - z + 1 = 0 אין yy: הרכיב השני של הנורמל הוא אפס, לא חסר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הטענה: המישורים 2x+y−z=32x + y - z = 3 ו-x−y+z=7x - y + z = 7 מאונכים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(2,1,−1)⋅(1,−1,1)=2−1−1=0\begin{aligned}(2, 1, -1)\cdot(1, -1, 1) &= 2 - 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלת הנורמלים

בודקים את הנורמלים. המספרים 33 ו-77 קובעים איפה המישור, לא לאן הוא נוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הטענה: הישר ℓ: x‾=(0,0,1)+t(1,2,−1)\ell: \ \underline{x} = (0, 0, 1) + t(1, 2, -1) ניצב למישור 2x+4y+z−6=02x + 4y + z - 6 = 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

n‾=(2,4,1)\underline{n} = (2, 4, 1)
21=42≠1−1\frac{2}{1} = \frac{4}{2} \neq \frac{1}{-1}

הרכיבים לא באותו יחס

ישר ניצב למישור כשוקטור הכיוון מקביל לנורמל. שני רכיבים באותו יחס לא מספיקים: צריך את שלושתם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

באיזו פונקציה מחשבים כל זווית?

  • cos⁡\cos
  • sin⁡\sin
  • זווית בין ישר למישור
  • זווית בין ישר למישור z=0z = 0
  • זווית בין ישר לציר zz
  • זווית בין שני ישרים
  • זווית בין שני מישורים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : זווית בין שני ישרים — cos⁡\cos · זווית בין ישר למישור — sin⁡\sin · זווית בין שני מישורים — cos⁡\cos · זווית בין ישר לציר zz — cos⁡\cos · זווית בין ישר למישור z=0z = 0 — sin⁡\sin

Corrigé :

cos⁡\cos

בין שני ישרים, ובין שני מישורים

sin⁡\sin

בין ישר למישור

ציר zz הוא ישר, ו-z=0z = 0 הוא מישור. השם דומה, החישוב שונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

יואב חישב את הזווית בין ישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0) למישור y+z−4=0y + z - 4 = 0. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

n‾=(0,1,1)\underline{n} = (0, 1, 1)
cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣=12\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|} = \frac{1}{2} → sin⁡α=12⇒α=30∘\sin\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ

Corrigé :

sin⁡α=12α=30∘\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{1}{2} \\ \quad \alpha &= 30^\circ\end{aligned}

בין ישר למישור: סינוס

החישוב של המכפלה נכון, הטעות בבחירת cos⁡\cos. השורה השלישית רק ממשיכה את הטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

השלימו.

המישורים kx+y+2z=1kx + y + 2z = 1 ו-x−3y+z=4x - 3y + z = 4 מאונכים כאשר k=k = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המישורים kx+y+2z=1kx + y + 2z = 1 ו-x−3y+z=4x - 3y + z = 4 מאונכים כאשר k=k = 1.

Corrigé :

(k,1,2)⋅(1,−3,1)=k−3+2=0\begin{aligned}(k, 1, 2)\cdot(1, -3, 1) &= k - 3 + 2 \\ &= 0\end{aligned}
k=1k = 1

מאונכים: מכפלת הנורמלים אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתונות הנקודות A(1,0,0)A(1, 0, 0) ו-B(0,2,2)B(0, 2, 2). מהי הזווית בין הישר ABAB למישור z=0z = 0? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 41.81

Corrigé :

AB‾=(−1,2,2)∣AB‾∣=3\begin{aligned}\underline{AB} &= (-1, 2, 2) \\ \quad |\underline{AB}| &= 3\end{aligned}

וקטור כיוון לישר

sin⁡α=∣2∣3⋅1=23\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{|2|}{3\cdot 1} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

n‾=(0,0,1)\underline{n} = (0, 0, 1)

α≈41.81∘\alpha \approx 41.81^\circ

וקטור הכיוון של הישר ABAB הוא AB‾\underline{AB} עצמו. אין צורך במשוואת הישר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe