Le plan dans l’espace

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מישור במרחב נקבע על ידי נקודה אחת וכיוון ניצב אליו.

וקטור שניצב למישור נקרא וקטור נורמל, n‾\underline{n}. הוא ניצב לכל וקטור שנמצא במישור.

נקודה X(x,y,z)X(x, y, z) נמצאת במישור בדיוק כש-AX‾\underline{AX} ניצב ל-n‾\underline{n}, כלומר n‾⋅AX‾=0\underline{n} \cdot \underline{AX} = 0. כשפותחים את המכפלה, מקבלים משוואה.

ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0

זו משוואת המישור. המקדמים של xx, yy, zz הם וקטור הנורמל n‾=(a,b,c)\underline{n} = (a, b, c)

מה הקשר בין המישורים x+2y+2z−4=0x + 2y + 2z - 4 = 0 ו-x+2y+2z+6=0x + 2y + 2z + 6 = 0?

Voir la réponse et le corrigé

הם מקבילים. לשניהם אותו נורמל, (1,2,2)(1, 2, 2), ורק המספר החופשי שונה. בדיוק כמו במחוון: המישור זז, הנטייה נשארת.

המישור דרך A(1,−2,3)A(1, -2, 3) שהנורמל שלו n‾=(2,1,−1)\underline{n} = (2, 1, -1)

כותבים את המקדמים מהנורמל, ומוצאים את dd מהנקודה.

2x+y−z+d=02x + y - z + d = 0

המקדמים הם הנורמל

2⋅1+(−2)−3+d=0  ⇒  d=3\begin{aligned}2\cdot 1 + (-2) - 3 + d &= 0 \;\Rightarrow\; d \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את AA, כי היא במישור

2x+y−z+3=02x + y - z + 3 = 0

מישור דרך שלוש נקודות

נתונות שלוש נקודות AA, BB, CC שאינן על ישר אחד. בונים שני וקטורים במישור: AB‾\underline{AB} ו-AC‾\underline{AC}.

הנורמל ניצב לשניהם. לכן פותרים שתי משוואות: n‾⋅AB‾=0\underline{n} \cdot \underline{AB} = 0 ו-n‾⋅AC‾=0\underline{n} \cdot \underline{AC} = 0.

המישור דרך A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,2,0)B(0, 2, 0), C(0,0,3)C(0, 0, 3)

נורמל n‾=(a,b,c)\underline{n} = (a, b, c), שני תנאים.

AB‾=(−1,2,0)AC‾=(−1,0,3)\begin{aligned}\underline{AB} &= (-1, 2, 0) \\ \quad \underline{AC} &= (-1, 0, 3)\end{aligned}
−a+2b=0−a+3c=0\begin{aligned}-a + 2b &= 0 \\ \quad -a + 3c &= 0\end{aligned}

שתי המכפלות הסקלריות שוות אפס

a=6  ⇒  b=3 c=2\begin{aligned}a &= 6 \;\Rightarrow\; b \\ &= 3 \\ \ c &= 2\end{aligned}

בוחרים aa נוח

6x+3y+2z+d=06+d=0  ⇒  d=−6\begin{aligned}6x + 3y + 2z + d &= 0 \\ \quad 6 + d &= 0 \;\Rightarrow\; d \\ &= -6\end{aligned}

מציבים את AA

6x+3y+2z−6=06x + 3y + 2z - 6 = 0

בודקים: גם BB וגם CC מקיימות

שתי משוואות ושלושה נעלמים: יש אינסוף פתרונות. כל כפולה של נורמל היא נורמל, ולכן בוחרים ערך נוח לנעלם אחד, ומחשבים את השניים האחרים.

מישור אפשר לכתוב גם בהצגה פרמטרית: נקודה, ועוד שני וקטורים שבמישור ואינם מקבילים.

x‾=A+tu‾+sv‾\underline{x} = A + t\underline{u} + s\underline{v}

שני פרמטרים, tt ו-ss: מישור הוא «דו-ממדי»

ישר ומישור, מישור ומישור

האם ישר פוגש מישור? מציבים את ההצגה של הישר במשוואת המישור, ומקבלים משוואה בנעלם אחד, tt.

at+b=0 a≠0\begin{aligned}at + b &= 0 \\ \ a \neq 0\end{aligned}

פתרון אחד: הישר חותך את המישור בנקודה אחת

0⋅t+b=0 b≠0\begin{aligned}0 \cdot t + b &= 0 \\ \ b \neq 0\end{aligned}

אין פתרון: הישר מקביל למישור

0⋅t+0=00 \cdot t + 0 = 0

כל tt פתרון: הישר מוכל במישור

החיתוך של x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) עם 2x+y+z−7=02x + y + z - 7 = 0

מציבים x=1+tx = 1 + t, y=2−ty = 2 - t, z=2tz = 2t.

2(1+t)+(2−t)+2t−7=02(1 + t) + (2 - t) + 2t - 7 = 0

הצבה

3t−3=0  ⇒  t=1\begin{aligned}3t - 3 &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= 1\end{aligned}
S=(1,2,0)+1⋅(1,−1,2)=(2,1,2)\begin{aligned}S &= (1, 2, 0) + 1\cdot(1, -1, 2) \\ &= (2, 1, 2)\end{aligned}

מציבים את tt בחזרה בישר

אם d‾⋅n‾=0\underline{d} \cdot \underline{n} = 0, מה אפשר לומר על הישר והמישור?

Voir la réponse et le corrigé

הכיוון של הישר ניצב לנורמל, כלומר הישר «שוכב» לאורך המישור. אז הוא מקביל למישור, או מוכל בו. כדי להכריע, בודקים נקודה אחת של הישר.

שני מישורים: אם הנורמלים פרופורציונליים, המישורים מקבילים (או מתלכדים). אחרת הם נחתכים, והחיתוך הוא ישר.

שתי טעויות במישורים.

2x+y−z+3=0  ⇒  n‾=(2,1,3)\begin{aligned}2x + y - z + 3 &= 0 \;\Rightarrow\; \underline{n} \\ &= (2, 1, 3)\end{aligned}
n‾=(2,1,−1)\underline{n} = (2, 1, -1)

הנורמל הוא המקדמים של xx, yy, zz בלבד, עם הסימן. המספר החופשי לא שייך לו.

d‾⋅n‾=0  ⇒  ℓ∥π\underline{d} \cdot \underline{n} = 0 \;\Rightarrow\; \ell \parallel \pi
d‾⋅n‾=0  ⇒  ℓ∥π  ∨  ℓ⊂π\underline{d} \cdot \underline{n} = 0 \;\Rightarrow\; \ell \parallel \pi \;\lor\; \ell \subset \pi

בלי לבדוק נקודה של הישר, אי אפשר לדעת אם הוא מקביל או מוכל.

Exercices

Exercice 1

מהו וקטור נורמל של המישור 3x−y+2z−5=03x - y + 2z - 5 = 0?

  1. (3,−1,−5)(3, -1, -5)
  2. (3,−1,2)(3, -1, 2)
  3. (3,1,2)(3, 1, 2)
  4. (−5,3,−1)(-5, 3, -1)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (3,−1,2)(3, -1, 2)

Corrigé :

n‾=(a,b,c)=(3,−1,2)\begin{aligned}\underline{n} &= (a, b, c) \\ &= (3, -1, 2)\end{aligned}

המקדמים של xx, yy, zz

המספר החופשי −5-5 לא חלק מהנורמל, והסימן של −y-y נשמר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הטענה: הנקודה (1,2,0)(1, 2, 0) נמצאת במישור 3x−y+2z−1=03x - y + 2z - 1 = 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

3⋅1−2+2⋅0−1=03\cdot 1 - 2 + 2\cdot 0 - 1 = 0

On remplace (מציבים)

נקודה במישור בדיוק כשהיא מקיימת את המשוואה: אגף שמאל יוצא 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

משוואת המישור דרך A(2,−1,1)A(2, -1, 1) שהנורמל שלו (1,3,−2)(1, 3, -2) היא x+3y−2z+d=0x + 3y - 2z + d = 0. מהו dd?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2+3⋅(−1)−2⋅1+d=02 + 3\cdot(-1) - 2\cdot 1 + d = 0

מציבים את AA

−3+d=0  ⇒  d=3\begin{aligned}-3 + d &= 0 \;\Rightarrow\; d \\ &= 3\end{aligned}

שימו לב לסימנים: 3⋅(−1)=−33\cdot(-1) = -3 ו-−2⋅1=−2-2\cdot 1 = -2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הנקודה P(1,k,2)P(1, k, 2) נמצאת במישור 2x−y+3z−4=02x - y + 3z - 4 = 0. מהו kk?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

2−k+6−4=02 - k + 6 - 4 = 0

מציבים את PP

4−k=0  ⇒  k=4\begin{aligned}4 - k &= 0 \;\Rightarrow\; k \\ &= 4\end{aligned}

המקדם של yy הוא −1-1: מציבים −k-k, לא kk.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

השלימו.

המישור 2x+3y+6z−12=02x + 3y + 6z - 12 = 0 חותך את ציר xx ב-x=x = ____, את ציר yy ב-y=y = ____, ואת ציר zz ב-z=z = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המישור 2x+3y+6z−12=02x + 3y + 6z - 12 = 0 חותך את ציר xx ב-x=x = 6, את ציר yy ב-y=y = 4, ואת ציר zz ב-z=z = 2.

Corrigé :

y=z=0:2x=12  ⇒  x=6\begin{aligned}y &= z \\ &= 0:\quad 2x \\ &= 12 \;\Rightarrow\; x \\ &= 6\end{aligned}

על ציר xx שני השיעורים האחרים אפס

3y=12  ⇒  y=46z=12  ⇒  z=2\begin{aligned}3y &= 12 \;\Rightarrow\; y \\ &= 4 \\ \qquad 6z &= 12 \;\Rightarrow\; z \\ &= 2\end{aligned}

על ציר מאפסים את שני השיעורים האחרים. לא מחלקים את 1212 במקדם הלא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהי משוואת המישור דרך A(2,0,0)A(2, 0, 0), B(0,4,0)B(0, 4, 0) ו-C(0,0,4)C(0, 0, 4)?

  1. x+y+z−4=0x + y + z - 4 = 0
  2. 2x+y+z+4=02x + y + z + 4 = 0
  3. 2x+y+z−4=02x + y + z - 4 = 0
  4. x+2y+2z−4=0x + 2y + 2z - 4 = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2x+y+z−4=02x + y + z - 4 = 0

Corrigé :

AB‾=(−2,4,0)AC‾=(−2,0,4)\begin{aligned}\underline{AB} &= (-2, 4, 0) \\ \quad \underline{AC} &= (-2, 0, 4)\end{aligned}
−2a+4b=0−2a+4c=0  ⇒  a=2 b=1 c=1\begin{aligned}-2a + 4b &= 0 \\ \quad -2a + 4c &= 0 \;\Rightarrow\; a \\ &= 2 \\ \ b &= 1 \\ \ c &= 1\end{aligned}
2⋅2+d=0  ⇒  d=−4\begin{aligned}2\cdot 2 + d &= 0 \;\Rightarrow\; d \\ &= -4\end{aligned}

מציבים את AA

בודקים את התשובה בשלוש הנקודות. x+y+z−4=0x + y + z - 4 = 0 עובר דרך BB ו-CC, אבל לא דרך AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

משוואת המישור דרך A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(2,0,1)B(2, 0, 1) ו-C(1,2,3)C(1, 2, 3) היא ax+by+z+d=0ax + by + z + d = 0. מהו dd?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

AB‾=(1,−1,0)AC‾=(0,1,2)\begin{aligned}\underline{AB} &= (1, -1, 0) \\ \quad \underline{AC} &= (0, 1, 2)\end{aligned}
a−b=0b+2=0  ⇒  b=−2 a=−2\begin{aligned}a - b &= 0 \\ \quad b + 2 &= 0 \;\Rightarrow\; b \\ &= -2 \\ \ a &= -2\end{aligned}

המקדם של zz נתון: c=1c = 1

−2−2+1+d=0  ⇒  d=3\begin{aligned}-2 - 2 + 1 + d &= 0 \;\Rightarrow\; d \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את AA

כאן לא בוחרים ערך: המקדם של zz כבר קבוע ל-11, ושאר המקדמים נקבעים ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו המצב ההדדי של הישר x‾=(1,0,2)+t(2,1,−1)\underline{x} = (1, 0, 2) + t(2, 1, -1) והמישור x−y+z−3=0x - y + z - 3 = 0?

  1. הישר מוכל במישור
  2. הישר חותך את המישור בנקודה אחת
  3. הישר מקביל למישור
  4. הישר ניצב למישור
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A הישר מוכל במישור

Corrigé :

(1+2t)−t+(2−t)−3=0(1 + 2t) - t + (2 - t) - 3 = 0

מציבים את הישר

0⋅t+0=00 \cdot t + 0 = 0

מתקיים לכל tt

כל נקודה של הישר מקיימת את המשוואה: הישר מוכל. אין כאן «פתרון אחד».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו המצב ההדדי של הישר x‾=(0,1,1)+t(1,2,1)\underline{x} = (0, 1, 1) + t(1, 2, 1) והמישור x−y+z−5=0x - y + z - 5 = 0?

  1. הישר מוכל במישור
  2. הישר ניצב למישור
  3. הישר מקביל למישור
  4. הישר חותך את המישור בנקודה אחת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C הישר מקביל למישור

Corrigé :

t−(1+2t)+(1+t)−5=0t - (1 + 2t) + (1 + t) - 5 = 0

מציבים את הישר

0⋅t−5=00 \cdot t - 5 = 0

אין אף tt שמקיים

d‾⋅n‾=0\underline{d} \cdot \underline{n} = 0, ובכל זאת הישר לא מוכל: הנקודה (0,1,1)(0, 1, 1) לא במישור. לכן מקביל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הישר x‾=(3,−1,2)+t(1,2,−1)\underline{x} = (3, -1, 2) + t(1, 2, -1) חותך את המישור x+y+2z−10=0x + y + 2z - 10 = 0. מהו שיעור ה-zz של נקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

(3+t)+(−1+2t)+2(2−t)−10=0(3 + t) + (-1 + 2t) + 2(2 - t) - 10 = 0

הצבה

t−4=0  ⇒  t=4\begin{aligned}t - 4 &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= 4\end{aligned}
S=(3,−1,2)+4(1,2,−1)=(7,7,−2)\begin{aligned}S &= (3, -1, 2) + 4(1, 2, -1) \\ &= (7, 7, -2)\end{aligned}

t=4t = 4 הוא ערך הפרמטר, לא התשובה. מציבים אותו בחזרה בישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הטענה: המישורים 2x−y+3z−1=02x - y + 3z - 1 = 0 ו-−4x+2y−6z+5=0-4x + 2y - 6z + 5 = 0 מקבילים (ואינם מתלכדים).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(−4,2,−6)=−2⋅(2,−1,3)(-4, 2, -6) = -2\cdot(2, -1, 3)

הנורמלים פרופורציונליים

−2⋅(−1)=2≠5-2\cdot(-1) = 2 \neq 5

המספר החופשי לא באותו יחס

אם גם המספר החופשי היה באותו יחס, המישורים היו מתלכדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

התאימו כל מישור לתיאור שלו.

  • z=0z = 0
  • x=3x = 3
  • y+z=2y + z = 2
  • x+y+z=0x + y + z = 0
  • מישור הרצפה, מישור xyxy
  • מקביל למישור yzyz, דרך (3,0,0)(3, 0, 0)
  • מקביל לציר xx
  • עובר דרך ראשית הצירים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : z=0z = 0 — מישור הרצפה, מישור xyxy · x=3x = 3 — מקביל למישור yzyz, דרך (3,0,0)(3, 0, 0) · y+z=2y + z = 2 — מקביל לציר xx · x+y+z=0x + y + z = 0 — עובר דרך ראשית הצירים

Corrigé :

y+z=2:n‾=(0,1,1)⊥(1,0,0)\begin{aligned}y + z &= 2:\quad \underline{n} \\ &= (0, 1, 1) \perp (1, 0, 0)\end{aligned}

הנורמל ניצב לציר xx

משתנה שחסר במשוואה פירושו שהמישור מקביל לציר שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נועה חיפשה את המישור דרך A(1,2,−1)A(1, 2, -1) עם הנורמל (3,0,2)(3, 0, 2). שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

3x+2z+d=03x + 2z + d = 0
3⋅1+2⋅2+d=03\cdot 1 + 2\cdot 2 + d = 0
d=−7d = -7
3x+2z−7=03x + 2z - 7 = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3⋅1+2⋅2+d=03\cdot 1 + 2\cdot 2 + d = 0 → 3⋅1+2⋅(−1)+d=0  ⇒  d=−13\cdot 1 + 2\cdot(-1) + d = 0 \;\Rightarrow\; d = -1

Corrigé :

3⋅1+2⋅(−1)+d=0  ⇒  d=−1\begin{aligned}3\cdot 1 + 2\cdot(-1) + d &= 0 \;\Rightarrow\; d \\ &= -1\end{aligned}

המקדם 22 שייך ל-zz

נועה הציבה את שיעור ה-yy של AA במקום שיעור ה-zz. המקדם 22 מוכפל ב-z=−1z = -1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

אילו וקטורים הם נורמלים של המישור 2x−y+z=32x - y + z = 3?

  • נורמל למישור
  • לא נורמל
  • (−4,2,−2)(-4, 2, -2)
  • (1,1,−1)(1, 1, -1)
  • (2,−1,1)(2, -1, 1)
  • (2,−1,3)(2, -1, 3)
  • (6,−3,3)(6, -3, 3)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (2,−1,1)(2, -1, 1) — נורמל למישור · (−4,2,−2)(-4, 2, -2) — נורמל למישור · (6,−3,3)(6, -3, 3) — נורמל למישור · (1,1,−1)(1, 1, -1) — לא נורמל · (2,−1,3)(2, -1, 3) — לא נורמל

Corrigé :

(−4,2,−2)=−2(2,−1,1)(6,−3,3)=3(2,−1,1)\begin{aligned}(-4, 2, -2) &= -2(2, -1, 1) \\ \quad (6, -3, 3) &= 3(2, -1, 1)\end{aligned}

כפולות של הנורמל

כל כפולה של נורמל היא נורמל, גם שלילית. (2,−1,3)(2, -1, 3) דומה, אבל לא כפולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

איזו משוואה מתארת את המישור x‾=(1,0,0)+t(1,1,0)+s(0,1,1)\underline{x} = (1, 0, 0) + t(1, 1, 0) + s(0, 1, 1)?

  1. x+y−z−1=0x + y - z - 1 = 0
  2. x−y+z+1=0x - y + z + 1 = 0
  3. x−y+z−1=0x - y + z - 1 = 0
  4. x+y+z−1=0x + y + z - 1 = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x−y+z−1=0x - y + z - 1 = 0

Corrigé :

a+b=0b+c=0\begin{aligned}a + b &= 0 \\ \quad b + c &= 0\end{aligned}

הנורמל ניצב לשני הווקטורים שבמישור

b=−1  ⇒  a=1 c=1\begin{aligned}b &= -1 \;\Rightarrow\; a \\ &= 1 \\ \ c &= 1\end{aligned}
1−0+0+d=0  ⇒  d=−1\begin{aligned}1 - 0 + 0 + d &= 0 \;\Rightarrow\; d \\ &= -1\end{aligned}

מציבים את הנקודה (1,0,0)(1, 0, 0)

הנורמל ניצב לשני וקטורי הכיוון. בודקים גם את הנקודה, אחרת dd יוצא בסימן הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe