Le produit scalaire

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כבר כפלנו וקטור במספר. עכשיו כופלים וקטור בווקטור, והתוצאה היא מספר. קוראים לה המכפלה הסקלרית.

u‾⋅v‾=x1x2+y1y2\underline{u} \cdot \underline{v} = x_1x_2 + y_1y_2

במישור: כופלים רכיב ברכיב, ומחברים

u‾⋅v‾=x1x2+y1y2+z1z2\underline{u} \cdot \underline{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

במרחב: אותו דבר, עם רכיב שלישי

המכפלה של u‾=(2,1)\underline{u} = (2, 1) ו-v‾=(3,−4)\underline{v} = (3, -4)

כופלים את רכיבי ה-xx, כופלים את רכיבי ה-yy, ומחברים.

u‾⋅v‾=2⋅3+1⋅(−4)\underline{u} \cdot \underline{v} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4)
=6−4=2= 6 - 4 = 2

מספר, לא וקטור

מה המספר הזה אומר

למכפלה הסקלרית יש גם משמעות של זווית. אם α\alpha היא הזווית בין הווקטורים, אז:

u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α\underline{u} \cdot \underline{v} = |\underline{u}| \cdot |\underline{v}| \cdot \cos\alpha

מתי המכפלה הסקלרית שווה 00?

Voir la réponse et le corrigé

כשהזווית היא 90∘90^\circ, כי cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0. זה המבחן לניצבות: u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0 בדיוק כשהווקטורים ניצבים.

u‾⋅v‾>0\underline{u} \cdot \underline{v} > 0

הזווית חדה

u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0

הווקטורים ניצבים

u‾⋅v‾<0\underline{u} \cdot \underline{v} < 0

הזווית קהה

שאלה עם פרמטר, כמו «לאיזה kk הווקטורים ניצבים?»: כותבים u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0, ופותרים את המשוואה.

הזווית בין שני וקטורים

מהנוסחה מבודדים את הקוסינוס. מחשבים מכפלה ושני אורכים, ומחלקים.

cos⁡α=u‾⋅v‾∣u‾∣⋅∣v‾∣\cos\alpha = \frac{\underline{u} \cdot \underline{v}}{|\underline{u}| \cdot |\underline{v}|}

הזווית בין u‾=(3,1)\underline{u} = (3, 1) ל-v‾=(1,2)\underline{v} = (1, 2)

שלושה חישובים קטנים, ואז מחלקים.

u‾⋅v‾=3+2=5\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 3 + 2 \\ &= 5\end{aligned}
∣u‾∣=10∣v‾∣=5\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{10} \\ \quad |\underline{v}| &= \sqrt{5}\end{aligned}
cos⁡α=510⋅5=550=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} \\ &= \frac{5}{\sqrt{50}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}
α=45∘\alpha = 45^\circ

וקטור כפול עצמו נותן את ריבוע האורך. מזה יוצא פיתוח כמו בנוסחאות הכפל המקוצר.

u‾⋅u‾=∣u‾∣2∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ \qquad |\underline{u} + \underline{v}|^2 &= |\underline{u}|^2 + 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2\end{aligned}

נתון ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. מוצאים את ∣u‾+v‾∣|\underline{u} + \underline{v}|

אין רכיבים, ולכן עובדים עם הפיתוח.

u‾⋅v‾=3⋅2⋅cos⁡60∘=3\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 3\end{aligned}
∣u‾+v‾∣2=9+2⋅3+4=19\begin{aligned}|\underline{u} + \underline{v}|^2 &= 9 + 2 \cdot 3 + 4 \\ &= 19\end{aligned}
∣u‾+v‾∣=19|\underline{u} + \underline{v}| = \sqrt{19}

שתי טעויות בחישוב.

(2,1)⋅(3,−4)=(6,−4)(2, 1) \cdot (3, -4) = (6, -4)
(2,1)⋅(3,−4)=6−4=2\begin{aligned}(2, 1) \cdot (3, -4) &= 6 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

התוצאה היא מספר: מחברים את המכפלות.

∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2
∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2

כמו (a+b)2(a + b)^2: אסור לשכוח את האיבר האמצעי.

Exercices

Exercice 1

חשבו את המכפלה הסקלרית (3,−2)⋅(4,5)(3, -2) \cdot (4, 5).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

3⋅4+(−2)⋅5=12−10=2\begin{aligned}3 \cdot 4 + (-2) \cdot 5 &= 12 - 10 \\ &= 2\end{aligned}

התוצאה היא מספר אחד: מחברים את שתי המכפלות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את המכפלה הסקלרית (1,2,−3)⋅(4,0,2)(1, 2, -3) \cdot (4, 0, 2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

1⋅4+2⋅0+(−3)⋅2=4+0−6=−2\begin{aligned}1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 &= 4 + 0 - 6 \\ &= -2\end{aligned}

המכפלה יכולה להיות שלילית: הזווית קהה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הטענה: הווקטורים (2,−3)(2, -3) ו-(6,4)(6, 4) ניצבים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

2⋅6+(−3)⋅4=12−12=0\begin{aligned}2 \cdot 6 + (-3) \cdot 4 &= 12 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלה סקלרית אפס פירושה ניצבות. לא צריך לחשב אורכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לאיזה ערך של kk הווקטורים (k,3)(k, 3) ו-(2,−4)(2, -4) ניצבים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

2k+3⋅(−4)=02k + 3 \cdot (-4) = 0

מכפלה סקלרית שווה אפס

2k=12⇒k=6\begin{aligned}2k &= 12 \Rightarrow k \\ &= 6\end{aligned}

ניצבים פירושו מכפלה אפס, לא רכיבים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהי הזווית בין u‾=(4,2)\underline{u} = (4, 2) ל-v‾=(−1,3)\underline{v} = (-1, 3)? עגלו לעשירית מעלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 81.9

Corrigé :

u‾⋅v‾=−4+6=2\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= -4 + 6 \\ &= 2\end{aligned}
cos⁡α=220⋅10=2200≈0.141\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{2}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{200}} \approx 0.141\end{aligned}
α≈81.9∘\alpha \approx 81.9^\circ

מחלקים במכפלת שני האורכים. ב-cos⁡−1\cos^{-1} המחשבון במצב מעלות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון u‾⋅v‾=−5\underline{u} \cdot \underline{v} = -5. מה אפשר לומר על הזווית בין הווקטורים?

  1. היא ישרה
  2. היא חדה
  3. היא קהה
  4. אי אפשר לדעת בלי האורכים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C היא קהה

Corrigé :

cos⁡α=−5∣u‾∣⋅∣v‾∣<0\cos\alpha = \frac{-5}{|\underline{u}| \cdot |\underline{v}|} < 0

האורכים חיוביים, ולכן הסימן נקבע על ידי המונה

בשביל הסוג של הזווית מספיק הסימן. את הגודל המדויק אי אפשר לדעת בלי האורכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון ∣u‾∣=4|\underline{u}| = 4, ∣v‾∣=5|\underline{v}| = 5, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. מהי המכפלה u‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{v}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

4⋅5⋅cos⁡60∘=20⋅12=10\begin{aligned}4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ &= 20 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 10\end{aligned}

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, ולא sin⁡60∘\sin 60^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון u‾=(2,−1,2)\underline{u} = (2, -1, 2). מהי המכפלה u‾⋅u‾\underline{u} \cdot \underline{u}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

4+1+4=94 + 1 + 4 = 9
u‾⋅u‾=∣u‾∣2=32\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 3^2\end{aligned}

בדיקה

(−1)⋅(−1)=+1(-1) \cdot (-1) = +1. ומכאן ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2 ו-u‾⋅v‾=−3\underline{u} \cdot \underline{v} = -3. מהו האורך ∣u‾−v‾∣|\underline{u} - \underline{v}|? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.36

Corrigé :

∣u‾−v‾∣2=9−2⋅(−3)+4=19\begin{aligned}|\underline{u} - \underline{v}|^2 &= 9 - 2 \cdot (-3) + 4 \\ &= 19\end{aligned}

כמו (a−b)2(a - b)^2

∣u‾−v‾∣=19≈4.36|\underline{u} - \underline{v}| = \sqrt{19} \approx 4.36

בחיסור האיבר האמצעי הוא −2 u‾⋅v‾-2\,\underline{u} \cdot \underline{v}. כאן המכפלה שלילית, ולכן הוא מוסיף 66.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

התאימו כל מכפלה סקלרית לזווית שהיא מתארת.

  • המכפלה חיובית
  • המכפלה אפס
  • המכפלה שלילית
  • המכפלה שווה למכפלת האורכים
  • אותו כיוון, זווית אפס
  • זווית חדה
  • Angle droit (זווית הישרה)
  • זווית קהה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המכפלה חיובית — זווית חדה · המכפלה אפס — Angle droit (זווית הישרה) · המכפלה שלילית — זווית קהה · המכפלה שווה למכפלת האורכים — אותו כיוון, זווית אפס

Corrigé :

cos⁡0∘=1 cos⁡90∘=0\begin{aligned}\cos 0^\circ &= 1 \\ \ \cos 90^\circ &= 0\end{aligned}

הסימן של המכפלה הוא הסימן של cos⁡α\cos\alpha, כי האורכים תמיד חיוביים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

שירה חישבה את הזווית בין (3,4)(3, 4) ל-(4,3)(4, 3). שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

u‾⋅v‾=12+12=24\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 12 + 12 \\ &= 24\end{aligned}
∣u‾∣=9+16=5\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}
∣v‾∣=16+9=5\begin{aligned}|\underline{v}| &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5\end{aligned}
cos⁡α=245\cos\alpha = \frac{24}{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : cos⁡α=245\cos\alpha = \frac{24}{5} → cos⁡α=245⋅5=2425\cos\alpha = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25}

Corrigé :

cos⁡α=2425=0.96\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{24}{25} \\ &= 0.96\end{aligned}

מחלקים במכפלת שני האורכים

סימן אזהרה: קוסינוס גדול מ-11 לא קיים. היא חילקה רק באורך אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

השלימו.

במשולש ABCABC: A(1,1)A(1, 1), B(4,2)B(4, 2), C(0,4)C(0, 4). המכפלה AB‾⋅AC‾\underline{AB} \cdot \underline{AC} שווה ____, ולכן הזווית AA בת ____ מעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : במשולש ABCABC: A(1,1)A(1, 1), B(4,2)B(4, 2), C(0,4)C(0, 4). המכפלה AB‾⋅AC‾\underline{AB} \cdot \underline{AC} שווה 0, ולכן הזווית AA בת 90 מעלות.

Corrigé :

AB‾=(3,1)AC‾=(−1,3)\begin{aligned}\underline{AB} &= (3, 1) \\ \quad \underline{AC} &= (-1, 3)\end{aligned}

שני הווקטורים יוצאים מ-AA

AB‾⋅AC‾=−3+3=0\begin{aligned}\underline{AB} \cdot \underline{AC} &= -3 + 3 \\ &= 0\end{aligned}

הזווית AA היא בין וקטורים שיוצאים מ-AA. עם BA‾\underline{BA} במקום AB‾\underline{AB} הסימן היה מתהפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

הטענה: לכל שני וקטורים מתקיים (u‾+v‾)⋅(u‾−v‾)=∣u‾∣2−∣v‾∣2(\underline{u} + \underline{v}) \cdot (\underline{u} - \underline{v}) = |\underline{u}|^2 - |\underline{v}|^2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

u‾⋅u‾−u‾⋅v‾+v‾⋅u‾−v‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{u} - \underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v} \cdot \underline{u} - \underline{v} \cdot \underline{v}

פותחים סוגריים

=∣u‾∣2−∣v‾∣2= |\underline{u}|^2 - |\underline{v}|^2

האיברים האמצעיים מצטמצמים

זה הפרש ריבועים. הוא עובד כי u‾⋅v‾=v‾⋅u‾\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{v} \cdot \underline{u}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

איזה ביטוי שווה ל-∣2u‾−v‾∣2|2\underline{u} - \underline{v}|^2?

  1. 4∣u‾∣2−4 u‾⋅v‾+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 - 4\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2
  2. 4∣u‾∣2+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2
  3. 4∣u‾∣2−2 u‾⋅v‾+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 - 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2
  4. 2∣u‾∣2−4 u‾⋅v‾+∣v‾∣22|\underline{u}|^2 - 4\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 4∣u‾∣2−4 u‾⋅v‾+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 - 4\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2

Corrigé :

(2u‾−v‾)⋅(2u‾−v‾)=4 u‾⋅u‾−2 u‾⋅v‾−2 v‾⋅u‾+v‾⋅v‾(2\underline{u} - \underline{v}) \cdot (2\underline{u} - \underline{v}) = 4\,\underline{u} \cdot \underline{u} - 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} - 2\,\underline{v} \cdot \underline{u} + \underline{v} \cdot \underline{v}

האיבר האמצעי הוא 2⋅(2u‾)⋅v‾2 \cdot (2\underline{u}) \cdot \underline{v}, כלומר 4 u‾⋅v‾4\,\underline{u} \cdot \underline{v}. וגם 22 עולה בריבוע: 44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

לאיזה ערך של kk הווקטורים (k,2,1)(k, 2, 1) ו-(3,k,−4)(3, k, -4) ניצבים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8

Corrigé :

3k+2k−4=03k + 2k - 4 = 0

מכפלה סקלרית שווה אפס

5k=4⇒k=0.8\begin{aligned}5k &= 4 \Rightarrow k \\ &= 0.8\end{aligned}

kk מופיע בשני הווקטורים: יש שני איברים עם kk.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe