Points et vecteurs dans l’espace · Vecteurs et géométrie dans l’espace · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

במישור יש שני צירים. במרחב מוסיפים ציר שלישי, הציר z, והוא ניצב לשניים האחרים.

בציור: ציר $x$ יוצא אלינו, ציר $y$ הולך ימינה, וציר $z$ עולה למעלה. לכל נקודה יש שלושה שיעורים: $P(x, y, z)$ .

מתחילים בראשית והולכים $2$ לאורך $x$ , אחר כך $3$ במקביל ל- $y$ , ובסוף $2$ למעלה. לאיזו נקודה מגיעים?

Voir la réponse et le corrigé

$P(2, 3, 2)$ . כל צעד נותן שיעור אחד, לפי הסדר $x$ , $y$ , $z$ .

נקודות על הצירים ועל מישורי הצירים

נקודה על ציר נתון: שני השיעורים האחרים הם אפס. נקודה על מישור של שני צירים: השיעור השלישי הוא אפס.

(a, 0, 0)

על ציר $x$

(0, 0, c)

על ציר $z$

(a, b, 0)

על המישור $xy$ , «הרצפה»: $z = 0$

(0, b, c)

על המישור $yz$ , כי $x = 0$

באיזה מישור נמצאת הנקודה $(3, 0, -2)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

במישור $xz$ . השיעור $y$ שלה הוא $0$ .

וקטורים במרחב

הכול כמו במישור, רק עם שלושה רכיבים: $\underline{u} = (a, b, c)$ .

הווקטור מ- $A$ אל $B$ הוא שוב הסוף פחות ההתחלה.

\begin{aligned}\underline{AB} &= B - A \\ &= (x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A)\end{aligned}

הווקטור מ- $A(1, 2, -1)$ אל $B(4, 0, 3)$

מחסרים רכיב אחרי רכיב.

\underline{AB} = (4 - 1,\ 0 - 2,\ 3 - (-1))

הסוף פחות ההתחלה

\underline{AB} = (3, -2, 4)

אורך, מרחק ואמצע

גם האורך עובר למרחב: מוסיפים את הרכיב השלישי מתחת לשורש. זה פיתגורס פעמיים, כמו באלכסון התיבה.

|\underline{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

המרחק בין שתי נקודות הוא האורך של $\underline{AB}$

המרחק בין $A(1, 2, -1)$ ל- $B(4, 0, 3)$

קודם הווקטור, אחר כך האורך.

\underline{AB} = (3, -2, 4)

\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{9 + 4 + 16} \\ &= \sqrt{29} \approx 5.39\end{aligned}

כל רכיב בריבוע, גם השלילי

האמצע של קטע הוא הממוצע של שיעורי הקצוות, בכל אחד משלושת הרכיבים.

M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2},\ \frac{z_A + z_B}{2}\right)

שתי טעויות שכיחות במרחב.

|(1, 1, 1)| = 3

|(1, 1, 1)| = \sqrt{3}

האורך הוא שורש סכום הריבועים, לא סכום הרכיבים.

M = \left(\frac{x_B - x_A}{2},\ \ldots\right)

M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \ldots\right)

באמצע מחברים את השיעורים. חיסור שייך לווקטור.

Exercices

Exercice 1

איזו נקודה נמצאת על ציר $z$ ?

$(5, 0, 0)$
$(5, 5, 0)$
$(0, 5, 0)$
$(0, 0, 5)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $(0, 0, 5)$

Corrigé :

(0, 0, 5)

השיעורים $x$ ו- $y$ הם אפס

על ציר $z$ רק השיעור השלישי יכול להיות שונה מאפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

אילו נקודות נמצאות על המישור $xy$ (המישור $z = 0$ )?

על המישור $xy$
לא על המישור $xy$

$(0, 2, 0)$
$(1, 0, 4)$
$(2, 2, 2)$
$(3, -1, 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(3, -1, 0)$ — על המישור $xy$ · $(0, 2, 0)$ — על המישור $xy$ · $(1, 0, 4)$ — לא על המישור $xy$ · $(2, 2, 2)$ — לא על המישור $xy$

Corrigé :

z = 0

בודקים רק את השיעור השלישי

הנקודה $(1, 0, 4)$ היא על המישור $xz$ , לא על $xy$ . אפס ב- $y$ לא מספיק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונות הנקודות $A(1, 2, -1)$ ו- $B(4, 0, 3)$ . מהו רכיב ה- $z$ של $\underline{AB}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

3 - (-1) = 4

הסוף פחות ההתחלה

חיסור של מספר שלילי הוא חיבור: $3 - (-1) = 4$ , לא $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

$A(1, 2, -1)$ , $B(4, 0, 3)$ . מהו $\underline{AB}$ ?

$(-3, 2, -4)$
$(3, -2, 4)$
$(5, 2, 2)$
$(3, 2, 4)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(3, -2, 4)$

Corrigé :

\begin{aligned}\underline{AB} &= (4 - 1,\ 0 - 2,\ 3 + 1) \\ &= (3, -2, 4)\end{aligned}

$(5, 2, 2)$ הוא הסכום $A + B$ , ו- $(-3, 2, -4)$ הוא $\underline{BA}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו האורך של הווקטור $(2, -1, 2)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}\sqrt{4 + 1 + 4} &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

הריבוע תמיד חיובי, כי $(-1)^2 = 1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו המרחק בין $A(1, 2, -1)$ ל- $B(4, 0, 3)$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.39

Corrigé :

\underline{AB} = (3, -2, 4)

\sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29} \approx 5.39

שוכחים לפעמים את הרכיב השלישי, ומקבלים $\sqrt{13}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

השלימו את שיעורי האמצע.

האמצע של הקטע בין $A(2, -4, 6)$ ל- $B(0, 8, 2)$ הוא $M$ (____, ____, ____).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : האמצע של הקטע בין $A(2, -4, 6)$ ל- $B(0, 8, 2)$ הוא $M$ (1, 2, 4).

Corrigé :

\begin{aligned}M &= \left(\frac{2 + 0}{2},\ \frac{-4 + 8}{2},\ \frac{6 + 2}{2}\right) \\ &= (1, 2, 4)\end{aligned}

ממוצע של כל רכיב בנפרד. שימו לב לסימן: $-4 + 8 = 4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הנקודה $A(1, 0, 2)$ , ו- $\underline{AB} = (2, 3, -1)$ . מהם השיעורים של $B$ ?

$(1, 3, -3)$
$(2, 0, -2)$
$(-1, -3, 3)$
$(3, 3, 1)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $(3, 3, 1)$

Corrigé :

\begin{aligned}B &= A + \underline{AB} \\ &= (1 + 2,\ 0 + 3,\ 2 - 1) \\ &= (3, 3, 1)\end{aligned}

$(-1, -3, 3)$ יוצא מחיסור: $A - \underline{AB}$ . יוצאים מ- $A$ והולכים לפי החץ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הטענה: האורך של הווקטור $(1, 1, 1)$ הוא $3$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}|(1, 1, 1)| &= \sqrt{1 + 1 + 1} \\ &= \sqrt{3} \approx 1.73\end{aligned}

סכום הרכיבים הוא $3$ , אבל האורך הוא שורש סכום הריבועים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

$ABCD$ הוא מקבילית במרחב, עם $A(1, 0, 2)$ , $B(3, 1, 0)$ , $C(4, 3, 1)$ . מהם השיעורים של $D$ ?

$(6, 4, -1)$
$(2, 2, 3)$
$(2, 2, 1)$
$(0, -2, 1)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(2, 2, 3)$

Corrigé :

\begin{aligned}\underline{AD} &= \underline{BC} \\ &= C - B \\ &= (1, 2, 1)\end{aligned}

במקבילית צלעות נגדיות הן וקטורים שווים

\begin{aligned}D &= A + \underline{BC} \\ &= (2, 2, 3)\end{aligned}

הסדר $ABCD$ קובע: $D$ מול $B$ . $(6, 4, -1)$ היא הנקודה $B + C - A$ , שאינה הקודקוד הרביעי בסדר הזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

האורך של הווקטור $(k, 2, 4)$ הוא $6$ , ו- $k$ חיובי. מהו $k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

k^2 + 4 + 16 = 36

מעלים בריבוע

\begin{aligned}k^2 &= 16 \\ \quad k &= 4\end{aligned}

גם $k = -4$ מקיים את המשוואה. השאלה ביקשה את החיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

התאימו כל נקודה למקום שלה.

$(0, 0, 3)$
$(2, 5, 0)$
$(4, 0, 0)$
$(0, 1, 6)$

על המישור $xy$
על המישור $yz$
על ציר $x$
על ציר $z$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(0, 0, 3)$ — על ציר $z$ · $(2, 5, 0)$ — על המישור $xy$ · $(4, 0, 0)$ — על ציר $x$ · $(0, 1, 6)$ — על המישור $yz$

Corrigé :

(a, 0, 0) \quad (a, b, 0)

כמה שיעורים הם אפס, ואילו

שני אפסים: על ציר. אפס אחד: על מישור של שני צירים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

יוסי חישב את המרחק בין $A(1, 2, 3)$ ל- $B(4, 6, 3)$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\underline{AB} = (3, 4, 0)

|\underline{AB}| = 3 + 4 + 0

= 7

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $|\underline{AB}| = 3 + 4 + 0$ → $|\underline{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5$

Corrigé :

\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{9 + 16 + 0} \\ &= 5\end{aligned}

אורך הוא לא סכום הרכיבים. צריך לרבע, לחבר, ולהוציא שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

הנקודה $P$ נמצאת על ציר $x$ , והמרחק שלה מ- $A(0, 2, 1)$ שווה למרחק שלה מ- $B(4, 0, 1)$ . מהו שיעור ה- $x$ של $P$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

P = (x, 0, 0)

נקודה על ציר $x$

x^2 + 4 + 1 = (x - 4)^2 + 0 + 1

$|PA|^2 = |PB|^2$

\begin{aligned}x^2 + 5 &= x^2 - 8x + 17 \;\Rightarrow\; 8x \\ &= 12 \;\Rightarrow\; x \\ &= 1.5\end{aligned}

$x^2$ מתבטל

משווים את ריבועי המרחקים: כך נעלמים השורשים, וגם $x^2$ מתבטל.

Vérifier la réponse sur elev

נקודות על הצירים ועל מישורי הצירים

וקטורים במרחב

אורך, מרחק ואמצע

Exercices

La suite se pratique sur elev