La droite dans l’espace

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ישר במרחב נקבע על ידי נקודה אחת וכיוון אחד.

מתחילים בנקודה AA, והולכים בכיוון של וקטור הכיוון d‾\underline{d}. כל נקודה שמגיעים אליה, קדימה או אחורה, נמצאת על הישר.

ℓ: x‾=A+td‾\ell:\ \underline{x} = A + t\underline{d}

tt הוא הפרמטר. כל מספר ממשי tt נותן נקודה אחת על הישר

איזו נקודה מתקבלת כש-t=0t = 0?

Voir la réponse et le corrigé

הנקודה PP עצמה. t=0t = 0 פירושו אפס צעדים: נשארים בנקודת ההתחלה.

נקודות על הישר ℓ: x‾=(1,0,2)+t(1,2,−1)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(1, 2, -1)

מציבים ערך של tt ומחשבים רכיב אחרי רכיב.

t=1:(1+1, 0+2, 2−1)=(2,2,1)\begin{aligned}t &= 1:\quad (1 + 1,\ 0 + 2,\ 2 - 1) \\ &= (2, 2, 1)\end{aligned}

צעד אחד קדימה

t=−1:(1−1, 0−2, 2+1)=(0,−2,3)\begin{aligned}t &= -1:\quad (1 - 1,\ 0 - 2,\ 2 + 1) \\ &= (0, -2, 3)\end{aligned}

צעד אחד אחורה

ישר דרך שתי נקודות

כדי לכתוב ישר צריך נקודה וכיוון. דרך שתי נקודות AA ו-BB: הנקודה היא AA, והכיוון הוא AB‾=B−A\underline{AB} = B - A.

הישר דרך A(2,−1,3)A(2, -1, 3) ו-B(4,0,1)B(4, 0, 1)

קודם וקטור הכיוון, אחר כך ההצגה.

AB‾=(4−2, 0−(−1), 1−3)=(2,1,−2)\begin{aligned}\underline{AB} &= (4 - 2,\ 0 - (-1),\ 1 - 3) \\ &= (2, 1, -2)\end{aligned}

הסוף פחות ההתחלה

ℓ: x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\ell:\ \underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2)

נקודה ועוד tt פעמים הכיוון

האם x‾=(4,0,1)+s(−2,−1,2)\underline{x} = (4, 0, 1) + s(-2, -1, 2) הוא אותו ישר?

Voir la réponse et le corrigé

כן. זו נקודה אחרת של הישר (BB), וכיוון נגדי. לאותו ישר יש הרבה הצגות פרמטריות.

האם נקודה PP נמצאת על הישר? משווים את ההצגה ל-PP, רכיב אחרי רכיב, ומחפשים tt אחד שמתאים לשלוש המשוואות.

האם P(6,1,−1)P(6, 1, -1) על הישר x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2)?

שלוש משוואות, נעלם אחד.

2+2t=6  ⇒  t=2\begin{aligned}2 + 2t &= 6 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

רכיב xx

−1+t=1  ⇒  t=2\begin{aligned}-1 + t &= 1 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

רכיב yy

3−2t=−1  ⇒  t=2\begin{aligned}3 - 2t &= -1 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

רכיב zz: אותו tt, ולכן PP על הישר

שני ישרים במרחב

במישור, שני ישרים נחתכים או מקבילים. במרחב יש אפשרות שלישית: ישרים מצטלבים. הם לא נפגשים, וגם לא מקבילים.

d‾1=kd‾2  ?\underline{d}_1 = k\underline{d}_2 \;?

שאלה 1: הכיוונים פרופורציונליים? אם כן, הישרים מתלכדים או מקבילים. בודקים אם נקודה של ישר אחד נמצאת על השני

A+td‾1=B+sd‾2A + t\underline{d}_1 = B + s\underline{d}_2

שאלה 2: אם לא, פותרים את המערכת. יש פתרון: נחתכים. אין פתרון: מצטלבים

נקודת החיתוך של ℓ1: x‾=(1,0,0)+t(1,1,1)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) ו-ℓ2: x‾=(0,3,1)+s(1,−1,0)\ell_2:\ \underline{x} = (0, 3, 1) + s(1, -1, 0)

הכיוונים לא פרופורציונליים. משווים רכיב אחרי רכיב.

1+t=st=3−st=1\begin{aligned}1 + t &= s \\ \quad t &= 3 - s \\ \quad t &= 1\end{aligned}

שלוש משוואות, שני נעלמים

t=1  ⇒  s=2\begin{aligned}t &= 1 \;\Rightarrow\; s \\ &= 2\end{aligned}

משתי המשוואות הראשונות

1+1=2 ✓1 + 1 = 2\ \checkmark

בודקים במשוואה שלא השתמשנו בה

S=(1,0,0)+1⋅(1,1,1)=(2,1,1)\begin{aligned}S &= (1, 0, 0) + 1\cdot(1, 1, 1) \\ &= (2, 1, 1)\end{aligned}

מציבים בחזרה

שתי טעויות בישרים.

x‾=A+t⋅B\underline{x} = A + t\cdot B
x‾=A+t(B−A)\underline{x} = A + t(B - A)

הכיוון הוא הווקטור AB‾\underline{AB}, לא הנקודה BB.

t=2 t=2  ⇒  P∈ℓ\begin{aligned}t &= 2 \\ \ t &= 2 \;\Rightarrow\; P \in \ell\end{aligned}
t=2 t=2 t=2  ⇒  P∈ℓ\begin{aligned}t &= 2 \\ \ t &= 2 \\ \ t &= 2 \;\Rightarrow\; P \in \ell\end{aligned}

צריך שהמשוואה השלישית תתאים גם היא. שתיים לא מספיקות.

מצטלבים אינו נחתכים. ישרים מצטלבים לא נפגשים אף פעם. במרחב, «לא נחתכים» לא אומר «מקבילים».

Exercices

Exercice 1

נתון הישר ℓ: x‾=(1,0,2)+t(1,2,−1)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(1, 2, -1). מהו שיעור ה-xx של הנקודה שמתקבלת כש-t=3t = 3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x=1+3⋅1=4\begin{aligned}x &= 1 + 3\cdot 1 \\ &= 4\end{aligned}

רכיב xx בלבד

מכפילים את וקטור הכיוון ב-tt, ורק אז מוסיפים את הנקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

איזו נקודה של ℓ: x‾=(1,0,2)+t(1,2,−1)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(1, 2, -1) מתקבלת כש-t=−2t = -2?

  1. (−1,−4,0)(-1, -4, 0)
  2. (3,4,0)(3, 4, 0)
  3. (−1,−4,4)(-1, -4, 4)
  4. (−2,−4,2)(-2, -4, 2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (−1,−4,4)(-1, -4, 4)

Corrigé :

(1,0,2)+(−2)(1,2,−1)=(1−2, 0−4, 2+2)=(−1,−4,4)\begin{aligned}(1, 0, 2) + (-2)(1, 2, -1) &= (1 - 2,\ 0 - 4,\ 2 + 2) \\ &= (-1, -4, 4)\end{aligned}

(−2)⋅(−1)=+2(-2)\cdot(-1) = +2: הרכיב השלישי גדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו וקטור כיוון של הישר דרך A(1,2,0)A(1, 2, 0) ו-B(3,−1,4)B(3, -1, 4)?

  1. (4,1,4)(4, 1, 4)
  2. (2,3,4)(2, 3, 4)
  3. (2,−3,4)(2, -3, 4)
  4. (1,2,0)(1, 2, 0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (2,−3,4)(2, -3, 4)

Corrigé :

AB‾=(3−1, −1−2, 4−0)=(2,−3,4)\begin{aligned}\underline{AB} &= (3 - 1,\ -1 - 2,\ 4 - 0) \\ &= (2, -3, 4)\end{aligned}

(4,1,4)(4, 1, 4) הוא A+BA + B, לא B−AB - A. ו-(1,2,0)(1, 2, 0) היא נקודה, לא כיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הטענה: הנקודה P(6,1,−1)P(6, 1, -1) נמצאת על הישר x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

2+2t=6−1+t=13−2t=−1\begin{aligned}2 + 2t &= 6 \\ \quad -1 + t &= 1 \\ \quad 3 - 2t &= -1\end{aligned}
t=2t = 2

אותו tt בשלוש המשוואות

אותו tt בשלוש המשוואות: הנקודה על הישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הטענה: הנקודה Q(4,0,2)Q(4, 0, 2) נמצאת על הישר x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

2+2t=4  ⇒  t=1\begin{aligned}2 + 2t &= 4 \;\Rightarrow\; t \\ &= 1\end{aligned}
−1+t=0  ⇒  t=1\begin{aligned}-1 + t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= 1\end{aligned}
3−2⋅1=1≠23 - 2\cdot 1 = 1 \neq 2

המשוואה השלישית נכשלת

שתי משוואות הסכימו, והשלישית לא. לכן QQ לא על הישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הישר x‾=(1,2,3)+t(2,−1,1)\underline{x} = (1, 2, 3) + t(2, -1, 1) חותך את המישור z=0z = 0 (מישור xyxy). מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

3+t=0  ⇒  t=−3\begin{aligned}3 + t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= -3\end{aligned}

על המישור z=0z = 0 הרכיב השלישי הוא אפס

x=1+2⋅(−3)=−5\begin{aligned}x &= 1 + 2\cdot(-3) \\ &= -5\end{aligned}

קודם מוצאים tt מהתנאי z=0z = 0, ורק אז מחשבים את xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודה P(k,4,−1)P(k, 4, -1) נמצאת על הישר x‾=(1,2,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (1, 2, 3) + t(2, 1, -2). מהו kk?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

2+t=4  ⇒  t=2\begin{aligned}2 + t &= 4 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

מוצאים tt מרכיב ידוע

3−2⋅2=−1 ✓3 - 2\cdot 2 = -1\ \checkmark

בודקים ברכיב zz

k=1+2⋅2=5\begin{aligned}k &= 1 + 2\cdot 2 \\ &= 5\end{aligned}

את tt מוצאים מרכיב שבו הכול ידוע, לא מהרכיב עם kk.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו המצב ההדדי של ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(2,−1,3)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(2, -1, 3) ו-ℓ2: x‾=(0,0,1)+s(−4,2,−6)\ell_2:\ \underline{x} = (0, 0, 1) + s(-4, 2, -6)?

  1. מתלכדים
  2. נחתכים
  3. מצטלבים
  4. מקבילים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקבילים

Corrigé :

(−4,2,−6)=−2⋅(2,−1,3)(-4, 2, -6) = -2\cdot(2, -1, 3)

הכיוונים פרופורציונליים

1+2t=0  ⇒  t=−12\begin{aligned}1 + 2t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

האם (0,0,1)(0, 0, 1) על ℓ1\ell_1?

2−t=2+12≠02 - t = 2 + \frac{1}{2} \neq 0

רכיב yy לא מתאים: אין נקודה משותפת

כיוונים פרופורציונליים בלי נקודה משותפת: מקבילים, לא מתלכדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו המצב ההדדי של ℓ1: x‾=(1,1,0)+t(1,0,1)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 1, 0) + t(1, 0, 1) ו-ℓ2: x‾=(0,2,1)+s(0,1,1)\ell_2:\ \underline{x} = (0, 2, 1) + s(0, 1, 1)?

  1. מצטלבים
  2. מתלכדים
  3. נחתכים
  4. מקבילים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מצטלבים

Corrigé :

(1,0,1)≠k(0,1,1)(1, 0, 1) \neq k(0, 1, 1)

הכיוונים לא פרופורציונליים

1+t=01=2+s\begin{aligned}1 + t &= 0 \\ \quad 1 &= 2 + s\end{aligned}

שתי המשוואות הראשונות

t=−1 s=−1\begin{aligned}t &= -1 \\ \ s &= -1\end{aligned}
z:t=1+s  ⇒  −1≠0z:\quad t = 1 + s \;\Rightarrow\; -1 \neq 0

המשוואה השלישית סותרת

אין פתרון וגם אין כיוונים פרופורציונליים: מצטלבים. אל תעצרו אחרי שתי משוואות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הישרים ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(2,−2,5)+s(1,2,−1)\ell_2:\ \underline{x} = (2, -2, 5) + s(1, 2, -1) נחתכים. מהו שיעור ה-zz של נקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

1+t=2+s2−t=−2+2s\begin{aligned}1 + t &= 2 + s \\ \quad 2 - t &= -2 + 2s\end{aligned}

רכיבים xx ו-yy

t=1+s  ⇒  2−1−s=−2+2s  ⇒  s=1 t=2\begin{aligned}t &= 1 + s \;\Rightarrow\; 2 - 1 - s \\ &= -2 + 2s \;\Rightarrow\; s \\ &= 1 \\ \ t &= 2\end{aligned}
z:2t=5−s  ⇒  4=4 ✓\begin{aligned}z:\quad 2t &= 5 - s \;\Rightarrow\; 4 \\ &= 4\ \checkmark\end{aligned}

בדיקה ברכיב השלישי

S=(1,2,0)+2(1,−1,2)=(3,0,4)\begin{aligned}S &= (1, 2, 0) + 2(1, -1, 2) \\ &= (3, 0, 4)\end{aligned}

אחרי שמוצאים tt ו-ss, בודקים את המשוואה השלישית ורק אז מציבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

התאימו כל מצב הדדי לתנאי שלו.

  • מתלכדים
  • מקבילים
  • נחתכים
  • מצטלבים
  • כיוונים לא פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת
  • כיוונים לא פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת
  • כיוונים פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת
  • כיוונים פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מתלכדים — כיוונים פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת · מקבילים — כיוונים פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת · נחתכים — כיוונים לא פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת · מצטלבים — כיוונים לא פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת

Corrigé :

d‾1=kd‾2  ?A+td‾1=B+sd‾2  ?\begin{aligned}\underline{d}_1 &= k\underline{d}_2 \;?\quad A + t\underline{d}_1 \\ &= B + s\underline{d}_2 \;?\end{aligned}

שתי שאלות, ארבע תשובות

שתי שאלות: האם הכיוונים פרופורציונליים, והאם יש נקודה משותפת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

סדרו את שלבי הבדיקה של המצב ההדדי בין שני ישרים.

  • אם לא: משווים את שתי ההצגות, רכיב אחרי רכיב
  • בודקים אם וקטורי הכיוון פרופורציונליים
  • מציבים tt בהצגה ומוצאים את נקודת החיתוך
  • מציבים בשלישית: אם היא מתקיימת, הישרים נחתכים
  • פותרים שתיים מהמשוואות ומוצאים tt ו-ss
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בודקים אם וקטורי הכיוון פרופורציונליים · אם לא: משווים את שתי ההצגות, רכיב אחרי רכיב · פותרים שתיים מהמשוואות ומוצאים tt ו-ss · מציבים בשלישית: אם היא מתקיימת, הישרים נחתכים · מציבים tt בהצגה ומוצאים את נקודת החיתוך

Corrigé :

d‾1∦d‾2  ⇒  t,s  ⇒  ✓  ⇒  S\underline{d}_1 \nparallel \underline{d}_2 \;\Rightarrow\; t, s \;\Rightarrow\; \checkmark \;\Rightarrow\; S

הבדיקה במשוואה השלישית באה לפני שמחשבים את נקודת החיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

יוסי כתב את הישר דרך A(1,0,2)A(1, 0, 2) ו-B(3,1,5)B(3, 1, 5). שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

d‾=B−A\underline{d} = B - A
=(3,1,5)−(1,0,2)= (3, 1, 5) - (1, 0, 2)
=(4,1,7)= (4, 1, 7)
ℓ: x‾=(1,0,2)+t(4,1,7)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(4, 1, 7)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =(4,1,7)= (4, 1, 7) → =(2,1,3)= (2, 1, 3)

Corrigé :

(3−1, 1−0, 5−2)=(2,1,3)(3 - 1,\ 1 - 0,\ 5 - 2) = (2, 1, 3)

בשורה השלישית יוסי חיבר במקום לחסר. השורה האחרונה רק ממשיכה את הטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

השלימו.

הישר x‾=(2,−1,0)+t(1,3,−2)\underline{x} = (2, -1, 0) + t(1, 3, -2) חותך את המישור x=0x = 0 בנקודה (0,y,z)(0, y, z), כאשר y=y = ____ ו-z=z = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הישר x‾=(2,−1,0)+t(1,3,−2)\underline{x} = (2, -1, 0) + t(1, 3, -2) חותך את המישור x=0x = 0 בנקודה (0,y,z)(0, y, z), כאשר y=y = -7 ו-z=z = 4.

Corrigé :

2+t=0  ⇒  t=−2\begin{aligned}2 + t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= -2\end{aligned}
y=−1+3(−2)=−7z=0−2(−2)=4\begin{aligned}y &= -1 + 3(-2) \\ &= -7 \\ \quad z &= 0 - 2(-2) \\ &= 4\end{aligned}

על המישור x=0x = 0 הרכיב הראשון מתאפס: משם מוצאים את tt.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

הטענה: שני ישרים במרחב שאין להם נקודה משותפת הם בהכרח מקבילים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

ℓ1∩ℓ2=∅  ⇏  ℓ1∥ℓ2\ell_1 \cap \ell_2 = \varnothing \;\not\Rightarrow\; \ell_1 \parallel \ell_2

אין נקודה משותפת, ועדיין לא בהכרח מקבילים

הם יכולים להיות גם מצטלבים: לא נפגשים ולא מקבילים. זה קורה רק במרחב.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe