Vecteurs dans les solides

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשאלות על גופים (תיבה, פירמידה) לרוב אין מערכת צירים. במקום שיעורים, בוחרים שלושה וקטורים שיוצאים מקודקוד אחד.

שלושת הווקטורים האלה הם בסיס: כל וקטור אחר בגוף נכתב בעזרתם, בדרך אחת בלבד.

הכלל: הולכים מההתחלה אל הסוף לאורך המקצועות, וכל מקצוע הוא אחד מוקטורי הבסיס (או הנגדי שלו).

האלכסון AC′‾\underline{AC'}

הולכים קדימה לאורך ABAB, הצידה לאורך BCBC, ולמעלה לאורך CC′CC'. כך מגיעים מ-AA אל C′C'.

AC′‾=AB‾+BC‾+CC′‾\underline{AC'} = \underline{AB} + \underline{BC} + \underline{CC'}

מסלול לאורך המקצועות

BC‾=AD‾=v‾CC′‾=AA′‾=w‾\begin{aligned}\underline{BC} &= \underline{AD} \\ &= \underline{v} \\ \quad \underline{CC'} &= \underline{AA'} \\ &= \underline{w}\end{aligned}

מקצועות מקבילים ושווים בתיבה

AC′‾=u‾+v‾+w‾\underline{AC'} = \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}

בטאו את BD′‾\underline{BD'} בעזרת u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}.

Voir la réponse et le corrigé

−u‾+v‾+w‾-\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}. מ-BB חוזרים אל AA (זה −u‾-\underline{u}), ממשיכים אל DD ועולים אל D′D'.

אמצע של מקצוע

אמצע של מקצוע הוא חצי הדרך לאורכו: חצי מהווקטור של המקצוע.

MM הוא אמצע המקצוע C′D′C'D'. בטאו את AM‾\underline{AM}.

הולכים אל D′D', ומשם חצי מ-D′C′‾\underline{D'C'}.

AM‾=AD‾+DD′‾+12D′C′‾\underline{AM} = \underline{AD} + \underline{DD'} + \frac{1}{2}\underline{D'C'}
D′C′‾=DC‾=AB‾=u‾\begin{aligned}\underline{D'C'} &= \underline{DC} \\ &= \underline{AB} \\ &= \underline{u}\end{aligned}
AM‾=v‾+w‾+12u‾\underline{AM} = \underline{v} + \underline{w} + \frac{1}{2}\underline{u}

מכפלה סקלרית בתוך גוף

כשמכירים את האורכים של וקטורי הבסיס ואת הזוויות ביניהם, יודעים לחשב כל מכפלה סקלרית בגוף.

u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline{u} \cdot \underline{u} = |\underline{u}|^2

וקטור עם עצמו: ריבוע האורך

u‾⋅v‾=∣u‾∣∣v‾∣cos⁡α\underline{u} \cdot \underline{v} = |\underline{u}||\underline{v}|\cos\alpha

שני וקטורים: האורכים והזווית

u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0

בתיבה כל שני מקצועות מקודקוד אחד ניצבים

כדי למצוא אורך של וקטור, מעלים אותו בריבוע ופותחים סוגריים, כמו בכפל מקוצר.

∣au‾+bv‾∣2=a2∣u‾∣2+2ab (u‾⋅v‾)+b2∣v‾∣2|a\underline{u} + b\underline{v}|^2 = a^2|\underline{u}|^2 + 2ab\,(\underline{u} \cdot \underline{v}) + b^2|\underline{v}|^2

תיבה עם AB=3AB = 3, AD=2AD = 2, AA′=2AA' = 2. מהו אורך האלכסון AC′AC'?

בתיבה כל המכפלות המעורבות הן אפס.

∣AC′‾∣2=(u‾+v‾+w‾)2|\underline{AC'}|^2 = (\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})^2
=∣u‾∣2+∣v‾∣2+∣w‾∣2+2(u‾⋅v‾+u‾⋅w‾+v‾⋅w‾)= |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2 + |\underline{w}|^2 + 2(\underline{u}\cdot\underline{v} + \underline{u}\cdot\underline{w} + \underline{v}\cdot\underline{w})
=9+4+4+0=17= 9 + 4 + 4 + 0 = 17

המכפלות המעורבות מתאפסות

∣AC′‾∣=17|\underline{AC'}| = \sqrt{17}

כשהזוויות אינן ישרות

בארבעון המשוכלל הזוויות הן 60∘60^\circ, ולכן המכפלות המעורבות אינן אפס.

MM הוא אמצע BCBC. מהו האורך של AMAM?

קודם המכפלות, אחר כך הפיתוח.

u‾⋅v‾=2⋅2⋅cos⁡60∘=2\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 2\end{aligned}

וכך גם u‾⋅w‾\underline{u}\cdot\underline{w} ו-v‾⋅w‾\underline{v}\cdot\underline{w}

AM‾=AB‾+12BC‾=u‾+12(v‾−u‾)=12(u‾+v‾)\begin{aligned}\underline{AM} &= \underline{AB} + \frac{1}{2}\underline{BC} \\ &= \underline{u} + \frac{1}{2}(\underline{v} - \underline{u}) \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})\end{aligned}

BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u}

∣AM‾∣2=14(4+2⋅2+4)=3\begin{aligned}|\underline{AM}|^2 &= \frac{1}{4}\left(4 + 2 \cdot 2 + 4\right) \\ &= 3\end{aligned}
∣AM‾∣=3|\underline{AM}| = \sqrt{3}

התיכון במשולש שווה צלעות שצלעו 22

הטעות הנפוצה ביותר בפיתוח.

∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2
∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + 2\,\underline{u}\cdot\underline{v} + |\underline{v}|^2

שוכחים את האיבר האמצעי. הוא מתאפס רק כשהווקטורים ניצבים.

הדרך בכל שאלה כזו: בוחרים בסיס מקודקוד אחד, כותבים את הווקטור כמסלול, מעלים בריבוע, מציבים את המכפלות, ומוציאים שורש.

Exercices

Exercice 1

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' נתון: AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u}, AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}, AA′‾=w‾\underline{AA'} = \underline{w}. בטאו את AC′‾\underline{AC'}.

  1. −u‾+v‾+w‾-\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  2. u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  3. u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}
  4. u‾−v‾+w‾\underline{u} - \underline{v} + \underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}

Corrigé :

AC′‾=AB‾+BC‾+CC′‾=u‾+v‾+w‾\begin{aligned}\underline{AC'} &= \underline{AB} + \underline{BC} + \underline{CC'} \\ &= \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\end{aligned}

כל מקצוע במסלול מוחלף בווקטור הבסיס המקביל לו, באותו כיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותה תיבה, בטאו את DB′‾\underline{DB'}.

  1. u‾−v‾+w‾\underline{u} - \underline{v} + \underline{w}
  2. −u‾+v‾+w‾-\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  3. u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  4. u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A u‾−v‾+w‾\underline{u} - \underline{v} + \underline{w}

Corrigé :

DB′‾=DA‾+AB‾+BB′‾\underline{DB'} = \underline{DA} + \underline{AB} + \underline{BB'}
=−v‾+u‾+w‾= -\underline{v} + \underline{u} + \underline{w}

DA‾\underline{DA} הפוך ל-AD‾\underline{AD}

מ-DD אל AA הולכים נגד v‾\underline{v}, ולכן הסימן מינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

MM הוא אמצע המקצוע B′C′B'C' בתיבה. בטאו את AM‾\underline{AM}.

  1. u‾+v‾+12w‾\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}
  2. 12(u‾+v‾+w‾)\frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})
  3. u‾+12v‾+w‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}
  4. 12u‾+v‾+w‾\frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C u‾+12v‾+w‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}

Corrigé :

AM‾=AB‾+BB′‾+12B′C′‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BB'} + \frac{1}{2}\underline{B'C'}
B′C′‾=AD‾=v‾\begin{aligned}\underline{B'C'} &= \underline{AD} \\ &= \underline{v}\end{aligned}
AM‾=u‾+w‾+12v‾\underline{AM} = \underline{u} + \underline{w} + \frac{1}{2}\underline{v}

רק המקצוע שעליו יושב האמצע מקבל חצי. ABAB ו-BB′BB' עוברים במלואם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' עם u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB} ו-w‾=AA′‾\underline{w} = \underline{AA'}, הטענה: u‾⋅w‾=0\underline{u} \cdot \underline{w} = 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AB⊥AA′  ⇒  u‾⋅w‾=∣u‾∣∣w‾∣cos⁡90∘=0\begin{aligned}AB \perp AA' \;\Rightarrow\; \underline{u}\cdot\underline{w} &= |\underline{u}||\underline{w}|\cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

בתיבה כל הפאות מלבנים: מקצועות שיוצאים מאותו קודקוד ניצבים זה לזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בתיבה נתון: AB=4AB = 4, AD=3AD = 3, AA′=12AA' = 12. מהו אורך האלכסון AC′AC'?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

AC′‾=u‾+v‾+w‾\underline{AC'} = \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
∣AC′‾∣2=16+9+144+0=169\begin{aligned}|\underline{AC'}|^2 &= 16 + 9 + 144 + 0 \\ &= 169\end{aligned}

בתיבה המכפלות המעורבות הן אפס

∣AC′‾∣=13|\underline{AC'}| = 13

שוכחים להוציא שורש בסוף, ועונים 169169.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בתיבה נתון: AB=3AB = 3, AD=4AD = 4, AA′=5AA' = 5. מהו האורך של BD′BD'? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.07

Corrigé :

BD′‾=−u‾+v‾+w‾\underline{BD'} = -\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
∣BD′‾∣2=9+16+25=50\begin{aligned}|\underline{BD'}|^2 &= 9 + 16 + 25 \\ &= 50\end{aligned}

גם המינוס מתאפס בריבוע

∣BD′‾∣=50=52≈7.07\begin{aligned}|\underline{BD'}| &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

הסימן מינוס לפני u‾\underline{u} לא משנה את הריבוע: (−1)2∣u‾∣2=9(-1)^2 |\underline{u}|^2 = 9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בתיבה נתון: AB=2AB = 2, AD=2AD = 2, AA′=3AA' = 3. חשבו את המכפלה הסקלרית AC′‾⋅AB‾\underline{AC'} \cdot \underline{AB}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

(u‾+v‾+w‾)⋅u‾=u‾⋅u‾+v‾⋅u‾+w‾⋅u‾(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})\cdot\underline{u} = \underline{u}\cdot\underline{u} + \underline{v}\cdot\underline{u} + \underline{w}\cdot\underline{u}

פילוג

=4+0+0=4= 4 + 0 + 0 = 4

רק u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline{u}\cdot\underline{u} = |\underline{u}|^2 נשאר. שאר המכפלות ניצבות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בתיבה נתון: AB=2AB = 2, AD=3AD = 3, AA′=6AA' = 6. מהי הזווית בין האלכסון AC′AC' למקצוע ABAB, במעלות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 73.4

Corrigé :

AC′‾⋅AB‾=∣u‾∣2=4\begin{aligned}\underline{AC'}\cdot\underline{AB} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 4\end{aligned}
∣AC′‾∣=4+9+36=7\begin{aligned}|\underline{AC'}| &= \sqrt{4 + 9 + 36} \\ &= 7\end{aligned}
cos⁡α=47⋅2=27  ⇒  α≈73.4∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{4}{7 \cdot 2} \\ &= \frac{2}{7} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 73.4^\circ\end{aligned}

במכנה כופלים את שני האורכים: ∣AC′‾∣=7|\underline{AC'}| = 7 וגם ∣AB‾∣=2|\underline{AB}| = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בארבעון משוכלל ABCDABCD כל המקצועות באורך 44. נתון u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AC‾\underline{v} = \underline{AC}. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{v}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

u‾⋅v‾=4⋅4⋅cos⁡60∘=16⋅12=8\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 4 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 8\end{aligned}

כל פאה היא משולש שווה צלעות

הזווית בין המקצועות היא 60∘60^\circ ולא 90∘90^\circ, ולכן המכפלה אינה אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בארבעון משוכלל שמקצועו 22, NN הוא אמצע המקצוע CDCD, ו-u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AC‾\underline{v} = \underline{AC}, w‾=AD‾\underline{w} = \underline{AD}. מהו האורך של ANAN? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.73

Corrigé :

AN‾=12(v‾+w‾)\underline{AN} = \frac{1}{2}(\underline{v} + \underline{w})

האמצע של CDCD

∣AN‾∣2=14(4+2⋅2+4)=3\begin{aligned}|\underline{AN}|^2 &= \frac{1}{4}(4 + 2 \cdot 2 + 4) \\ &= 3\end{aligned}

v‾⋅w‾=2\underline{v}\cdot\underline{w} = 2

∣AN‾∣=3≈1.73|\underline{AN}| = \sqrt{3} \approx 1.73

בלי האיבר 2 v‾⋅w‾2\,\underline{v}\cdot\underline{w} מקבלים 2\sqrt{2}, וזו טעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

בארבעון משוכלל ABCDABCD שמקצועו 22 נתון: u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AC‾\underline{v} = \underline{AC}, w‾=AD‾\underline{w} = \underline{AD}. הוכיחו: המקצועות הנגדיים BCBC ו-ADAD ניצבים.

  • כל מקצועות הארבעון באורך 22
  • כל הזוויות בין u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} הן 60∘60^\circ

BC⊥ADBC \perp AD

Voir la réponse et le corrigé
  1. BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u} — מסלול: BC‾=BA‾+AC‾\underline{BC} = \underline{BA} + \underline{AC}
  2. u‾⋅w‾=2\underline{u}\cdot\underline{w} = 2 וגם v‾⋅w‾=2\underline{v}\cdot\underline{w} = 2 — 2⋅2⋅cos⁡60∘=22 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2
  3. BC‾⋅AD‾=v‾⋅w‾−u‾⋅w‾=0\underline{BC}\cdot\underline{AD} = \underline{v}\cdot\underline{w} - \underline{u}\cdot\underline{w} = 0 — פילוג, והצבת המכפלות
  4. BC⊥ADBC \perp AD — מכפלה סקלרית אפס פירושה ניצבות
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

בפירמידה ישרה SABCDSABCD הבסיס ABCDABCD הוא ריבוע. נתון u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AD‾\underline{v} = \underline{AD}, w‾=AS‾\underline{w} = \underline{AS}. בטאו את SC‾\underline{SC}.

  1. u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  2. w‾−u‾−v‾\underline{w} - \underline{u} - \underline{v}
  3. u‾−v‾−w‾\underline{u} - \underline{v} - \underline{w}
  4. u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}

Corrigé :

SC‾=SA‾+AC‾\underline{SC} = \underline{SA} + \underline{AC}
=−w‾+(u‾+v‾)= -\underline{w} + (\underline{u} + \underline{v})

AC‾\underline{AC} הוא אלכסון הריבוע

יורדים מ-SS אל AA, וזה −w‾-\underline{w}. w‾−u‾−v‾\underline{w} - \underline{u} - \underline{v} הוא CS‾\underline{CS}, החץ ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

באותה פירמידה: צלע הבסיס 22, כל מקצוע צדדי 33, ולכן u‾⋅w‾=v‾⋅w‾=2\underline{u}\cdot\underline{w} = \underline{v}\cdot\underline{w} = 2. חשבו את האורך של SCSC בעזרת הווקטורים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

∣SC‾∣2=∣u‾∣2+∣v‾∣2+∣w‾∣2+2(u‾⋅v‾−u‾⋅w‾−v‾⋅w‾)|\underline{SC}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2 + |\underline{w}|^2 + 2(\underline{u}\cdot\underline{v} - \underline{u}\cdot\underline{w} - \underline{v}\cdot\underline{w})
4+4+9+2(0−2−2)=17−8=9\begin{aligned}4 + 4 + 9 + 2(0 - 2 - 2) &= 17 - 8 \\ &= 9\end{aligned}
∣SC‾∣=3|\underline{SC}| = 3

וזה אכן מקצוע צדדי

הסימנים של המכפלות המעורבות באים מהמקדמים: (+1)(−1)(+1)(-1) נותן מינוס. בלי המכפלות יוצא 17\sqrt{17}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

באותה פירמידה, MM הוא אמצע SCSC. מהו האורך של AMAM?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

AM‾=AS‾+12SC‾=w‾+12(u‾+v‾−w‾)=12(u‾+v‾+w‾)\begin{aligned}\underline{AM} &= \underline{AS} + \frac{1}{2}\underline{SC} \\ &= \underline{w} + \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}) \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})\end{aligned}
∣AM‾∣2=14(4+4+9+2(0+2+2))=254\begin{aligned}|\underline{AM}|^2 &= \frac{1}{4}\left(4 + 4 + 9 + 2(0 + 2 + 2)\right) \\ &= \frac{25}{4}\end{aligned}
∣AM‾∣=52|\underline{AM}| = \frac{5}{2}

הגורם 12\frac{1}{2} יוצא מהריבוע כ-14\frac{1}{4}, לא כ-12\frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

סדרו את שלבי הפתרון של שאלת אורך בגוף.

  • בוחרים שלושה וקטורי בסיס מקודקוד אחד
  • כותבים את הווקטור המבוקש כמסלול לאורך המקצועות
  • On extrait la racine carrée (שורש)
  • מעלים את הביטוי בריבוע ופותחים סוגריים
  • מציבים את האורכים ואת המכפלות הסקלריות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בוחרים שלושה וקטורי בסיס מקודקוד אחד · כותבים את הווקטור המבוקש כמסלול לאורך המקצועות · מעלים את הביטוי בריבוע ופותחים סוגריים · מציבים את האורכים ואת המכפלות הסקלריות · On extrait la racine carrée (שורש)

Corrigé :

∣x‾∣=x‾⋅x‾|\underline{x}| = \sqrt{\underline{x}\cdot\underline{x}}

השורש הוא הצעד האחרון: לפניו מחשבים את ∣x‾∣2|\underline{x}|^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מיכל חישבה את ∣u‾+v‾∣|\underline{u} + \underline{v}| כאשר ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3, ∣v‾∣=5|\underline{v}| = 5, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

u‾⋅v‾=3⋅5⋅12=7.5\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}
∣u‾+v‾∣2=9+25=34\begin{aligned}|\underline{u} + \underline{v}|^2 &= 9 + 25 \\ &= 34\end{aligned}
∣u‾+v‾∣=34|\underline{u} + \underline{v}| = \sqrt{34}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∣u‾+v‾∣2=9+25=34|\underline{u} + \underline{v}|^2 = 9 + 25 = 34 → ∣u‾+v‾∣2=9+2⋅7.5+25=49|\underline{u} + \underline{v}|^2 = 9 + 2 \cdot 7.5 + 25 = 49

Corrigé :

∣u‾+v‾∣2=9+15+25=49\begin{aligned}|\underline{u} + \underline{v}|^2 &= 9 + 15 + 25 \\ &= 49\end{aligned}
∣u‾+v‾∣=7|\underline{u} + \underline{v}| = 7

היא חישבה את המכפלה ולא השתמשה בה. האיבר האמצעי 2 u‾⋅v‾2\,\underline{u}\cdot\underline{v} נשמט.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe